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随机过程被定义为随机变量X={Xt:t∈T}的集合，定义在一个共同的概率空间上，时期内的控制和状态轨迹，以使性能指数最小化的过程。
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统计代写|应用随机过程代写Stochastic process代考|Discrete time Markov chains and extensions
As we mentioned in Chapter 1, Markov chains are one of the simplest stochastic processes to study and are characterized by a lack of memory property, so that future observations depend only on the current state and not on the whole of the past history of the process. Despite their simplicity, Markov chains can be and have been applied to many real problems in areas as diverse as web-browsing behavior, language modeling, and persistence of surnames over generations. Furthermore, as illustrated in Chapter 2, with the development of Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods, Markov chains have become a basic tool for Bayesian analysis.
In this chapter, we shall study the Bayesian analysis of discrete time Markov chains, focusing on homogeneous chains with a finite state space. We shall also analyze many important subclasses and extensions of this basic model such as reversible chains, branching processes, higher order Markov chains, and discrete time Markov processes with continuous state spaces. The properties of the basic Markov chain model and these variants are outlined from a probabilistic viewpoint in Section 3.2.
In Section 3.3, inference for time homogeneous, discrete state space, first-order chains is considered. Then, Section $3.4$ provides inference for various extensions and particular classes of chains. A case study on the analysis of wind directions is presented in Section $3.5$ and Markov decision processes are studied in Section 3.6. The chapter concludes with a brief discussion.
统计代写|应用随机过程代写Stochastic process代考|Higher order chains and mixtures
Generalizing from Definition 1.6, a discrete time stochastic process, $\left{X_{n}\right}$ is a Markov chain of order $r$ if $P\left(X_{n}=x_{n} \mid X_{0}=x_{0}, \ldots, X_{n-1}=x_{n-1}\right)=P\left(X_{n}=x_{n} \mid X_{n-r}=\right.$ $x_{n-r}, \ldots, X_{n-1}=x_{n-1}$ ) so that the state of the chain is determined by the previous $r$ states. It is possible to represent such a chain as first-order chain by simply combining states.
Example 3.1: Consider a second-order, homogeneous Markov chain $\left{X_{n}\right}$ with two possible states (1 and 2) and write $p_{i j l}=P\left(X_{n}=l \mid X_{n-1}=j, X_{n-2}=i\right)$ for $i, j$, $l=1,2$. Then the first-order transition matrix is
The disadvantage of modeling higher order Markov chain models in such a way is that the number of states necessary to reduce such models to a first-order Markov chain is large. For example, if $X_{n}$ can take values in ${1, \ldots, K}$, then $K^{r}$ states are needed to define an $r$ th order chain. Therefore, various alternative approaches to modeling $r$ th order dependence have been suggested. One of the most popular ones is the mixture transition distribution (MTD) model of Raftery (1985). In this case, it is assumed that
$$
P\left(X_{n}=x_{n} \mid X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots, X_{n-r}=x_{n-r}\right)=\sum_{i=1}^{r} w_{i} p_{x_{n-i} x_{n}}
$$
where $\sum_{i=1}^{r} w_{i}=1$ and $\boldsymbol{P}=\left(p_{i j}\right)$ is a transition matrix. This approach leads to more parsimonious modeling than through the full $r$ th order chain. In particular, in Example 3.1, four free parameters are necessary to model the full second-order chain, whereas using the MTD model only three free parameters are necessary. Inference for higher order Markov chains and for the MTD model is examined in Section 3.4.2.
统计代写|应用随机过程代写Stochastic process代考|Discrete time Markov processes with continuous state space
As noted in Chapter 1, Markov processes can be defined with both discrete and continuous state spaces. We have seen that for a Markov chain with discrete state space, the condition for the chain to have an equilibrium distribution is that the chain is aperiodic and that all states are positive recurrent. Although the condition of positive recurrence cannot be sensibly applied to chains with continuous state space, a similar condition known as Harris recurrence applies to chains with continuous state space, which essentially means that the chain can get close to any point in the future. It is known that Harris recurrent, aperiodic chains also possess an equilibrium distribution, so that if the conditional probability distribution of the chain is $P\left(X_{n} \mid X_{n-1}\right)$, then the equilibrium density $\pi$ satisfies
$$
\pi(x)=\int P(x \mid y) \pi(y) \mathrm{d} y .
$$
As with Markov chains with discrete state space, a sufficient condition for a process to possess an equilibrium distribution is to be reversible.
Example 3.2: Simple examples of continuous space Markov chain models are the autoregressive (AR) models. The first-order AR process was outlined in Example 1.1. Higher order dependence can also be incorporated. An $\mathrm{AR}(k)$ model is defined by
$$
X_{n}=\phi_{0}+\sum_{i=1}^{k} \phi_{i} X_{n-i}+\epsilon_{n}
$$
The condition for this process to be (weakly) stationary is the well-known unit roots condition that all roots of the polynomial
$$
\phi_{0} z^{k}-\sum_{i=1}^{k} \phi_{i} z^{k-i}
$$
must lie within the unit circle, that is, each root $z_{i}$ must satisfy $\left|z_{i}\right|<1$. $\triangle$
Inference for AR processes and other continuous state space processes is briefly reviewed in Section 3.4.3.
随机过程代写
统计代写|应用随机过程代写Stochastic process代考|Discrete time Markov chains and extensions
正如我们在第 1 章中提到的，马尔可夫链是研究中最简单的随机过程之一，其特点是缺乏记忆性，因此未来的观察仅取决于当前状态，而不取决于整个过程的过去历史. 尽管马尔可夫链很简单，但可以并且已经应用于许多实际问题，这些问题涉及网络浏览行为、语言建模和姓氏代代相传等不同领域。此外，如第 2 章所述，随着马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法的发展，马尔可夫链已成为贝叶斯分析的基本工具。
在本章中，我们将研究离散时间马尔可夫链的贝叶斯分析，重点关注具有有限状态空间的齐次链。我们还将分析这个基本模型的许多重要子类和扩展，例如可逆链、分支过程、高阶马尔可夫链和具有连续状态空间的离散时间马尔可夫过程。基本马尔可夫链模型和这些变体的属性在 3.2 节中从概率的角度进行了概述。
在第 3.3 节中，考虑了时间均匀、离散状态空间、一阶链的推理。然后，节3.4为各种扩展和特定类别的链提供推理。风向分析的案例研究在第3.5和马尔可夫决策过程在第 3.6 节中进行了研究。本章以简短的讨论结束。
统计代写|应用随机过程代写Stochastic process代考|Higher order chains and mixtures
从定义 1.6 推广，离散时间随机过程，\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}是马尔可夫顺序链r如果磷(Xn=Xn∣X0=X0,…,Xn−1=Xn−1)=磷(Xn=Xn∣Xn−r= Xn−r,…,Xn−1=Xn−1) 使得链的状态由前一个决定r状态。通过简单地组合状态，可以将这样的链表示为一阶链。
例 3.1：考虑一个二阶齐次马尔可夫链\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}有两种可能的状态（1和2）并写p一世jl=磷(Xn=l∣Xn−1=j,Xn−2=一世)为了一世,j, l=1,2. 那么一阶转移矩阵为
以这种方式对高阶马尔可夫链模型建模的缺点是，将此类模型简化为一阶马尔可夫链所需的状态数量很大。例如，如果Xn可以取值1,…,ķ， 然后ķr需要状态来定义一个r订单链。因此，建模的各种替代方法r已经提出了顺序依赖。最流行的模型之一是 Raftery (1985) 的混合过渡分布 (MTD) 模型。在这种情况下，假设
磷(Xn=Xn∣Xn−1=Xn−1,…,Xn−r=Xn−r)=∑一世=1r在一世pXn−一世Xn
在哪里∑一世=1r在一世=1和磷=(p一世j)是一个转移矩阵。这种方法导致比通过完整的模型更简洁的建模r订单链。特别是，在示例 3.1 中，为完整的二阶链建模需要四个自由参数，而使用 MTD 模型只需要三个自由参数。3.4.2 节检查了高阶马尔可夫链和 MTD 模型的推理。
统计代写|应用随机过程代写Stochastic process代考|Discrete time Markov processes with continuous state space
如第 1 章所述，马尔可夫过程可以用离散和连续状态空间来定义。我们已经看到，对于具有离散状态空间的马尔可夫链，该链具有平衡分布的条件是该链是非周期性的并且所有状态都是正循环的。尽管正递归的条件不能明智地应用于具有连续状态空间的链，但称为 Harris 递归的类似条件适用于具有连续状态空间的链，这本质上意味着该链可以接近未来的任何点。众所周知，Harris 循环非周期链也具有平衡分布，因此如果链的条件概率分布为磷(Xn∣Xn−1), 那么平衡密度圆周率满足
圆周率(X)=∫磷(X∣是)圆周率(是)d是.
与具有离散状态空间的马尔可夫链一样，过程具有平衡分布的充分条件是可逆的。
示例 3.2：连续空间马尔可夫链模型的简单示例是自回归 (AR) 模型。例 1.1 中概述了一阶 AR 过程。也可以合并高阶依赖。一个一种R(ķ)模型定义为
Xn=φ0+∑一世=1ķφ一世Xn−一世+εn
这个过程（弱）平稳的条件是众所周知的单位根条件，即多项式的所有根
φ0和ķ−∑一世=1ķφ一世和ķ−一世
必须在单位圆内，即每个根和一世必须满足|和一世|<1. △
3.4.3 节简要回顾了 AR 过程和其他连续状态空间过程的推理。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。