统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Jacobi and Gauss–Seidel Iterations

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数值分析是根据数学模型提出的问题,建立求解问题的数值计算方法并进行方法的理论分析,直到编制出算法程序上机计算得到数值结果,以及对结果进行分析。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Adaptive Filtering using Steepest Descent and LMS Algorithm | Semantic  Scholar
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统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Jacobi and Gauss–Seidel Iterations

Both the Jacobi and Gauss-Seidel methods are splitting methods and can be used whenever $A$ has nonzero diagonal elements. We write $A$ in the form $A=L+D+U$, where $L$ is the subdiagonal (or strictly lower triangular), $D$ is the diagonal, and $U$ is the superdiagonal (or strictly upper triangular) portion of $A$.
Jacobi method
We choose $A-B=D$, the diagonal part of $A$, or in other words we let $B=L+U$. The iteration step is given by
$$
D \mathbf{x}^{(k+1)}=-(L+U) \mathbf{x}^{(k)}+\mathbf{b}
$$

Gauss-Seidel method
We set $A-B=L+D$, the lower triangular portion of $\mathrm{A}$, or in other words $B=U$. The sequence $\mathbf{x}^{(k)}, k=1, \ldots$, is generated by
$$
(L+D) \mathbf{x}^{(k+1)}=-U \mathbf{x}^{(k)}+\mathbf{b} .
$$
Note that there is no need to invert $L+D$; we calculate the components of $x^{(k+1)}$ in sequence using the components we have just calculated by forward substitution:
$$
A_{i, i} x_{i}^{(k+1)}=-\sum_{ji} A_{i, j} x_{j}^{(k)}+b_{i}, \quad i=1, \ldots, n .
$$
As we have seen in the previous section, the sequence $\mathbf{x}^{(k)}$ converges to the solution if the spectral radius of the iteration matrix, $H_{J}=-D^{-1}(L+U)$ for Jacobi or $H_{G S}=-(L+D)^{-1} U$ for Gauss-Seidel, is less than one. We will show this is true for two important classes of matrices. One is the class of positive definite matrices and the other is given in the following definition.
Definition 2.7 (Strictly diagonally dominant matrices). A matric $A$ is called strictly diagonally dominant by rows if
$$
\left|A_{i, i}\right|>\sum_{\substack{j=1 \ j \neq i}}^{n}\left|A_{i, j}\right|
$$
for $i, 1, \ldots, n$.
For the first class, the following theorem holds:

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The efficiency of the splitting method can be improved by relaxation. Here, instead of iterating $(A-B) \mathbf{x}^{(k+1)}=-B \mathbf{x}^{(k)}+\mathbf{b}$, we first calculate $(A-$ $B) \tilde{\mathbf{x}}^{(k+1)}=-B \mathbf{x}^{(k)}+\mathbf{b}$ as an intermediate value and then let
$$
\mathbf{x}^{(k+1)}=\omega \tilde{\mathbf{x}}^{(k+1)}+(1-\omega) \mathbf{x}^{(k)}
$$
for $k=0,1, \ldots .$, where $\omega \in \mathbb{R}$ is called the relaxation parameter. Of course $\omega=1$ corresponds to the original method without relaxation. The parameter $\omega$ is chosen such that the spectral radius of the relaxed method is smaller. The smaller the spectral radius, the faster the iteration converges. Letting $\mathbf{c}=(A-B)^{-1} \mathbf{b}$, the relaxation iteration matrix $H_{\omega}$ can then be deduced from
$$
\mathbf{x}^{(k+1)}=\omega \tilde{\mathbf{x}}^{(k+1)}+(1-\omega) \mathbf{x}^{(k)}=\omega H \mathbf{x}^{(k)}+(1-\omega) \mathbf{x}^{(k)}+\omega \mathbf{c}
$$
as
$$
H_{\omega}=\omega H+(1-\omega) I .
$$
It follows that the eigenvalues of $H_{\omega}$ and $H$ are related by $\lambda_{\omega}=\omega \lambda+(1-\omega)$. The best choice for $\omega$ would be to minimize $\max \left{\left|\omega \lambda_{i}+(1-\omega)\right|, i=1, \ldots, n\right}$ where $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ are the eigenvalues of $H$. However, the eigenvalues of $H$ are often unknown, but sometimes there is information (for example, derived from the Gerschgorin theorem), which makes it possible to choose a good if not optimal value for $\omega$. For example, it might be known that all the eigenvalues are real and lie in the interval $[a, b]$, where $-1<a<b<1$. Then the interval containing the eigenvalues of $H_{\omega}$ is given by $[\omega a+(1-\omega), \omega b+(1-\omega)]$. An optimal choice for $\omega$ is the one which centralizes this interval around the origin:
$$
-[\omega a+(1-\omega)]=\omega b+(1-\omega) .
$$
It follows that
$$
\omega=\frac{2}{2-(a+b)} .
$$
The eigenvalues of the relaxed iteration matrix lie in the interval $\left[-\frac{b-a}{2-(a+b)}, \frac{b-a}{2-(a+b)}\right]$. Note that if the interval $[a, b]$ is already symmetric about zero, i.e., $a=-b$, then $\omega=1$ and no relaxation is performed. On the other hand consider the case where all eigenvalues lie in a small interval close to 1. More specifically, let $a=1-2 \epsilon$ and $b=1-\epsilon$; then $\omega=\frac{2}{3 \epsilon}$ and the new interval is $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$.

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In this section we look at an alternative approach to construct iterative methods to solve $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ in the case where $A$ is symmetric and positive definite. We consider the quadratic function
$$
F(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}-\mathbf{x}^{T} \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}
$$
It is a multivariate function which can be written as
$$
F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} A_{i j} x_{i} x_{j}-\sum_{i=1}^{n} b_{i} x_{i}
$$
Note that the first sum is a double sum. A multivariate function has an extremum at the point where the derivatives in each of the directions $x_{i}$, $i=1, \ldots, n$ vanish. The vector of derivatives is called the gradient and is denoted $\nabla F(\mathbf{x})$. So the extremum occurs when the gradient vanishes, or in other words when $\mathbf{x}$ satisfies $\nabla F(\mathbf{x})=0$. The derivative of $F(\mathbf{x})$ in the direction of $x_{k}$ is
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x_{k}} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) &=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} A_{i k} x_{i}+\sum_{j=1}^{n} A_{k j} x_{j}\right)-b_{k} \
&=\sum_{j=1}^{n} A_{k j} x_{j}-b_{k}
\end{aligned}
$$
where we used the symmetry of $A$ in the last step. This is one component of the gradient vector and thus
$$
\nabla F(\mathbf{x})=A \mathbf{x}-\mathbf{b}
$$

Steepest descent method for L=1 | Download Scientific Diagram
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数值分析代写

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Jacobi 和 Gauss-Seidel 方法都是分裂方法,可以在任何时候使用一种具有非零对角元素。我们写一种在表格中一种=大号+D+在, 在哪里大号是次对角线(或严格的下三角形),D是对角线,并且在是上对角线(或严格上三角形)的部分一种.
Jacobi方法
我们选择一种−乙=D, 的对角线部分一种,或者换句话说,我们让乙=大号+在. 迭代步骤由下式给出
DX(ķ+1)=−(大号+在)X(ķ)+b

Gauss-Seidel 方法
我们设置一种−乙=大号+D, 的下三角部分一种,或者换句话说乙=在. 序列X(ķ),ķ=1,…, 由
(大号+D)X(ķ+1)=−在X(ķ)+b.
请注意,无需反转大号+D; 我们计算的组件X(ķ+1)依次使用我们刚刚通过前向替换计算的组件:
一种一世,一世X一世(ķ+1)=−∑j一世一种一世,jXj(ķ)+b一世,一世=1,…,n.
正如我们在上一节中看到的,序列X(ķ)如果迭代矩阵的谱半径收敛到解,HĴ=−D−1(大号+在)对于雅可比或HG小号=−(大号+D)−1在对于 Gauss-Seidel,小于一。我们将证明这对于两类重要的矩阵是正确的。一类是正定矩阵,另一类在下面的定义中给出。
定义 2.7(严格对角占优矩阵)。一个矩阵一种被称为严格对角占优,如果
|一种一世,一世|>∑j=1 j≠一世n|一种一世,j|
为了一世,1,…,n.
对于第一类,以下定理成立:

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通过松弛可以提高分裂方法的效率。在这里,而不是迭代(一种−乙)X(ķ+1)=−乙X(ķ)+b,我们首先计算(一种− 乙)X~(ķ+1)=−乙X(ķ)+b作为中间值,然后让
X(ķ+1)=ωX~(ķ+1)+(1−ω)X(ķ)
为了ķ=0,1,…., 在哪里ω∈R称为松弛参数。当然ω=1对应于没有松弛的原始方法。参数ω选择使得松弛方法的光谱半径更小。谱半径越小,迭代收敛越快。让C=(一种−乙)−1b, 松弛迭代矩阵Hω然后可以从
X(ķ+1)=ωX~(ķ+1)+(1−ω)X(ķ)=ωHX(ķ)+(1−ω)X(ķ)+ωC
作为
Hω=ωH+(1−ω)一世.
由此可见,特征值Hω和H与λω=ωλ+(1−ω). 的最佳选择ω将最小化\max \left{\left|\omega \lambda_{i}+(1-\omega)\right|, i=1, \ldots, n\right}\max \left{\left|\omega \lambda_{i}+(1-\omega)\right|, i=1, \ldots, n\right}在哪里λ1,…,λn是的特征值H. 然而,特征值H通常是未知的,但有时有信息(例如,从 Gerschgorin 定理得出),这使得即使不是最优值也可以选择一个好的值ω. 例如,可能已知所有特征值都是实数并且位于区间内[一种,b], 在哪里−1<一种<b<1. 然后包含的特征值的区间Hω是(谁)给的[ω一种+(1−ω),ωb+(1−ω)]. 的最佳选择ω是将这个区间集中在原点周围的那个:
−[ω一种+(1−ω)]=ωb+(1−ω).
它遵循
ω=22−(一种+b).
松弛迭代矩阵的特征值位于区间[−b−一种2−(一种+b),b−一种2−(一种+b)]. 请注意,如果间隔[一种,b]已经关于零对称,即一种=−b, 然后ω=1并且不进行放松。另一方面,考虑所有特征值都位于接近 1 的小区间内的情况。更具体地说,让一种=1−2ε和b=1−ε; 然后ω=23ε新的间隔是[−13,13].

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在本节中,我们将研究另一种方法来构建迭代方法来解决一种X=b在这种情况下一种是对称且正定的。我们考虑二次函数
F(X)=12X吨一种X−X吨b,X∈Rn
它是一个多元函数,可以写成
F(X1,…,Xn)=12∑一世,j=1n一种一世jX一世Xj−∑一世=1nb一世X一世
请注意,第一个总和是双倍总和。多元函数在每个方向的导数处都有一个极值X一世, 一世=1,…,n消失。导数的向量称为梯度并表示为∇F(X). 所以极值出现在梯度消失时,或者换句话说,当X满足∇F(X)=0. 的导数F(X)在…方向Xķ是
ddXķF(X1,…,Xn)=12(∑一世=1n一种一世ķX一世+∑j=1n一种ķjXj)−bķ =∑j=1n一种ķjXj−bķ
我们使用的对称性一种在最后一步。这是梯度向量的一个组成部分,因此
∇F(X)=一种X−b

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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