统计代写|数据科学代写data science代考|Generalization of Linear PCA

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|数据科学代写data science代考|Generalization of Linear PCA

统计代写|数据科学代写data science代考|Generalization of Linear PCA

The generalization properties of NLPCA techniques is first investigated for neural network techniques, followed for principal curve techniques and finally kernel PCA. Prior to this analysis, however, we revisit the cost function for determining the $k$ th pair of the score and loading vectors for linear $\mathrm{PCA}$. This analysis is motivated by the fact that neural network approaches as well as principả curves and manifólds minimize thé rêsidual variancees. Rēformulating Equations $(1.9)$ and $(1.10)$ to minimize the residual variance for linear PCA gives rise to:
$$
\mathbf{e}{k}=\mathbf{z}-t{k} \mathbf{p}{k} $$ which is equal to: $$ J{k}=E\left{\mathbf{e}{k}^{T} \mathbf{e}{k}\right}=E\left{\left(\mathbf{z}-t_{k} \mathbf{p}{k}\right)^{T}\left(\mathbf{z}-t{k} \mathbf{p}_{k}\right)\right}
$$

and subject to the following constraints
$$
t_{k}^{2}-\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}=0 \quad \mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{p}{k}-1=0 .
$$
The above constraints follow from the fact that an orthogonal projection of an observation, $\mathbf{z}$, onto a line, defined by $\mathbf{p}{k}$ is given by $t{k}=\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{z}$ if $\mathbf{p}{k}$ is of unit length. In a similar fashion to the formulation proposed by Anderson [2] for determining the PCA loading vectors in (1.11), (1.69) and (1.70) can be combined to produce:
$$
J_{k}=\arg \min {\mathbf{p}{k}}\left{E\left{\left(\mathbf{z}-t_{k} \mathbf{p}{k}\right)^{T}\left(\mathbf{z}-t{k} \mathbf{p}{k}\right)-\lambda{k}^{(1)}\left(t_{k}^{2}-\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}\right)\right}-\lambda_{k}^{(2)}\left(\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{p}{k}-1\right)\right} .
$$
Carrying out the a differentiation of $J_{k}$ with respect to $\mathbf{p}{k}$ yields: $$ E\left{2 t{k}^{2} \mathbf{p}{k}-2 t{k} \mathbf{z}+2 \lambda_{k}^{(1)} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}\right}-2 \lambda{k}^{(2)} \mathbf{p}{k}=\mathbf{0} . $$ A pre multiplication of (1.72) by $\mathbf{p}{k}^{T}$ now reveals
$$
E{\underbrace{t_{k}^{2}-\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}}{=0}+\lambda{k}^{(1)} \underbrace{\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}}{=t{k}^{2}}-\lambda_{k}^{(2)}}=0 .
$$
It follows from Equation (1.73) that
$$
E\left{t_{k}^{2}\right}=\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} .
$$
Substituting (1.74) into Equation (1.72) gives rise to
$$
\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} \mathbf{p}{k}+E\left{\lambda{k}^{(1)} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}-\mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}\right}-\lambda_{k}^{(2)} \mathbf{p}{k}=\mathbf{0} . $$ Utilizing (1.5), the above equation can be simplified to $$ \left(\lambda{k}^{(2)}-1\right) \mathbf{S}{Z Z \mathbf{p}{k}}+\left(\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}}-\lambda_{k}^{(2)}\right) \mathbf{p}{k}=\mathbf{0}, $$ and, hence, $$ \left[\mathbf{S}{Z Z}+\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} \frac{1-\lambda_{k}^{(1)}}{\lambda_{k}^{(2)}-1} \mathbf{I}\right] \mathbf{p}{\mathbf{k}}=\left[\mathbf{S}{Z Z}-\lambda_{k} \mathbf{I}\right] \mathbf{p}{k}=\mathbf{0} $$ with $\lambda{k}=\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} \frac{1-\lambda_{k}^{(1)}}{\lambda_{k}^{(2)}-1}$. Since Equation (1.77) is identical to Equation (1.14), maximizing the variance of the score variables produces the same solution as

minimizing the residual variance by orthogonally projecting the observations onto the $k$ th weight vector. It is interesting to note that a closer analysis of Equation (1.74) yields that $E\left{t_{k}^{2}\right}=\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}}=\lambda_{k}$, according to Equation (1.9), and hence, $\lambda_{k}^{(1)}=\frac{2}{1+\lambda_{k}}$ and $\lambda_{k}^{(2)}=2 \frac{\lambda_{k}}{1+\lambda_{k}}$, which implies that $\lambda_{k}^{(2)} \neq 1$ and $\frac{\frac{x_{k}^{(2)}}{x_{k}^{(1)}}-\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(2)}-1}=\lambda_{k}>0$.

More precisely, minimizing residual variance of the projected observations and maximizing the score variance are equivalent formulations. This implies that determining a NLPCA model using a minimizing of the residual variance would produce an equivalent linear model if the nonlinear functions are simplified to be linear. This is clearly the case for principal curves and manifolds as well as the netral network approaches. In contrast, the kernel PCA approach computes a linear PCA analysis using nonlinearly transformed variables and directly addresses the variance maximization and residual minimization as per the discussion above.

统计代写|数据科学代写data science代考|Neural network approaches

It should also be noted, however, that residual variance minimization alone is a necessary but not a sufficient condition. This follows from the analysis of the ANN topology proposed by Kramer [37] in Fig. 1.6. The nonlinear scores, which can extracted from the bottleneck layer, do not adhere to the fundamental principle that the first component is asseciated with the largest variance, the second component with the second largest variance etc. However, utilizing the sequential training of the ANN, detailed in Fig.1.7, provides an improvement, such that the first nonlinear score variables minimizes the residual variance $e_{1}=\mathbf{z}-\widehat{\mathbf{z}}$ and so on. However, given that the network weights and bias terms are not subject to a length restriction as it is the case for linear PCA, this approach does also not guarantee that the first score variables possesses a maximum variance.

The same holds true for the IT network algorithm by Tan and Mavrovouniotis [68], the computed score variables do not adhere to the principal that the first one has a maximum variance. Although score variables may not be extracted that maximize a variance criterion, the computed scores can certainly be useful for feature extraction $[15,62]$. Another problem of the technique by Tan and Mavrovouniotis is its application as a condition monitoring tool. Assuming the data describe a fault condition the score variables are obtained by an optimization routine to best reconstruct the fault data. It therefore follows that certain fault conditions may not be noticed. This can be illustrated using the following linear example
$$
\mathbf{z}{f}-\mathbf{z}+\mathbf{f} \longrightarrow \mathbf{P}\left(\mathbf{z}{0}+\mathbf{f}\right),
$$

where $f$ represents a step type fault superimposed on the original variable set $\mathbf{z}$ to produce the recorded fault variables $\mathbf{z}{f}$. Separating the above equation produces by incorporating thẻ statistical first order móment: $$ E\left{\mathbf{z}{0}+\mathbf{f}{0}\right}+\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{P}{1}^{T} E\left{\mathbf{z}{1}+\mathbf{f}{1}\right}=\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{t},
$$
where the subscript $-T$ is the transpose of an inverse matrix, respectively, $\mathbf{P}^{T}=\left[\mathbf{P}{0}^{T} \mathbf{P}{1}^{T}\right], \mathbf{z}^{T}=\left(\mathbf{z}{0} \mathbf{z}{1}\right), \mathbf{f}^{T}=\left(\mathbf{f}{0} \mathbf{f}{1}\right), \mathbf{P}{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \mathbf{P}{1} \in \mathbb{R}^{N-n \times n}$, $\mathbf{z}{0}$ and $\mathbf{f}{0} \in \mathbb{R}^{N}$, and $\mathbf{z}{1}$ and $\mathbf{f}{1} \in \mathbb{R}^{N-n}$. Since the expectation of the original variables are zero, Equation (1.79) becomes:
$$
\mathbf{f}{0}+\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{P}{1}^{T} \mathbf{f}{1}=\mathbf{0}
$$
which implies that if the fault vector $\mathbf{f}$ is such that $\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{P}{1}^{T} \mathbf{f}{1}=-\mathbf{f}{0}$ the fault condition cannot be detected using the computed score variables. However, under the assumption that the fault condition is a step type fault but the variance of $\mathbf{z}$ remains unchanged, the first order moment of the residuals would clearly be affected since
$$
E{\mathbf{e}}=E{\mathbf{z}+\mathbf{f}-\mathbf{P t}}=\mathbf{f} .
$$
However, this might not hold true for an NLPCA model, where the PCA model plane, constructed from the retained loading vectors, becomes a surface. In this circumstances, it is possible to construct incipient fault conditions that remain unnoticed given that the optimization routine determines scores from the faulty observations and the IT network that minimize the mismatch between the recorded and predicted observations.

统计代写|数据科学代写data science代考|Nonlinear subspace identification

Subspace identification has been extensively studied over the past decade. This technique enables the identification of a linear state space model using input/output observations of the process. Nonlinear extensions of subspace identification have been proposed in references $[23,41,43,74,76]$ mainly employ Hammerstein or Wiener models to represent a nonlinear steady state transformation of the process outputs. As this is restrictive, kernel PCA may be considered to determine nonlinear filters to efficiently determine this nonlinear transformation.

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数据可视化代写

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NLPCA 技术的泛化特性首先针对神经网络技术进行了研究,然后是主曲线技术,最后是核 PCA。然而,在此分析之前,我们重新审视成本函数以确定ķ线性的第 th 对分数和加载向量磷C一种. 这种分析的动机是神经网络方法以及原理曲线和流形最小化残差方差。重新制定方程(1.9)和(1.10)最小化线性 PCA 的残差导致:
和ķ=和−吨ķpķ这等于:J{k}=E\left{\mathbf{e}{k}^{T} \mathbf{e}{k}\right}=E\left{\left(\mathbf{z}-t_{k} \mathbf{p}{k}\right)^{T}\left(\mathbf{z}-t{k} \mathbf{p}_{k}\right)\right}J{k}=E\left{\mathbf{e}{k}^{T} \mathbf{e}{k}\right}=E\left{\left(\mathbf{z}-t_{k} \mathbf{p}{k}\right)^{T}\left(\mathbf{z}-t{k} \mathbf{p}_{k}\right)\right}

并受以下约束
吨ķ2−pķ吨和和吨pķ=0pķ吨pķ−1=0.
上述约束源于观察的正交投影,和,到一条线上,定义为pķ是(谁)给的吨ķ=pķ吨和如果pķ是单位长度。与 Anderson [2] 提出的用于确定 (1.11)、(1.69) 和 (1.70) 中的 PCA 加载向量的公式类似,可以组合产生:
J_{k}=\arg \min {\mathbf{p}{k}}\left{E\left{\left(\mathbf{z}-t_{k} \mathbf{p}{k}\right) ^{T}\left(\mathbf{z}-t{k} \mathbf{p}{k}\right)-\lambda{k}^{(1)}\left(t_{k}^{2 }-\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}\right)\right}-\lambda_{k}^{(2)}\左(\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{p}{k}-1\right)\right} 。J_{k}=\arg \min {\mathbf{p}{k}}\left{E\left{\left(\mathbf{z}-t_{k} \mathbf{p}{k}\right) ^{T}\left(\mathbf{z}-t{k} \mathbf{p}{k}\right)-\lambda{k}^{(1)}\left(t_{k}^{2 }-\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}\right)\right}-\lambda_{k}^{(2)}\左(\mathbf{p}{k}^{T} \mathbf{p}{k}-1\right)\right} 。
进行差异化Ĵķ关于pķ产量:E\left{2 t{k}^{2} \mathbf{p}{k}-2 t{k} \mathbf{z}+2 \lambda_{k}^{(1)} \mathbf{z z} ^{T} \mathbf{p}{k}\right}-2 \lambda{k}^{(2)} \mathbf{p}{k}=\mathbf{0} 。E\left{2 t{k}^{2} \mathbf{p}{k}-2 t{k} \mathbf{z}+2 \lambda_{k}^{(1)} \mathbf{z z} ^{T} \mathbf{p}{k}\right}-2 \lambda{k}^{(2)} \mathbf{p}{k}=\mathbf{0} 。(1.72) 的预乘以pķ吨现在揭示
和吨ķ2−pķ吨和和吨pķ⏟=0+λķ(1)pķ吨和和吨pķ⏟=吨ķ2−λķ(2)=0.
由方程(1.73)得出
E\left{t_{k}^{2}\right}=\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} 。E\left{t_{k}^{2}\right}=\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} 。
将 (1.74) 代入方程 (1.72) 得到
\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} \mathbf{p}{k}+E\left{\lambda{k}^{(1 )} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}-\mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}\right}-\lambda_{k}^{(2 )} \mathbf{p}{k}=\mathbf{0} 。\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}} \mathbf{p}{k}+E\left{\lambda{k}^{(1 )} \mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}-\mathbf{z z}^{T} \mathbf{p}{k}\right}-\lambda_{k}^{(2 )} \mathbf{p}{k}=\mathbf{0} 。利用 (1.5),上式可以简化为(λķ(2)−1)小号从从pķ+(λķ(2)λķ(1)−λķ(2))pķ=0,因此,[小号从从+λķ(2)λķ(1)1−λķ(1)λķ(2)−1一世]pķ=[小号从从−λķ一世]pķ=0和λķ=λķ(2)λķ(1)1−λķ(1)λķ(2)−1. 由于方程 (1.77) 与方程 (1.14) 相同,因此最大化分数变量的方差会产生与

通过将观察正交投影到ķ权重向量。有趣的是,对等式 (1.74) 的仔细分析得出E\left{t_{k}^{2}\right}=\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}}=\lambda_{k}E\left{t_{k}^{2}\right}=\frac{\lambda_{k}^{(2)}}{\lambda_{k}^{(1)}}=\lambda_{k},根据等式(1.9),因此,λķ(1)=21+λķ和λķ(2)=2λķ1+λķ,这意味着λķ(2)≠1和Xķ(2)Xķ(1)−λķ(2)λķ(2)−1=λķ>0.

更准确地说,最小化投影观察的剩余方差和最大化分数方差是等效的公式。这意味着如果将非线性函数简化为线性,则使用最小化残差方差确定 NLPCA 模型将产生等效的线性模型。这显然是主曲线和流形以及网络方法的情况。相比之下,核 PCA 方法使用非线性变换变量计算线性 PCA 分析,并根据上面的讨论直接解决方差最大化和残差最小化问题。

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然而,还应注意,仅剩余方差最小化是必要条件,但不是充分条件。这是根据 Kramer [37] 在图 1.6 中提出的 ANN 拓扑分析得出的。可以从瓶颈层提取的非线性分数不遵循第一个分量与最大方差相关联,第二个分量与第二大方差等相关的基本原则。但是,利用人工神经网络的顺序训练,图 1.7 中详述,提供了一种改进,使得第一个非线性分数变量最小化残差方差和1=和−和^等等。然而,鉴于网络权重和偏置项不受线性 PCA 的长度限制,这种方法也不能保证第一个得分变量具有最大方差。

Tan 和 Mavrovouniotis [68] 的 IT 网络算法也是如此,计算的分数变量不遵守第一个具有最大方差的原则。尽管可能无法提取使方差标准最大化的分数变量,但计算出的分数肯定可用于特征提取[15,62]. Tan 和 Mavrovouniotis 提出的技术的另一个问题是其作为状态监测工具的应用。假设数据描述了故障条件,则通过优化程序获得分数变量以最好地重建故障数据。因此,可能不会注意到某些故障情况。这可以使用以下线性示例来说明
和F−和+F⟶磷(和0+F),

在哪里F表示叠加在原始变量集上的阶跃型故障和产生记录的故障变量和F. 通过合并统计一阶矩分离上述方程产生:E\left{\mathbf{z}{0}+\mathbf{f}{0}\right}+\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{P}{1}^{T} E\left{\mathbf{z}{1}+\mathbf{f}{1}\right}=\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{t},E\left{\mathbf{z}{0}+\mathbf{f}{0}\right}+\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{P}{1}^{T} E\left{\mathbf{z}{1}+\mathbf{f}{1}\right}=\mathbf{P}{0}^{-T} \mathbf{t},
下标在哪里−吨分别是逆矩阵的转置,磷吨=[磷0吨磷1吨],和吨=(和0和1),F吨=(F0F1),磷0∈Rn×n,磷1∈Rñ−n×n, 和0和F0∈Rñ, 和和1和F1∈Rñ−n. 由于原始变量的期望为零,方程(1.79)变为:
F0+磷0−吨磷1吨F1=0
这意味着如果故障向量F是这样的磷0−吨磷1吨F1=−F0使用计算的分数变量无法检测到故障情况。然而,在故障条件为阶跃型故障但方差为和保持不变,残差的一阶矩显然会受到影响,因为
和和=和和+F−磷吨=F.
然而,这可能不适用于 NLPCA 模型,其中 PCA 模型平面由保留的载荷向量构成,成为一个表面。在这种情况下,考虑到优化例程根据错误观察和 IT 网络确定分数,从而最大限度地减少记录和预测观察之间的不匹配,可以构建未被注意到的初始故障条件。

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在过去的十年中,子空间识别得到了广泛的研究。该技术能够使用过程的输入/输出观察来识别线性状态空间模型。子空间识别的非线性扩展已在参考文献中提出[23,41,43,74,76]主要采用 Hammerstein 或 Wiener 模型来表示过程输出的非线性稳态变换。由于这是限制性的,可以考虑使用核 PCA 来确定非线性滤波器,从而有效地确定这种非线性变换。

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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