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最优控制是为一个动态系统确定一段时期内的控制和状态轨迹，以使性能指数最小化的过程。
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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Application to the distance function
In this section we examine some properties of the singular set of the distance function $d_{S}$ associated to a nonempty closed subset $S$ of $\mathbb{R}^{n}$. As in Section $3.4$, we denote by $\operatorname{proj}{S}(x)$ the set of closest points in $S$ to $x$, i.e., $$ \operatorname{proj}{S}(x)=\left{y \in S: d_{S}(x)=|x-y|\right} \quad x \in \mathbb{R}^{n} .
$$
Our first result characterizes the isolated singularities of $d_{S}$.
Theorem 4.4.1 Let $S$ be a nonempty closed subset of $\mathbb{R}^{n}$ and $x \notin S$ a singular point of $d_{5}$. Then the following properties are equivalent:
(a) $x$ is an isolated point of $\Sigma\left(d_{S}\right)$.
(b) $\partial D^{+} d_{S}(x)=D^{} d_{S}(x)$. (c) $\operatorname{proj}{S}(x)=\partial B{r}(x)$ where $r:=d_{S}(x)$.
Proof – The implication (a) $\Rightarrow$ (b) is an immediate corollary of the propagation result of Section 4.2. Indeed, if $\partial D^{+} d_{S}(x) \backslash D^{} d S(x)$ is nonempty, then Theorem 4.2.2 ensures the existence of a nonconstant singular arc with initial point $x$. In particular, $x$ could not be isolated.
Let us now show that (b) implies (c). First, we claim that, if (b) holds, then $x$ must be a singular point of magnitude $\kappa(x)=n$, i.e., $\operatorname{dim} D^{+} d s(x)=n$. For suppose the strict inequality $\kappa(x)} d_{S}(x)$. Therefore, $D^{+} d_{S}(x) \subset \partial B_{1}$ as all reachable gradients of $d_{S}$ are unit vectors. But the last inclusion contradicts the fact that $D^{+} d S(x)$ is a convex set of dimension at least 1. Our claim is thus proved. Now, we use the fact that $D^{+} d_{S}(x)$ is an $n$-dimensional convex set with $$ \partial D^{+} d_{S}(x)=D^{} d_{S}(x) \subset \partial B_{1} $$ to conclude that $D^{+} d_{S}(x)=\bar{B}{1}$ and $D^{} d{S}(x)=\partial B_{1}$. Then, we invoke formula (3.40) to discover $$ \operatorname{proj}{S}(x)=x-d{S}(x) D^{} d_{S}(x)=\partial B_{r}(x),
$$
which proves (c).
Finally, let us show that (c) implies (a). From Corollary 3.4.5 (iii) we know that $d s$ is differentiable along each segment $] x, y\left[\right.$ with $y \in \operatorname{proj}{S}(x)=\partial B{r}(x)$. So, $d_{S} \in C^{1}\left(B_{r}(x) \backslash{x}\right)$ and the proof is complete.
In other words, the previous result shows that a point $x_{0}$ is an isolated singularity for the distance function from a set $S$ only if there exists an open sphere $B$ centered at $x_{0}$, such that $B \cap S=\emptyset$ and $\partial B \subset S$. In particular, if $S$ is a simply connected set in $\mathbb{R}^{2}$, or a set in $\mathbb{R}^{n}$ with trivial $n-1$ homotopy group, then the distance from $S$ has no isolated singularities in the complement of $S$.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Hamilton–Jacobi Equations
Hamilton-Jacobi equations are nonlinear first order equations which have been first introduced in classical mechanics, but find application in many other fields of mathematics. Our interest in these equations lies mainly in the connection with calculus of variations and optimal control. We have seen in Chapter 1 how the dynamic programming approach leads to the analysis of a Hamilton-Jacobi equation and other examples will be considered in the remainder of the book. However, our point of view in this chapter will be to study Hamilton-Jacobi equations for their intrinsic interest without referring to specific applications.
We begin by giving, in Section 5.1, a fairly general exposition of the method of characteristics. This method allows us to construct smooth solutions of first order equations, and in general can be applied only locally. However, this method is interesting also for the study of solutions that are not smooth. As we will see in the following, characteristic curves (or suitable generalizations) often play an important role for generalized solutions and are related to the optimal trajectories of the associated control problem.
In Section $5.2$ we recall the basic definitions and results from the theory of viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations. In this theory solutions are defined by means of inequalities satisfied by the generalized differentials or by test functions. With such a definition it is possible to obtain existence and uniqueness theorems under quite general hypotheses. In addition, in most cases where the equation is associated to a control problem, the viscosity solution coincides with the value function of the problem. Although this section is meant to be a collection of results whose proof can be found in specialized monographs, we have included the proofs of some simple statements in order to give to the reader the flavor of the techniques of the theory.
In Section $5.3$ we analyze the relation between semiconcavity and the viscosity property. Roughly speaking, it turns out that the two properties are equivalent when the hamiltonian is a convex function of the gradient of the solution. However, it is also possible to obtain semiconcavity results under different assumptions on the hamiltonian.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Method of characteristics
In Section $1.5$ we have introduced the method of characteristics to construct a local classical solution of the Cauchy problem for equations of the form $\partial_{t} u+H(\nabla u)=0$. We now show how this method can be extended to study general first order equations.
As a first step, let us show how the procedure of Section $1.5$ can be generalized to Cauchy problems where the hamiltonian depends also on $t, x$. Let us consider the problem
$$
\begin{gathered}
\partial_{t} u(t, x)+H(t, x, \nabla u(t, x))=0, \quad(t, x) \in\left[0, \infty\left[\times \mathbb{R}^{n}\right.\right. \
u(0, x)=u_{0}(x), \quad x \in \mathbb{R}^{n},
\end{gathered}
$$
with $H$ and $u_{0}$ of class $C^{2}$.
Suppose, first, we have a solution $u \in C^{2}\left([0, T] \times \mathbb{R}^{n}\right)$ of the above problem. Given $z \in \mathbb{R}^{n}$, we call characteristic curve associated to $u$ starting from $z$ the curve $t \rightarrow(t, X(t ; z))$, where $X(* ; z)$ solves
$$
\dot{X}=H_{p}(t, X, \nabla u(t, X)), \quad X(0)=z .
$$
Here and in the following the dot denotes differentiation with respect to $t$. Now, if we set
$$
U(t ; z)=u(t, X(t ; z)), \quad P(t ; z)=\nabla u(t, X(t ; z))
$$
we find that
$$
\begin{gathered}
\dot{U}=u_{t}(t, X)+\nabla u(t, X) \cdot \dot{X}=-H(t, X, P)+P \cdot H_{p}(t, X, P) \
\dot{P}=\nabla u_{t}(t, X)+\nabla^{2} u(t, X) H_{p}(t, X, \nabla u(t, X))
\end{gathered}
$$
Taking into account that
$$
\begin{aligned}
0 &=\nabla\left(u_{t}(t, x)+H(t, x, \nabla u(t, x))\right) \
&=\nabla u_{t}(t, x)+H_{x}(t, x, \nabla u(t, x))+\nabla^{2} u(t, x) H_{p}(t, x, \nabla u(t, x))
\end{aligned}
$$
we obtain that
$$
\dot{P}=-H_{x}(t, X, \nabla u(t, X))=-H_{x}(t, X, P)
$$
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Application to the distance function
在本节中，我们检查距离函数的奇异集的一些性质d小号关联到一个非空的封闭子集小号的Rn. 如部分3.4，我们表示为项目小号(X)中最近点的集合小号到X， IE，\operatorname{proj}{S}(x)=\left{y \in S: d_{S}(x)=|xy|\right} \quad x \in \mathbb{R}^{n} 。\operatorname{proj}{S}(x)=\left{y \in S: d_{S}(x)=|xy|\right} \quad x \in \mathbb{R}^{n} 。
我们的第一个结果表征了d小号.
定理 4.4.1 让小号是一个非空闭子集Rn和X∉小号的一个奇异点d5. 那么下列性质是等价的：
(a)X是一个孤立点Σ(d小号).
(二)∂D+d小号(X)=Dd小号(X). （C）项目小号(X)=∂乙r(X)在哪里r:=d小号(X).
证明 – 含义 (a)⇒(b) 是第 4.2 节传播结果的直接推论。确实，如果∂D+d小号(X)∖Dd小号(X)是非空的，那么定理 4.2.2 保证了一个具有初始点的非常数奇异弧的存在X. 尤其，X无法隔离。
现在让我们证明 (b) 蕴含 (c)。首先，我们声称，如果 (b) 成立，那么X必须是数量级的奇异点ķ(X)=n， IE，暗淡D+ds(X)=n. 假设严格不等式\kappa(x)} d_{S}(x)\kappa(x)} d_{S}(x). 所以，D+d小号(X)⊂∂乙1作为所有可达梯度d小号是单位向量。但最后一个包含与以下事实相矛盾D+d小号(X)是一个维度至少为 1 的凸集。因此我们的主张得到了证明。现在，我们使用的事实是D+d小号(X)是一个n维凸集∂D+d小号(X)=Dd小号(X)⊂∂乙1得出结论D+d小号(X)=乙¯1和Dd小号(X)=∂乙1. 然后，我们调用公式（3.40）来发现项目小号(X)=X−d小号(X)Dd小号(X)=∂乙r(X),
这证明了（c）。
最后，让我们证明 (c) 蕴含 (a)。从推论 3.4.5 (iii) 我们知道ds沿每个段可微]X,是的[$y \in \operatorname{proj} {S}(x)=\partial B {r}(x).小号这,d_{S} \in C^{1}\left(B_{r}(x) \backslash{x}\right)$ 证明完成。
换句话说，前面的结果表明，一个点X0是一组距离函数的孤立奇点小号仅当存在开放球体时乙以X0, 这样乙∩小号=∅和∂乙⊂小号. 特别是，如果小号是一个简单连通集R2, 或一组Rn与琐碎n−1同伦群，则距离小号在补集中没有孤立的奇点小号.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Hamilton–Jacobi Equations
Hamilton-Jacobi 方程是非线性一阶方程，首次引入经典力学，但在许多其他数学领域都有应用。我们对这些方程的兴趣主要在于与变分法和最优控制的联系。我们在第 1 章中已经看到动态规划方法是如何导致分析 Hamilton-Jacobi 方程的，本书的其余部分将考虑其他示例。然而，我们在本章中的观点将是研究 Hamilton-Jacobi 方程的内在兴趣，而不涉及具体的应用。
我们首先在第 5.1 节中对特征方法进行了相当一般的阐述。这种方法允许我们构造一阶方程的平滑解，并且通常只能在局部应用。然而，这种方法对于研究不平滑的解决方案也很有趣。正如我们将在下面看到的，特征曲线（或适当的概括）通常对广义解决方案起着重要作用，并且与相关控制问题的最优轨迹有关。
在部分5.2我们回顾了 Hamilton-Jacobi 方程粘度解理论的基本定义和结果。在这个理论中，解决方案是通过广义微分或测试函数满足的不等式来定义的。有了这样的定义，就有可能在非常一般的假设下获得存在性和唯一性定理。此外，在方程与控制问题相关联的大多数情况下，粘度解与问题的值函数一致。尽管本节旨在收集结果，其证明可以在专门的专着中找到，但我们已经包括了一些简单陈述的证明，以便让读者了解该理论的技巧。
在部分5.3我们分析了半凹度和粘度特性之间的关系。粗略地说，当 hamiltonian 是解的梯度的凸函数时，这两个性质是等价的。然而，也有可能在不同的哈密顿假设下获得半凹结果。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Method of characteristics
在部分1.5我们已经介绍了特征的方法来构造形式方程的柯西问题的局部经典解∂吨在+H(∇在)=0. 我们现在展示如何将此方法扩展到研究一般一阶方程。
作为第一步，让我们展示 Section 的过程1.5可以推广到 Cauchy 问题，其中 hamiltonian 也取决于吨,X. 让我们考虑问题
∂吨在(吨,X)+H(吨,X,∇在(吨,X))=0,(吨,X)∈[0,∞[×Rn 在(0,X)=在0(X),X∈Rn,
和H和在0类的C2.
假设，首先，我们有一个解决方案在∈C2([0,吨]×Rn)上述问题。给定和∈Rn，我们称相关的特征曲线为在从…开始和曲线吨→(吨,X(吨;和))， 在哪里X(∗;和)解决
X˙=Hp(吨,X,∇在(吨,X)),X(0)=和.
此处和下文中的点表示相对于吨. 现在，如果我们设置
在(吨;和)=在(吨,X(吨;和)),磷(吨;和)=∇在(吨,X(吨;和))
我们发现
在˙=在吨(吨,X)+∇在(吨,X)⋅X˙=−H(吨,X,磷)+磷⋅Hp(吨,X,磷) 磷˙=∇在吨(吨,X)+∇2在(吨,X)Hp(吨,X,∇在(吨,X))
考虑到
0=∇(在吨(吨,X)+H(吨,X,∇在(吨,X))) =∇在吨(吨,X)+HX(吨,X,∇在(吨,X))+∇2在(吨,X)Hp(吨,X,∇在(吨,X))
我们得到
磷˙=−HX(吨,X,∇在(吨,X))=−HX(吨,X,磷)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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