如果你也在 怎样代写最优控制optimal control这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。
最优控制是为一个动态系统确定一段时期内的控制和状态轨迹，以使性能指数最小化的过程。
statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写最优控制optimal control方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写最优控制optimal control代写方面经验极为丰富，各种代写最优控制Soptimal control相关的作业也就用不着说。
我们提供的最优控制optimal control及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:
- Statistical Inference 统计推断
- Statistical Computing 统计计算
- Advanced Probability Theory 高等楖率论
- Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized Gradients and Semiconcavity
In the last decades a branch of mathematics has developed called nonsmooth analysis, whose object is to generalize the basic tools of calculus to functions that are not differentiable in the classical sense. For this purpose, one introduces suitable notions of generalized differentials, which are extensions of the usual gradient; the best known example is the subdifferential of convex analysis. The motivation for this study is that in more and more fields of analysis, like the optimization problems considered in this book, the functions that come into play are often nondifferentiable.
For semiconcave functions, the analysis of generalized gradients is important in view of applications to control theory. As we have already seen in a special case (Corollary 1.5.10), if the value function of a control problem is smooth, then one can design the optimal trajectories knowing the differential of the value function. In the general case, where the value function is not smooth but only semiconcave, one can try to follow a similar procedure starting from its generalized gradient.
In Section $3.1$ we define the generalized differentials which are relevant for our purposes and recall basic properties and equivalent characterizations of these objects. Then, we restrict ourselves to semiconcave functions. In Section $3.2$ we show that semiconcave functions possess one-sided directional derivatives everywhere, while in Section $3.3$ we describe the special properties of the superdifferential of a semiconcave function; in particular, we show that it is nonempty at every point and that it is a singleton exactly at the points of differentiability. These properties are classical in the case of concave functions; here we prove that they hold for semiconcave functions with arbitrary modulus.
Section $3.4$ is devoted to the so-called marginal functions, which are obtained as the infimum of smooth functions. We show that semiconcave functions can be characterized as suitable classes of marginal functions. In addition, we describe the semi-differentials of a marginal function using the general results of the previous sections. In Section $3.5$ we study the so-called inf-convolutions. They are marginal functions defined by a process which is a generalization of Hopf’s formula, and provide approximations to a given function which enjoy useful properties. Finally, in Section $3.6$ we introduce proximal gradients and proximally smooth sets, and we analyze how these notions are related to semiconcavity.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized differentials
We begin with the definitions of some generalized differentials and derivatives from nonsmooth analysis. In this section $u$ is a real-valued function defined on an open set $A \subset \mathbb{R}^{n}$.
Definition 3.1.1 For any $x \in A$, the sets
$$
\begin{aligned}
D^{-} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \liminf {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, y-x\rangle}{|y-x|} \geq 0\right} \ D^{+} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \limsup {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, y-x\rangle}{|y-x|} \leq 0\right}
\end{aligned}
$$
are called, respectively, the (Fréchet) superdifferential and subdifferential of $u$ at $x$.
From the definition it follows that, for any $x \in A$,
$$
D^{-}(-u)(x)=-D^{+} u(x) .
$$
Example 3.1.2
Let $A=\mathbb{R}$ and let $u(x)=|x|$. Then it is easily seen that $D^{+} u(0)=\emptyset$ whereas $D^{-} u(0)=[-1,1] .$
Let $A=\mathbb{R}$ and let $u(x)=\sqrt{|x|}$. Then, $D^{+} u(0)=\emptyset$ whereas $D^{-} u(0)=\mathbb{R}$.
Let $A=\mathbb{R}^{2}$ and $u(x, y)=|x|-|y|$. Then, $D^{+} u(0,0)=D^{-} u(0,0)=\emptyset$.
Definition 3.1.3 Let $x \in A$ and $\theta \in \mathbb{R}^{n}$. The upper and lower Dini derivatives of $u$ at $x$ in the direction $\theta$ are defined as
$$
\partial^{+} u(x, \theta)=\lim {h \rightarrow 0^{+}, \theta^{\prime} \rightarrow \theta} \frac{u\left(x+h \theta^{\prime}\right)-u(x)}{h} $$ and $$ \partial^{-} u(x, \theta)=\liminf {h \rightarrow 0^{+}, \theta^{\prime} \rightarrow \theta} \frac{u\left(x+h \theta^{\prime}\right)-u(x)}{h},
$$
respectively.
It is readily seen that, for any $x \in A$ and $\theta \in \mathbb{R}^{n}$
$$
\partial^{-}(-u)(x, \theta)=-\partial^{+} u(x, \theta) .
$$
Remark 3.1.4 Whenever $u$ is Lipschitz continuous in a neighborhood of $x$, the lower Dini derivative reduces to
$$
\partial^{-} u(x, \theta)=\liminf _{h \rightarrow 0+} \frac{u(x+h \theta)-u(x)}{h}
$$
for any $\theta \in \mathbb{R}^{n}$. Indeed, if $L>0$ is the Lipschitz constant of $u$ we have
$$
\left|\frac{u\left(x+h \theta^{\prime}\right)-u(x)}{h}-\frac{u(x+h \theta)-u(x)}{h}\right| \leq L\left|\theta^{\prime}-\theta\right|,
$$
and (3.5) easily follows. A similar property holds for the upper Dini derivative.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Directional derivatives
We begin our exposition of the differential properties of semiconcave functions showing that they possess (one-sided) directional derivatives
$$
\partial u(x, \theta):=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{u(x+h \theta)-u(x)}{h} $$ at any point $x$ and in any direction $\theta$. Theorem 3.2.1 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ be semiconcave. Then, for any $x \in A$ and $\theta \in \mathbb{R}^{n}$, $$ \partial u(x, \theta)=\partial^{-} u(x, \theta)=\partial^{+} u(x, \theta)=u{-}^{0}(x, \theta) .
$$
Proof – Let $\delta>0$ be fixed so that $B_{\delta|\theta|}(x) \subset A$. Then, for any pair of numbers $h_{1}, h_{2}$ satisfying $0<h_{1} \leq h_{2}<\delta$, estimate (2.1) yields
$$
\left(1-\frac{h_{1}}{h_{2}}\right) u(x)+\frac{h_{1}}{h_{2}} u\left(x+h_{2} \theta\right)-u\left(x+h_{1} \theta\right) \leq h_{1}\left(1-\frac{h_{1}}{h_{2}}\right)|\theta| \omega\left(h_{2}|\theta|\right) .
$$
Hence,
$$
\begin{aligned}
&\frac{u\left(x+h_{1} \theta\right)-u(x)}{h_{1}} \
&\geq \frac{u\left(x+h_{2} \theta\right)-u(x)}{h_{2}}-\left(1-\frac{h_{1}}{h_{2}}\right)|\theta| \omega\left(h_{2}|\theta|\right) .
\end{aligned}
$$
Taking the liminf as $h_{1} \rightarrow 0^{+}$in both sides of the above inequality, we obtain
$$
\partial^{-} u(x, \theta) \geq \frac{u\left(x+h_{2} \theta\right)-u(x)}{h_{2}}-|\theta| \omega\left(h_{2}|\theta|\right)
$$
Now, taking the limsup as $h_{2} \rightarrow 0^{+}$, we conclude that
$$
\partial^{-} u(x, \theta) \geq \partial^{+} u(x, \theta) .
$$
So, $\partial u(x, \theta)$ exists and coincides with the lower and upper Dini derivatives.
To complete the proof of $(3.15)$ it suffices to show that
$$
\partial^{+} u(x, \theta) \leq u_{-}^{0}(x, \theta),
$$
since the reverse inequality holds by definition and by Remark 3.1.4. For this purpose, let $\varepsilon>0, \lambda \in] 0, \delta[$ be fixed. Since $u$ is continuous, we can find $\alpha \in$ ] $0,(\delta-\lambda) \theta$ [ such that
$$
\frac{u(x+\lambda \theta)-u(x)}{\lambda} \leq \frac{u(y+\lambda \theta)-u(y)}{\lambda}+\varepsilon, \quad \forall y \in B_{\alpha}(x) .
$$
Using inequality (3.16) with $x$ replaced by $y$, we obtain
$$
\left.\frac{u(y+\lambda \theta)-u(y)}{\lambda} \leq \frac{u(y+h \theta)-u(y)}{h}+|\theta| \omega(\lambda|\theta|), \quad \forall h \in\right] 0, \lambda[.
$$
Therefore,
$$
\frac{u(x+\lambda \theta)-u(x)}{\lambda} \leq \inf {y \in B{u}(x), h \in|0, \lambda|} \frac{u(y+h \theta)-u(y)}{h}+|\theta| \omega(\lambda|\theta|)+\varepsilon .
$$
This implies, by definition of $u_{-}^{0}(x, \theta)$, that
$$
\frac{u(x+\lambda \theta)-u(x)}{\lambda} \leq u_{-}^{0}(x, \theta)+|\theta| \omega(\lambda|\theta|)+\varepsilon .
$$
Hence, taking the limit as $\varepsilon, \lambda \rightarrow 0$, we obtain inequality (3.17).
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized Gradients and Semiconcavity
在过去的几十年中，发展了一个称为非光滑分析的数学分支，其目的是将微积分的基本工具推广到经典意义上不可微分的函数。为此，引入了广义微分的适当概念，它们是通常梯度的扩展；最著名的例子是凸分析的次微分。这项研究的动机是，在越来越多的分析领域，比如本书中考虑的优化问题，发挥作用的函数通常是不可微的。
对于半凹函数，广义梯度的分析对于控制理论的应用很重要。正如我们已经在一个特殊情况下看到的（推论 1.5.10），如果一个控制问题的价值函数是平滑的，那么可以设计出知道价值函数微分的最优轨迹。在一般情况下，值函数不是平滑的，而是半凹的，可以尝试从其广义梯度开始遵循类似的过程。
在部分3.1我们定义了与我们的目的相关的广义微分，并回忆了这些对象的基本属性和等效特征。然后，我们将自己限制在半凹函数上。在部分3.2我们证明了半凹函数在任何地方都具有单向导数，而在第3.3我们描述了半凹函数的超微分的特殊性质；特别是，我们证明了它在每个点上都是非空的，并且在可微分点上它是一个单例。这些性质在凹函数的情况下是经典的；在这里，我们证明它们适用于具有任意模数的半凹函数。
部分3.4致力于所谓的边际函数，它们是作为平滑函数的下确界获得的。我们表明，半凹函数可以表征为合适的边际函数类别。此外，我们使用前面部分的一般结果来描述边际函数的半微分。在部分3.5我们研究所谓的 inf 卷积。它们是由一个过程定义的边际函数，该过程是 Hopf 公式的推广，并为具有有用属性的给定函数提供近似值。最后，在部分3.6我们引入了近端梯度和近端平滑集，并分析了这些概念与半凹性的关系。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized differentials
我们从非光滑分析的一些广义微分和导数的定义开始。在这个部分在是定义在开集上的实值函数一种⊂Rn.
定义 3.1.1 对于任何X∈一种, 集合
\begin{对齐} D^{-} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \liminf {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u( x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \geq 0\right} \ D^{+} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}： \limsup {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \leq 0\right} \end{aligned}\begin{对齐} D^{-} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \liminf {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u( x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \geq 0\right} \ D^{+} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}： \limsup {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \leq 0\right} \end{aligned}
分别称为 (Fréchet) 超微分和亚微分在在X.
从定义可以看出，对于任何X∈一种,
D−(−在)(X)=−D+在(X).
示例 3.1.2
让一种=R然后让在(X)=|X|. 那么很容易看出D+在(0)=∅然而D−在(0)=[−1,1].
让一种=R然后让在(X)=|X|. 然后，D+在(0)=∅然而D−在(0)=R.
让一种=R2和在(X,是的)=|X|−|是的|. 然后，D+在(0,0)=D−在(0,0)=∅.
定义 3.1.3 让X∈一种和θ∈Rn. 的上 Dini 导数和下 Dini 导数在在X在这个方向上θ被定义为
∂+在(X,θ)=林H→0+,θ′→θ在(X+Hθ′)−在(X)H和∂−在(X,θ)=林恩夫H→0+,θ′→θ在(X+Hθ′)−在(X)H,
分别。
不难看出，对于任何X∈一种和θ∈Rn
∂−(−在)(X,θ)=−∂+在(X,θ).
备注 3.1.4 无论何时在是 Lipschitz 连续在邻域X，下 Dini 导数减少为
∂−在(X,θ)=林恩夫H→0+在(X+Hθ)−在(X)H
对于任何θ∈Rn. 确实，如果大号>0是 Lipschitz 常数在我们有
|在(X+Hθ′)−在(X)H−在(X+Hθ)−在(X)H|≤大号|θ′−θ|,
和（3.5）很容易遵循。类似的性质适用于上 Dini 导数。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Directional derivatives
我们开始阐述半凹函数的微分性质，表明它们具有（单向）方向导数
∂在(X,θ):=林H→0+在(X+Hθ)−在(X)H在任何时候X并且在任何方向θ. 定理 3.2.1 令在:一种→R是半凹的。那么，对于任何X∈一种和θ∈Rn,∂在(X,θ)=∂−在(X,θ)=∂+在(X,θ)=在−0(X,θ).
证明——让d>0被固定，以便乙d|θ|(X)⊂一种. 那么，对于任意一对数H1,H2令人满意的0<H1≤H2<d，估计（2.1）产量
(1−H1H2)在(X)+H1H2在(X+H2θ)−在(X+H1θ)≤H1(1−H1H2)|θ|ω(H2|θ|).
因此，
在(X+H1θ)−在(X)H1 ≥在(X+H2θ)−在(X)H2−(1−H1H2)|θ|ω(H2|θ|).
以 liminf 为H1→0+在上述不等式的两边，我们得到∂−在(X,θ)≥在(X+H2θ)−在(X)H2−|θ|ω(H2|θ|)
现在，将 limsup 作为H2→0+, 我们得出结论
∂−在(X,θ)≥∂+在(X,θ).
所以，∂在(X,θ)存在并与下 Dini 导数和上 Dini 导数一致。
完成证明(3.15)足以证明
∂+在(X,θ)≤在−0(X,θ),
因为反向不等式根据定义和备注 3.1.4 成立。为此，让e>0,λ∈]0,d[被固定。自从在是连续的，我们可以找到一种∈ ] 0,(d−λ)θ[ 这样
在(X+λθ)−在(X)λ≤在(是的+λθ)−在(是的)λ+e,∀是的∈乙一种(X).
使用不等式 (3.16)X取而代之是的， 我们获得
在(是的+λθ)−在(是的)λ≤在(是的+Hθ)−在(是的)H+|θ|ω(λ|θ|),∀H∈]0,λ[.
所以，
在(X+λθ)−在(X)λ≤信息是的∈乙在(X),H∈|0,λ|在(是的+Hθ)−在(是的)H+|θ|ω(λ|θ|)+e.
这意味着，根据定义在−0(X,θ)， 那
在(X+λθ)−在(X)λ≤在−0(X,θ)+|θ|ω(λ|θ|)+e.
因此，取极限为e,λ→0，我们得到不等式（3.17）。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。
随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。