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最优控制是为一个动态系统确定一段时期内的控制和状态轨迹，以使性能指数最小化的过程。
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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcave Functions
This chapter and the following two are devoted to the general properties of semiconcave functions. We begin here by studying the direct consequences of the definition and some basic examples, while the next chapters deal with generalized differentials and singularities. At this stage we study semiconcave functions without referring to specific applications; later in the book we show how the results obtained here can be applied to Hamilton-Jacobi equations and optimization problems.
The chapter is structured as follows. In Section $2.1$ we define semiconcave functions in full generality, and study some direct consequences of the definition, like the Lipschitz continuity and the relationship with the differentiability. Then we consider some examples in Section 2.2, like the distance function from a set, or the solutions to certain partial differential equations. We give an account of the vanishing viscosity method for Hamilton-Jacobi equations, where semiconcavity estimates play an important role. In Section $2.3$ we recall some properties which are peculiar to semiconcave functions with a linear modulus, like Alexandroff’s theorem or Jensen’s lemma. In Section $2.4$ we investigate the relation between viscous Hamilton-Jacobi equations and the heat equation induced by the Cole-Hopf transformation, showing that semiconcavity corresponds to the Li-Yau differential Harnack inequality for the heat equation. Finally, in Section $2.5$ we analyze the relation between semiconcavity and a generalized one-sided estimate, a property which will be applied later in the book to prove semiconcavity of viscosity solutions.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Definition and basic properties
Throughout the section $S$ will be a subset of $\mathbb{R}^{n}$.
Definition 2.1.1 We say that a function $u: S \rightarrow \mathbb{R}$ is semiconcave if there exists a nondecreasing upper semicontinuous function $\omega: \mathbb{R}{+} \rightarrow \mathbb{R}{+}$such that $\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \omega(\rho)=0$ and
$$
\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq \lambda(1-\lambda)|x-y| \omega(|x-y|)
$$
for any pair $x, y \in S$, such that the segment $[x, y]$ is contained in $S$ and for any $\lambda \in[0,1]$. We call $\omega a$ modulus of semiconcavity for $u$ in $S$. A function $v$ is called semiconvex in $S$ if $-v$ is semiconcave.
In the case of $\omega$ linear, we recover the class of semiconcave functions introduced in the previous chapter (see Definition 1.1.1 and Proposition 1.1.3). We recall that, if $\omega(\rho)=\frac{C}{2} \rho$, for some $C \geq 0$, then $C$ is called a semiconcavity constant for $u$ in $S$.
We denote by $\mathrm{SC}(S)$ the space of all semiconcave functions in $S$ and by $\mathrm{SCL}(S)$ the functions which are semiconcave in $S$ with a linear modulus. A usual, we use the notation $S C_{l o c}(S)$ or $S C L_{l o c}(S)$ for the functions which are semiconcave (with a linear modulus) locally in $S$, i.e., on every compact subset of $S$.
As we have remarked in Chapter 1 , semiconcave functions with a linear modulus are the most common in the literature. Although they are a smaller class, they are sufficient for many applications; in addition, they enjoy stronger properties than general semiconcave functions and are easier to analyze, since they are more closely related to concave functions. Nevertheless, it is interesting to consider semiconcave functions with a general modulus, since they are a larger class, sharing many of the properties of the case of a linear modulus.
An interesting consequence of the general definition of semiconcavity given above is that any $C^{1}$ function is semiconcave, without any assumption on its second derivatives, as the next result shows.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Examples
A first interesting example of a semiconcave function is provided by the distance function. We recall that the distance function from a given nonempty closed set $C \subset$ $\mathbb{R}^{n}$ is defined by
$$
d_{C}(x)=\min {y \in C}|y-x|, \quad\left(x \in \mathbb{R}^{n}\right) $$ As we show below, $d{C}$ is not semiconcave in the whole space $\mathbb{R}^{n}$, but is semiconcave on the complement of $C$, at least locally. On the other hand, the square of the distance function is semiconcave in $\mathbb{R}^{\pi}$. Before proving this result, let us introduce a property of sets which is useful for the analysis of the semiconcavity of $d_{C}$.
Definition 2.2.1 We say that a set $C \subset \mathbb{R}^{n}$ satisfies an interior sphere condition for some $r>0$ if $C$ is the union of closed spheres of radius $r$, i.e., for any $x \in C$ there exists y such that $x \in \overline{B_{r}(y)} \subset C$.
Proposition 2.2.2 Let $C \subset \mathbb{R}^{n}$ be a closed set, $C \neq \emptyset, \mathbb{R}^{n}$. Then the distance funcrion $d_{C}$ satisfies the following properties:
(i) $d_{C}^{2} \in \mathrm{SCL}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ with semiconcavity constant 2 .
(ii) $d_{C} \in \mathrm{SCL}{\text {loc }}\left(\mathbb{R}^{n} \backslash C\right.$ ). More precisely, given a set $S$ (not necessarily compact) such that dist $(S, C)>0, d{C}$ is semiconcave in $S$ with semiconcavity constant equal to $\operatorname{dist}(S, C)^{-1}$.
(iii) If C satisfies an interior sphere condition for some $r>0$, then $d c \in \mathrm{SCL}\left(\overline{\mathbb{R}^{n} \backslash C}\right)$ with semiconcavity constant equal to $r^{-1}$.
(iv) $d_{C}$ is not locally semiconcave in the whole space $\mathbb{R}^{n}$.
Proof – (i) For any $x \in \mathbb{R}^{n}$ we have
$$
d_{C}^{2}(x)-|x|^{2}=\inf {y \in C}|x-y|^{2}-|x|^{2}=\inf {y \in C}|y|^{2}-2\langle x, y\rangle
$$
Since the infimum of linear functions is concave we deduce, by Proposition 1.1.3, that property (i) holds.
(ii) Let us first observe that, given $z, h \in \mathbb{R}^{n}, z \neq 0$, we have
$$
\begin{aligned}
&(|z+h|+|z-h|)^{2} \
&\leq 2\left(|z+h|^{2}+|z-h|^{2}\right)=4\left(|z|^{2}+|h|^{2}\right) \leq\left(2|z|+\frac{|h|^{2}}{|z|}\right)^{2}
\end{aligned}
$$
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcave Functions
本章和以下两章专门讨论半凹函数的一般性质。我们在这里首先研究定义的直接后果和一些基本示例，而下一章将处理广义微分和奇点。在这个阶段我们研究半凹函数而不参考具体应用；在本书的后面，我们将展示如何将此处获得的结果应用于 Hamilton-Jacobi 方程和优化问题。
本章结构如下。在部分2.1我们完全通用地定义了半凹函数，并研究了定义的一些直接后果，例如 Lipschitz 连续性以及与可微性的关系。然后我们考虑 2.2 节中的一些例子，比如距离函数，或者某些偏微分方程的解。我们给出了 Hamilton-Jacobi 方程的消失粘度法的说明，其中半凹度估计起着重要作用。在部分2.3我们回想起具有线性模量的半凹函数所特有的一些性质，例如 Alexandroff 定理或 Jensen 引理。在部分2.4我们研究了粘性 Hamilton-Jacobi 方程与 Cole-Hopf 变换引起的热方程之间的关系，表明半凹性对应于热方程的 Li-Yau 微分 Harnack 不等式。最后，在部分2.5我们分析了半凹性和广义单面估计之间的关系，这一性质将在本书后面用于证明粘度解的半凹性。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Definition and basic properties
在整个部分小号将是的一个子集Rn.
定义 2.1.1 我们说一个函数在:小号→R如果存在非减半连续函数 $\omega: \mathbb{R} {+} \rightarrow \mathbb{R} {+}是半凹的s在CH吨H一种吨\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \omega(\rho)=0一种ndλ在(X)+(1−λ)在(是的)−在(λX+(1−λ)是的)≤λ(1−λ)|X−是的|ω(|X−是的|)$
对于任何一对X,是的∈小号，使得该段[X,是的]包含在小号并且对于任何λ∈[0,1]. 我们称之为ω一种半凹模量为在在小号. 一个函数在被称为半凸小号如果−在是半凹的。
如果是ω线性，我们恢复了前一章介绍的半凹函数类（见定义 1.1.1 和命题 1.1.3）。我们记得，如果ω(ρ)=C2ρ， 对于一些C≥0， 然后C称为半凹常数在在小号.
我们表示小号C(小号)所有半凹函数的空间小号并通过小号C大号(小号)半凹函数小号具有线性模量。通常，我们使用符号小号Cl这C(小号)或者小号C大号l这C(小号)对于局部半凹（具有线性模量）的函数小号，即，在每个紧凑子集上小号.
正如我们在第 1 章中提到的，具有线性模量的半凹函数在文献中是最常见的。虽然它们是一个较小的类，但它们对于许多应用程序来说已经足够了；此外，它们比一般的半凹函数具有更强的性质，并且更容易分析，因为它们与凹函数的关系更密切。然而，考虑具有一般模量的半凹函数是很有趣的，因为它们是一个更大的类，共享线性模量情况的许多性质。
上面给出的半凹度的一般定义的一个有趣的结果是，任何C1函数是半凹的，对它的二阶导数没有任何假设，如下一个结果所示。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Examples
距离函数提供了半凹函数的第一个有趣示例。我们回想起给定非空闭集的距离函数C⊂ Rn定义为
dC(X)=分钟是的∈C|是的−X|,(X∈Rn)正如我们在下面展示的，dC整个空间都不是半凹的Rn, 但在的补码上是半凹的C，至少在本地。另一方面，距离函数的平方是半凹的R圆周率. 在证明这个结果之前，让我们介绍一个集合的性质，它有助于分析dC.
定义 2.2.1 我们说一个集合C⊂Rn满足某些内部球体条件r>0如果C是半径闭合球体的并集r，即对于任何X∈C存在 y 使得X∈乙r(是的)¯⊂C.
命题 2.2.2 让C⊂Rn成为闭集，C≠∅,Rn. 那么距离函数dC满足以下性质：
(i)dC2∈小号C大号(Rn)半凹常数为 2 。
(二)dC∈小号C大号地方 (Rn∖C)。更准确地说，给定一个集合小号（不一定紧凑）使得 dist(小号,C)>0,dC是半凹的小号半凹常数等于距离(小号,C)−1.
(iii) 如果 C 满足某个内部球体条件r>0， 然后dC∈小号C大号(Rn∖C¯)半凹常数等于r−1.
(四)dC在整个空间中不是局部半凹的Rn.
证明 – (i) 对于任何X∈Rn我们有
$$
d_{C}^{2}(x)-|x|^{2}=\inf {y \in C}|xy|^ {2}-|x|^{2}=\inf {y \in C}|y|^{2}-2\langle x, y\rangle
小号一世nC和吨H和一世nF一世米在米这Fl一世n和一种rF在nC吨一世这ns一世sC这nC一种在和在和d和d在C和,b是的磷r这p这s一世吨一世这n1.1.3,吨H一种吨pr这p和r吨是的(一世)H这lds.(一世一世)大号和吨在sF一世rs吨这bs和r在和吨H一种吨,G一世在和n$和,H∈Rn,和≠0$,在和H一种在和
(|和+H|+|和−H|)2 ≤2(|和+H|2+|和−H|2)=4(|和|2+|H|2)≤(2|和|+|H|2|和|)2
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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