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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Special properties of SCL
While many properties of semiconcave functions are valid in the case of an arbitrary modulus of semiconcavity, there are some results which are peculiar to the case of a linear modulus; we collect in this section some important ones, in addition to those already given in Proposition 1.1.3.
We have seen in Proposition 1.1.3 that semiconcave functions with a linear modulus can be regarded as $C^{2}$ perturbations of concave functions. This allows to extend immediately some well-known properties of concave functions, such as the following.
Theorem 2.3.1 Let $u \in \mathrm{SCL}(A)$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open. Then the following properties hold.
(i) (Alexandroff’s Theorem) $u$ is twice differentiable a.e, that is, for a.e. every $x_{0} \in A$, there exist a vector $p \in \mathbb{R}^{n}$ and a symmetric matrix $B$ such that
$$
\lim {x \rightarrow x{0}} \frac{u(x)-u\left(x_{0}\right)-\left\langle p, x-x_{0}\right)+\left\langle B\left(x-x_{0}\right), x-x_{0}\right\rangle}{\left|x-x_{0}\right|^{2}}=0 .
$$
(ii) The gradient of u, defined almost everywhere in A, belongs to the class $\mathrm{BV}_{\text {loc }}\left(A, \mathbb{R}^{n}\right)$.
Proof – Properties (i) and (ii) hold for a convex function (see e.g., $[72$, Ch. 6.3]). Since $u$ is the difference of a smooth function and a convex one, $u$ also satisfies these properties.
The following result shows that semiconcave functions with linear modulus exhibit a behavior similar to $C^{2}$ functions near a minimum point.
Theorem 2.3.2 Let $u \in \mathrm{SCL}(A)$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open, and let $x_{0} \in A$ be a point of local minimum for $u$. Then there exist a sequence $\left{x_{h}\right} \subset A$ and an infinitesimal sequence $\left{\varepsilon_{h}\right} \subset \mathbb{R}+$ such that $u$ is $t$ wice differentiable in $x_{h}$ and that
$$
\lim {h \rightarrow \infty} x{h}=x_{0}, \quad \lim {h \rightarrow \infty} D u\left(x{h}\right)=0, \quad D^{2} u\left(x_{h}\right) \geq-\varepsilon_{h} I \quad \forall h .
$$
The proof of this theorem is based on the following result.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A differential Harnack inequality
Let us consider the parabolic Hamilton-Jacobi equation
$$
\partial_{f} u(t, x)+|\nabla u(t, x)|^{2}=\Delta u(t, x), \quad t \geq 0, x \in \mathbb{R}^{n} .
$$
We have seen in Proposition 2.2.6 that the solutions to this equation are semiconcave. We now show how such a semiconcavity result is related to the classical Harnack inequality for the heat equation.
A remarkable feature of equation $(2.15)$ is that it can be reduced to the heat equation by a change of unknown called the Cole-Hopf transformation, or logarithmic transformation. In fact, if we set $w(t, x)=\exp (-u(t, x))$, a direct computation shows that $u$ satisfies $(2.15)$ if and only if $\partial_{t} w=\Delta w$. Let us investigate the properties of $w$ which follow from the semiconcavity of $u$.
Proposition 2.4.1 Let $w$ be a positive solution of the heat equation in $[0, T] \times \mathbb{R}^{n}$ whose first and second derivatives are bounded. Then w satisfies
$$
\nabla^{2} w+\frac{w}{2 t} I-\frac{\nabla w \otimes \nabla w}{w} \geq 0
$$
Here $\nabla^{2} w$ denotes the hessian matrix of $w$ with respect to the space variables; inequality (2.16) means that the matrix on the left-hand side is positive semidefinite.
Proof – It is not restrictive to assume that $w$ is greater than some positive constant; if this is not the case, we can replace $w$ by $w+\varepsilon$ and then let $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$. Let us set $u(t, x)=-\ln (w(t, x))$. Then $u$ is a solution of equation (2.15). In addition, $u$ is bounded together with its first and second derivatives. Therefore, by Proposition $2.2 .6, u\left(t,{ }^{-}\right)$is semiconcave with modulus $\omega(\rho)=\rho /(4 t)$. Using the equivalent formulations of Proposition 1.1.3, we can restate this property as
$$
\nabla^{2} u \leq \frac{1}{2 t} I
$$
On the other hand, an easy computation shows that
$$
\nabla^{2} u=-\frac{\nabla^{2} w}{w}+\frac{\nabla w \otimes \nabla w}{w^{2}}
$$
and this proves (2.16). Taking the trace of the left-hand side of (2.16), we obtain
$$
\Delta w+\frac{n w}{2 t}-\frac{|\nabla w|^{2}}{w} \geq 0
$$
which implies $(2.17)$, since $w$ solves the heat equation.
Inequality (2.17) is called a differential Harnack estimate. The connection with the classical Harnack inequality is explained by the following result.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A generalized semiconcavity estimate
In this section we compare the semiconcavity estimate with another one-sided estimate, a priori weaker, which was introduced in [46]. We prove here that the two estimates are in some sense equivalent, and this has applications for the study of certain Hamilton-Jacobi equations, as we will see in the following (see Theorem $5.3 .7)$.
Let us consider a function $u: A \rightarrow \mathbb{R}$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open. Given $x 0 \in A$, we set, for $0<\delta<\operatorname{dist}\left(x_{0}, \partial A\right), x \in B_{1}$,
$$
u_{x_{0}, \delta}(x)=\frac{u\left(x_{0}+\delta x\right)-u\left(x_{0}\right)}{\delta}
$$
Definition 2.5.1 Let $C \subset A$ be a compact set. We say that u satisfies a generalized one-sided estimate in $C$ if there exist $\left.K \geq 0, \delta_{0} \in\right] 0$, $\operatorname{dist}(C, \partial A)[$ and a nondecreasing upper semicontinuous function $\tilde{\omega}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}{+}$, such that $\lim {h \rightarrow 0} \tilde{\omega}(h)=0$ and
$$
\begin{aligned}
&\lambda u_{x_{0}, \delta}(x)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}(y)-u_{x_{0}, \delta}(\lambda x+(1-\lambda) y) \
&\leq \lambda(1-\lambda)|x-y|{K \delta+\widetilde{\omega}(|x-y|)}
\end{aligned}
$$
for all $\left.x_{0} \in C, \delta \in\right] 0, \delta_{0}\left[, x, y \in B_{1}, \lambda \in[0,1]\right.$.
It is easily seen that, if $u$ is semiconcave in $A$, then the above property is satisfied taking $\tilde{\omega}$ equal to a modulus of semiconcavity of $u$ in $A$ and $K=0$. Conversely, semiconcavity can be deduced from the one-sided estimate above, as the next result shows.
Theorem 2.5.2 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$, with A open and let $C$ be a compact subset of $A$. If u satisfies a generalized one-sided estimate in $C$, then $u$ is semiconcave in $C$.
Proof – By hypothesis inequality $(2.20)$ holds for some $K, \delta_{0}, \tilde{\omega}$. Let us take $x, y \in$ $C$ such that $[x, y] \subset C$ and $\lambda \in[0,1]$. It is not restrictive to assume $|x-y|<\delta_{0} / 2$. For any $\delta$ with $|x-y|<\delta<\delta_{0}$, we set
$$
x_{0}=\lambda x+(1-\lambda) y, x^{\prime}=\delta^{-1}(1-\lambda)(x-y), y^{\prime}=\delta^{-1} \lambda(y-x) .
$$
From $(2.19)$ and $(2.20)$ we obtain
$$
\begin{aligned}
&\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \
&=\delta\left{\lambda u_{x_{0}, \delta}\left(x^{\prime}\right)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}\left(y^{\prime}\right)-u_{x_{0}, \delta}\left(\lambda x^{\prime}+(1-\lambda) y^{\prime}\right)\right} \
&\leq \delta \lambda(1-\lambda)\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\right)\right} \
&=\lambda(1-\lambda)|x-y|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\delta^{-1}|x-y|\right)\right} .
\end{aligned}
$$
Therefore
$$
\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq \lambda(1-\lambda)|x-y| \omega(|x-y|)
$$
where $\omega(\rho):=\inf {\delta \in\rfloor \rho, \delta{0}[}\left{K \delta+\tilde{\omega}\left(\delta^{-1} \rho\right)\right}$. The function $\omega$ is upper semicontinuous and nondecreasing. The conclusion will follow if we show that $\lim {h \rightarrow 0} \omega(h)=0$. Given $\varepsilon \in 10.2 K \delta$ o $[$. we choose $\eta \in] 0$. 1[ such that $\tilde{\omega}(s)<\varepsilon / 2$ for $0{0}[$; therefore
$$
\omega(\rho) \leq\left{K \frac{\varepsilon}{2 K}+\tilde{\omega}\left(\frac{2 K}{\varepsilon} \rho\right)\right}<\varepsilon .
$$
This shows that $\lim _{\rho \rightarrow 0} \omega(\rho)=0$ and concludes the proof.
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Special properties of SCL
虽然半凹函数的许多性质在任意半凹模量的情况下都是有效的，但也有一些结果是线性模量的情况所特有的。除了命题 1.1.3 中已经给出的内容之外，我们在本节中收集了一些重要的内容。
我们在命题 1.1.3 中已经看到，具有线性模量的半凹函数可以被视为C2凹函数的扰动。这允许立即扩展凹函数的一些众所周知的属性，例如以下。
定理 2.3.1 令在∈小号C大号(一种)， 和一种⊂Rn打开。那么以下性质成立。
(i) (Alexandroff 定理)在是二次可微的ae，也就是说，对于ae，每X0∈一种, 存在一个向量p∈Rn和一个对称矩阵乙这样
林X→X0在(X)−在(X0)−⟨p,X−X0)+⟨乙(X−X0),X−X0⟩|X−X0|2=0.
(ii) u 的梯度，在 A 中几乎处处定义，属于类乙在地方 (一种,Rn).
证明 – 属性 (i) 和 (ii) 适用于凸函数（参见例如，[72, 通道。6.3]）。自从在是平滑函数和凸函数的差，在也满足这些性质。
以下结果表明具有线性模量的半凹函数表现出类似于C2函数在最小值点附近。
定理 2.3.2 令在∈小号C大号(一种)， 和一种⊂Rn打开，让X0∈一种是局部最小值的一个点在. 那么存在一个序列\left{x_{h}\right} \subset A\left{x_{h}\right} \subset A和一个无穷小的序列\left{\varepsilon_{h}\right} \subset \mathbb{R}+\left{\varepsilon_{h}\right} \subset \mathbb{R}+这样在是吨wice 可微分XH然后
林H→∞XH=X0,林H→∞D在(XH)=0,D2在(XH)≥−eH一世∀H.
该定理的证明基于以下结果。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A differential Harnack inequality
让我们考虑抛物线 Hamilton-Jacobi 方程
∂F在(吨,X)+|∇在(吨,X)|2=Δ在(吨,X),吨≥0,X∈Rn.
我们在命题 2.2.6 中看到这个方程的解是半凹的。我们现在展示这样的半凹结果如何与热方程的经典 Harnack 不等式相关。
方程的一个显着特征(2.15)是它可以通过称为 Cole-Hopf 变换或对数变换的未知变化简化为热方程。事实上，如果我们设置在(吨,X)=经验(−在(吨,X))，直接计算表明在满足(2.15)当且仅当∂吨在=Δ在. 让我们研究一下它的属性在从半凹处得出在.
命题 2.4.1 让在是热方程的正解[0,吨]×Rn其一阶和二阶导数是有界的。那么 w 满足
∇2在+在2吨一世−∇在⊗∇在在≥0
这里∇2在表示 Hessian 矩阵在关于空间变量；不等式 (2.16) 意味着左边的矩阵是半正定的。
证明——不限制假设在大于某个正常数；如果不是这种情况，我们可以替换在经过在+e然后让e→0+. 让我们设置在(吨,X)=−ln(在(吨,X)). 然后在是方程 (2.15) 的解。此外，在与它的一阶和二阶导数有界。因此，通过命题2.2.6,在(吨,−)是半凹模ω(ρ)=ρ/(4吨). 使用命题 1.1.3 的等价公式，我们可以将此属性重述为
∇2在≤12吨一世
另一方面，一个简单的计算表明
∇2在=−∇2在在+∇在⊗∇在在2
这证明了（2.16）。取 (2.16) 左边的迹，我们得到
Δ在+n在2吨−|∇在|2在≥0
这意味着(2.17)， 自从在求解热方程。
不等式 (2.17) 称为微分 Harnack 估计。以下结果解释了与经典哈纳克不等式的联系。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A generalized semiconcavity estimate
在本节中，我们将半凹性估计与另一个在 [46] 中介绍的单边估计（先验较弱）进行比较。我们在这里证明了这两个估计在某种意义上是等价的，这可以应用于某些 Hamilton-Jacobi 方程的研究，正如我们将在下面看到的那样（见 Theorem5.3.7).
让我们考虑一个函数在:一种→R， 和一种⊂Rn打开。给定X0∈一种，我们设置，为0<d<距离(X0,∂一种),X∈乙1,
在X0,d(X)=在(X0+dX)−在(X0)d
定义 2.5.1 让C⊂一种是一个紧集。我们说 u 满足一个广义的单边估计C如果存在ķ≥0,d0∈]0, 距离(C,∂一种)[和一个非减半连续函数 $\tilde{\omega}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} {+},s在CH吨H一种吨\lim {h \rightarrow 0} \波浪号{\omega}(h)=0一种ndλ在X0,d(X)+(1−λ)在X0,d(是的)−在X0,d(λX+(1−λ)是的) ≤λ(1−λ)|X−是的|ķd+ω~(|X−是的|)F这r一种ll\left.x_{0} \in C, \delta \in\right] 0, \delta_{0}\left[, x, y \in B_{1}, \lambda \in[0,1]\right ..一世吨一世s和一种s一世l是的s和和n吨H一种吨,一世F在一世ss和米一世C这nC一种在和一世n一种,吨H和n吨H和一种b这在和pr这p和r吨是的一世ss一种吨一世sF一世和d吨一种ķ一世nG\波浪号{\欧米茄}和q在一种l吨这一种米这d在l在s这Fs和米一世C这nC一种在一世吨是的这F在一世n一种一种ndK=0$。相反，半凹度可以从上面的单边估计推导出来，如下一个结果所示。
定理 2.5.2 让在:一种→R, 用 A 打开并让C是一个紧凑的子集一种. 如果你满足一个广义的单边估计C， 然后在是半凹的C.
证明——通过假设不等式(2.20)持有一些ķ,d0,ω~. 让我们采取X,是的∈ C这样[X,是的]⊂C和λ∈[0,1]. 假设没有限制|X−是的|<d0/2. 对于任何d和|X−是的|<d<d0， 我们设置
X0=λX+(1−λ)是的,X′=d−1(1−λ)(X−是的),是的′=d−1λ(是的−X).
从(2.19)和(2.20)我们获得
\begin{对齐} &\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \ &=\delta\left{\lambda u_{x_ {0}, \delta}\left(x^{\prime}\right)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}\left(y^{\prime}\right)-u_ {x_{0}, \delta}\left(\lambda x^{\prime}+(1-\lambda) y^{\prime}\right)\right} \ &\leq \delta \lambda(1- \lambda)\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\left|x^{\prime}-y^{ \prime}\right|\right)\right} \ &=\lambda(1-\lambda)|xy|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\delta^{-1}|xy |\right)\right} 。\结束{对齐}\begin{对齐} &\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \ &=\delta\left{\lambda u_{x_ {0}, \delta}\left(x^{\prime}\right)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}\left(y^{\prime}\right)-u_ {x_{0}, \delta}\left(\lambda x^{\prime}+(1-\lambda) y^{\prime}\right)\right} \ &\leq \delta \lambda(1- \lambda)\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\left|x^{\prime}-y^{ \prime}\right|\right)\right} \ &=\lambda(1-\lambda)|xy|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\delta^{-1}|xy |\right)\right} 。\结束{对齐}
所以
λ在(X)+(1−λ)在(是的)−在(λX+(1−λ)是的)≤λ(1−λ)|X−是的|ω(|X−是的|)
在哪里\omega(\rho):=\inf {\delta \in\rfloor \rho, \delta{0}[}\left{K \delta+\tilde{\omega}\left(\delta^{-1} \ rho\右）\右}\omega(\rho):=\inf {\delta \in\rfloor \rho, \delta{0}[}\left{K \delta+\tilde{\omega}\left(\delta^{-1} \ rho\右）\右}. 功能ω是上半连续且非递减的。如果我们证明林H→0ω(H)=0. 给定e∈10.2ķd这[. 我们选择这∈]0. 1[这样ω~(s)<e/2为了00[; 所以
\omega(\rho) \leq\left{K \frac{\varepsilon}{2 K}+\波浪号{\omega}\left(\frac{2 K}{\varepsilon} \rho\right)\right} <\伐普西隆。\omega(\rho) \leq\left{K \frac{\varepsilon}{2 K}+\波浪号{\omega}\left(\frac{2 K}{\varepsilon} \rho\right)\right} <\伐普西隆。
这表明林ρ→0ω(ρ)=0并总结证明。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。