统计代写|机器学习代写machine learning代考|Kernel Classifiers from a Machine Learning Perspective

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机器学习是对计算机算法的研究,这些算法可以通过经验和使用数据来自动改进。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需的任务是困难的或不可行的。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|机器学习代写machine learning代考|Kernel Classifiers from a Machine Learning Perspective

统计代写|机器学习代写machine learning代考|The Basic Setting

This chapter presents the machine learning approach to learning kernel classifiers. After a short introduction to the problem of learning a linear classifier, it shows how learning can be viewed as an optimization task. As an example, the classical perceptron algorithm is presented. This algorithm is an implementation of a more general principle known as empirical risk minimization. The chapter also presents a descendant of this principle, known as regularized (structural) risk minimization. Both these principles can be applied in the primal or dual space of variables. It is shown that the latter is computationally less demanding if the method is extended to nonlinear classifiers in input space. Here, the kernel technique is the essential method used to invoke the nonlinearity in input space. The chapter presents several families of kernels that allow linear classification methods to be applicable even if no vectorial representation is given, e.g., strings. Following this, the support vector method for classification learning is introduced. This method elegantly combines the kernel technique and the principle of structural risk minimization. The chapter finishes with a presentation of a more recent kernel algorithm called adaptive margin machines. In contrast to the support vector method, the latter aims at minimizing a leave-one-out error bound rather than a structural risk.

The task of classification learning is the problem of finding a good strategy to assign classes to objects based on past observations of object-class pairs. We shall only assume that all objects $x$ are contained in the set $\mathcal{X}$, often referred to as the input space. Let $\mathcal{Y}$ be a finite set of classes called the output space. If not otherwise stated, we will only consider the two-element output space ${-1,+1}$, in which case

the learning problem is called a binary classification learning task. Suppose we are given a sample of $m$ training objects,
$$
\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \mathcal{X}^{m},
$$
together with a sample of corresponding classes,
$$
\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right) \in \mathcal{Y}^{m}
$$
We will often consider the labeled training sample, ${ }^{1}$
$$
z=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\left(\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{m}, y_{m}\right)\right) \in(\mathcal{X} \times \mathcal{Y})^{m}=\mathcal{Z}^{m}
$$
and assume that $z$ is a sample drawn identically and independently distributed (iid) according to some unknown probability measure $\mathbf{P}_{Z}$.

统计代写|机器学习代写machine learning代考|Learning by Risk Minimization

Apart from algorithmical problems, as soon as we have a fixed object space $\mathcal{X}$, a fixed set (or space) $\mathcal{F}$ of hypotheses and a fixed loss function $l$, learning reduces to a pure optimization task on the functional $R[f]$.

Definition $2.9$ (Learning algorithm) Given an object space $\mathcal{X}$, an output space $\mathcal{Y}$ and a fixed set $\mathcal{F} \subseteq \mathbb{R}^{\mathcal{X}}$ of functions mapping $\mathcal{X}$ to $\mathbb{R}$, a learning algorithm $\mathcal{A}$

for the hypothesis space $\mathcal{F}$ is a mapping ${ }^{6}$
$\mathcal{A}: \bigcup_{m=1}^{\infty}(\mathcal{X} \times \mathcal{Y})^{m} \rightarrow \mathcal{F} .$
The biggest difficulty so far is that we have no knowledge of the function to be optimized, i.e., we are only given an iid sample $z$ instead of the full measure $\mathbf{P}_{\mathrm{Z}}$. Thus, it is impossible to solve the learning problem exactly. Nevertheless, for any learning method we shall require its performance to improve with increasing training sample size, i.e., the probability of drawing a training sample $z$ such that the generalization error is large will decrease with increasing $m$. Here, the generalization error is defined as follows.

Definition $2.10$ (Generalization error) Given a learning algorithm $\mathcal{A}$ and a loss $l: \mathbb{R} \times \mathcal{Y} \rightarrow \mathbb{R}$ the generalization error of $\mathcal{A}$ is defined as
$$
R[\mathcal{A}, z] \stackrel{\text { def }}{=} R[\mathcal{A}(z)]-\inf _{f \in \mathcal{F}} R[f]
$$
In other words, the generalization error measures the deviation of the expected risk of the function learned from the minimum expected risk.

The most well known learning principle is the empirical risk minimization (ERM) principle. Here, we replace $\mathbf{P}{z}$ by $\mathbf{v}{z}$, which contains all knowledge that can be drawn from the training sample $z$. As a consequence the expected risk becomes an empirically computable quantity known as the empirical risk.

统计代写|机器学习代写machine learning代考|The Perceptron Algorithm

The first iterative procedure for learning linear classifiers presented is the perceptron learning algorithm proposed by F. Rosenblatt. The learning algorithm is given on page 321 and operates as follows:

  1. At the start the weight vector $\mathbf{w}$ is set to $\mathbf{0}$.
  2. For each training example $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ it is checked whether the current hypothesis correctly classifies or not. This can be achieved by evaluating the sign of $y_{i}\left\langle\mathbf{x}{i}, \mathbf{w}\right\rangle$. If the $i$ th training sample is not correctly classified then the misclassified pattern $\mathbf{x}{i}$ is added to or subtracted from the current weight vector depending on the correct class $y_{i}$. In summary, the weight vector $\mathbf{w}$ is updated to $\mathbf{w}+y_{i} \mathbf{x}_{i}$.
  3. If no mistakes occur during an iteration through the training sample $z$ the algorithm stops and outputs $\mathbf{w}$.

The optimization algorithm is a mistake-driven procedure, and it assumes the existence of a version space $V(z) \subseteq \mathcal{W}$, i.e., it assumes that there exists at least one classifier $f$ such that $R_{\text {emp }}[f, z]=0$.Since our classifiers are linear in feature space, such training samples are called linearly separable. In order that the perceptron learning algorithm works for any training sample it must be ensured that the unknown probability measure $\mathbf{P}{\mathrm{Z}}$ satisfies $R\left[f^{}\right]=0$. Viewed differently, this means that $\mathbf{P}{Y \mid X=x}(y)=\mathbf{I}{y=h^{}(x)}, h^{} \in \mathcal{H}$, where $h^{}$ is sometimes known as the teacher perceptron. It should be noticed that the number of parameters learned by the perceptron algorithm is $n$, i.e., the dimensionality of the feature space $\mathcal{K}$. We shall call this space of parameters the primal space, and the corresponding algorithm the primal perceptron learning algorithm. As depicted in Figure 2.2, perceptron learning is best viewed as starting from an arbitrary $^{7}$ point $\mathbf{w}{0}$ on the hypersphere $\mathcal{W}$, and each time we observe a misclassification with a training example $\left(x_{i}, y_{i}\right)$, we update $\mathbf{w}{I}$ toward the misclassified training object $y{i} \mathbf{x}_{i}$ (see also Figure $2.1$ (left)). Thus, geometrically, the perceptron learning algorithm performs a walk through the primal parameter space with each step made in the direction of decreasing training error. Note, however, that in the formulation of the algorithm given on page 321 we do not normalize the weight vector $\mathbf{w}$ after each update.

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机器学习代写

统计代写|机器学习代写machine learning代考|The Basic Setting

本章介绍了学习核分类器的机器学习方法。在简要介绍了学习线性分类器的问题之后,它展示了如何将学习视为一项优化任务。作为一个例子,提出了经典的感知器算法。该算法是一个更普遍的原则的实现,称为经验风险最小化。本章还介绍了这一原则的派生,称为正则化(结构性)风险最小化。这两个原则都可以应用于变量的原始空间或对偶空间。结果表明,如果将该方法扩展到输入空间中的非线性分类器,则后者的计算要求较低。在这里,核技术是用于在输入空间中调用非线性的基本方法。本章介绍了几个内核系列,即使没有给出向量表示,例如字符串,它们也允许线性分类方法适用。接着,介绍了分类学习的支持向量方法。这种方法优雅地结合了核技术和结构风险最小化原则。本章最后介绍了一种称为自适应余量机的最新内核算法。与支持向量方法相比,后者旨在最小化留一法误差范围而不是结构风险。这种方法优雅地结合了核技术和结构风险最小化原则。本章最后介绍了一种称为自适应余量机的最新内核算法。与支持向量方法相比,后者旨在最小化留一法误差范围而不是结构风险。这种方法优雅地结合了核技术和结构风险最小化原则。本章最后介绍了一种称为自适应余量机的最新内核算法。与支持向量方法相比,后者旨在最小化留一法误差范围而不是结构风险。

分类学习的任务是根据过去对对象-类对的观察找到一个好的策略来为对象分配类。我们只假设所有对象X包含在集合中X,通常称为输入空间。让是是一组称为输出空间的有限类。如果没有特别说明,我们只考虑二元输出空间−1,+1, 在这种情况下

该学习问题称为二元分类学习任务。假设我们有一个样本米训练对象,
X=(X1,…,X米)∈X米,
连同相应类别的样本,
是=(是1,…,是米)∈是米
我们经常会考虑带标签的训练样本,1
和=(X,是)=((X1,是1),…,(X米,是米))∈(X×是)米=从米
并假设和是根据某个未知概率测度抽取的相同且独立分布 (iid) 的样本磷从.

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除了算法问题,只要我们有一个固定的对象空间X,一个固定的集合(或空间)F假设和固定损失函数l,学习简化为函数上的纯优化任务R[F].

定义2.9(学习算法)给定一个对象空间X, 一个输出空间是和一个固定的集合F⊆RX函数映射X到R, 一种学习算法一种

对于假设空间F是一个映射6
一种:⋃米=1∞(X×是)米→F.
到目前为止最大的困难是我们不知道要优化的函数,即我们只得到一个 iid 样本和而不是完整的措施磷从. 因此,不可能准确地解决学习问题。然而,对于任何学习方法,我们都将要求其性能随着训练样本大小的增加而提高,即抽取训练样本的概率和这样泛化误差很大会随着增加而减小米. 这里,泛化误差定义如下。

定义2.10(泛化错误)给定一个学习算法一种和损失l:R×是→R的泛化错误一种定义为
R[一种,和]= 定义 R[一种(和)]−信息F∈FR[F]
换句话说,泛化误差衡量的是从最小预期风险中学习到的函数的预期风险的偏差。

最著名的学习原则是经验风险最小化(ERM)原则。在这里,我们替换磷和经过在和,其中包含可以从训练样本中提取的所有知识和. 因此,预期风险成为一个经验可计算的量,称为经验风险。

统计代写|机器学习代写machine learning代考|The Perceptron Algorithm

提出的第一个学习线性分类器的迭代过程是 F. Rosenblatt 提出的感知器学习算法。学习算法在第 321 页给出,操作如下:

  1. 开始时的权重向量在设定为0.
  2. 对于每个训练示例(X一世,是一世)检查当前假设是否正确分类。这可以通过评估是一世⟨X一世,在⟩. 如果一世训练样本未正确分类,则错误分类模式X一世取决于正确的类被添加到当前权重向量或从当前权重向量中减去是一世. 总之,权重向量在更新为在+是一世X一世.
  3. 如果在训练样本的迭代过程中没有出现错误和算法停止并输出在.

优化算法是一个错误驱动的过程,它假设存在一个版本空间在(和)⊆在,即假设至少存在一个分类器F这样R雇员 [F,和]=0. 由于我们的分类器在特征空间中是线性的,因此这种训练样本被称为线性可分的。为了使感知器学习算法适用于任何训练样本,必须确保未知概率测度磷从满足R[F]=0. 换个角度看,这意味着磷是∣X=X(是)=一世是=H(X),H∈H, 在哪里H有时被称为教师感知器。需要注意的是,感知器算法学习到的参数个数是n,即特征空间的维数ķ. 我们将这个参数空间称为原始空间,并将相应的算法称为原始感知器学习算法。如图 2.2 所示,感知器学习最好被视为从任意7观点在0在超球面上在,并且每次我们观察到一个训练样本的错误分类(X一世,是一世), 我们更新在一世朝着错误分类的训练对象是一世X一世(另见图2.1(剩下))。因此,从几何上讲,感知器学习算法在原始参数空间中进行遍历,每一步都朝着减小训练误差的方向进行。但是请注意,在第 321 页给出的算法公式中,我们没有对权重向量进行归一化在每次更新后。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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