统计代写|概率论作业代写Probability and Statistics代考5CCM241A|Axioms of the probability theory

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概率和统计是数学的两个分支,涉及随机事件中数据的收集、分析、解释和显示。

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统计代写|概率论作业代写Probability and Statistics代考5CCM241A|Axioms of the probability theory

统计代写|概率论作业代写Probability and Statistics代考5CCM241A|General probability space

In Chapter I we considered the discrete space of elementary events and introduced the notion of a discrete probability space (Chapter I, $\S 2$ ). In it, an event is a subset of the discrete space of elementary events $\Omega=\left{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots\right}$ and the probability of an event $A$
$$
A \in \mathcal{A}={A: A \subseteq \Omega}
$$
is defined as the sum of the probabilities of all elementary events $\omega \in A$ leading to the event $A$, i.e.
$$
P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega) .
$$
After that, a classical definition of probability was given and a number of probability properties derived from this definition were given. For example, it was proved that the probability (probability function) $P$ on $\mathcal{A}$ has the following properties:
1) For any $A \in \mathcal{A}, P(A) \geq 0$;
2) $P(\Omega)=1$;
3) If $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$ are pairwise disjoint events $\left(A_{i} A_{j}=\varnothing, i \neq j\right)$, then
$$
P\left(\sum_{i=1}^{k} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{k} P\left(A_{i}\right) .
$$

统计代写|概率论作业代写Probability and Statistics代考5CCM241A|The necessity of expanding the concept of space elementary events

As we already noted in the first chapter, the space of elementary events $\Omega={\omega}$ corresponding to the experiment under consideration is not necessarily a discrete space of elementary events (that is, a finite or countable set). For example, random throwing

of a point into a segment $t_{1}, t_{2}$ (say, an experiment with temperature measurement) has a continuum of outcomes, because the result may be any point of a segment. If in the experiments that have a finite or countable set of outcomes, any set of outcomes (any subset of the space of elementary events) is an event, then in the example under consideration the situation is different. We will have great difficulties if we consider any subset of this interval as an event.

In order to understand the essence of these difficulties, let us consider the question of constructing a probabilistic model of an experiment consisting of an infinite «independent» coin tossing with the probability of a «Tail» falling out at each step equal to $p$.
As the set of all outcomes (the space of elementary events), it is natural to take the set
$$
\Omega=\left{\omega: \omega=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}\right): \omega_{i}=0,1\right}
$$
where $\omega_{i}$ is a result of the $i$-th trial: if in the $i$-th coin tossing «Tail»s occurs, then $\omega_{i}=1$; if «Head» occurs, then $\omega_{i}=0(i=1,2, \ldots, n)$.
Let us now answer the question: what is the cardinality of the set $\Omega$ ?
First of all, let us recall a well-known result: any number $a \in[0,1)$ can be uniquely decomposed into a set (containing an infinite number of zeros) of binary fractions:
$$
a=\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+\ldots \quad\left(a_{i}=0 \quad \text { or } \quad a_{i}=1 ; i=1,2,3, \ldots\right)
$$
Whence, if we put a number $a=\frac{\omega_{1}}{2}+\frac{\omega_{2}}{2^{2}}+\frac{\omega_{3}}{2^{3}}+\ldots \in[0,1)$ in correspondence to the point (outcome) $\omega=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots\right) \in \Omega$, then we see that there is a one-to-one correspondence between the set $\Omega$ and the interval $[0,1)$, and therefore the set has the cardinality of the continuum.

Now, to understand how to define the probability in the introduced model of an infinite number of «independents tossing of the «right» (symmetric) coin, we note the following:

Since it is possible to take as $\Omega$ the set $[0,1)$, then the problem of interest can be considered as a problem of the values of probabilities in the model of a random «choice of a point from a set $[0,1) »$.

From considerations of symmetry it is clear that all outcomes, i.e. all points of the interval $[0,1)$ must be «equally likely». But the set $[0,1)$ is uncountable, and if we assume that its probability is 1 , then the probability $P(\omega)$ of each elementary event $\omega \in[0,1)$ must necessarily be zero.

统计代写|概率论作业代写Probability and Statistics代考5CCM241A|Probability in a measurable space

In this subsection we introduce the concept of probability of an event and prove a number of important properties of probability.

Definition 3. Let a measurable space $(\Omega, \mathcal{A})$, where $\Omega={\omega}$ is a sample space, $\mathcal{A}$ is algebra of subsets of $\Omega$, be given.

Then defined on $(\Omega, \mathcal{A})$ probability (probabilistic measure, probabilistic function) is called a numerical function $P$, which is defined on $\mathcal{A}$ and assigns to the event $A \in \mathcal{A}$ its probability $P(A)$ with the following properties:
P1. For any event $A \in \mathcal{A}$ the probability $P(A) \geq 0$;
P2. $P(\Omega)=1$;
P3. If $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{A}$ is a sequence of pairwise disjoint events $\left(A_{i} A_{j}=\varnothing, i \neq j\right)$ and $\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{A}$, then
$$
P\left(\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} P\left(A_{n}\right)
$$
If $\mathcal{A}$ is $\sigma$-algebra, then in the definition 3 the requirement $\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{A}$ is superfluous (by the definition of $\sigma$-algebra it is automatically satisfied).

In the probability theory, axiom P1 is called the axiom (or property) of nonnegativity, axiom $\mathbf{P 2}$ – axiom (or property) of normalization, axiom $\mathbf{P 3}$ – axiom (or property) of countable additivity or sigma $(\sigma) \sigma$-additivity.

The triple $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, where $\mathcal{A}$ is algebra, is called extended probabilistic space.
The triple $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, where $\mathcal{F}$ is $\sigma$-algebra, is called a (general) probabilistic space.

If $\Omega$ is a discrete sample space, i.e. a finite or countable set then it is obvious that a system (set) of all subsets is a sigma-algebra and the corresponding triple $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is called a discrete probability space (see $\mathrm{Ch} . \mathrm{I}, \S 1)$. In particular case, when $\Omega$ is a finite set $(|\Omega|<\infty)$, then the triple $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is called a finite probability space.
The construction of a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is the main stage in the process of constructing a mathematical model of the experiment.

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概率和统计代写

统计代写|概率论作业代写Probability and Statistics代考5CCM241A|General probability space

在第一章中,我们考虑了基本事件的离散空间,并介绍了离散概率空间的概念(第一章,§§2)。其中,事件是基本事件的离散空间的子集\Omega=\left{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots\right}\Omega=\left{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots\right}和事件的概率一种
一种∈一种=一种:一种⊆Ω
被定义为所有基本事件的概率之和ω∈一种导致事件一种, IE
磷(一种)=∑ω∈一种磷(ω).
之后,给出了概率的经典定义,并给出了从该定义推导出的一些概率性质。例如,证明了概率(probability function)磷在一种具有以下性质:
1)对于任何一种∈一种,磷(一种)≥0;
2) 磷(Ω)=1;
3) 如果一种1,一种2,…,一种ķ是成对的不相交事件(一种一世一种j=∅,一世≠j), 然后
磷(∑一世=1ķ一种一世)=∑一世=1ķ磷(一种一世).

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正如我们在第一章中已经提到的,基本事件的空间Ω=ω与所考虑的实验相对应的不一定是基本事件的离散空间(即有限集或可数集)。比如随机投掷

一个点到一个段吨1,吨2(例如,温度测量实验)具有连续的结果,因为结果可能是段的任何点。如果在具有有限或可数组结果的实验​​中,任何一组结果(基本事件空间的任何子集)都是一个事件,那么在所考虑的示例中情况就不同了。如果我们将这个区间的任何子集视为一个事件,我们将遇到很大的困难。

为了理解这些困难的本质,让我们考虑构建一个实验的概率模型的问题,该实验由无限的“独立”硬币抛掷,每一步“尾巴”掉出的概率等于p.
作为所有结果的集合(基本事件的空间),很自然地取集合
\Omega=\left{\omega: \omega=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}\right): \omega_{i}=0,1\right }\Omega=\left{\omega: \omega=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}\right): \omega_{i}=0,1\right }
在哪里ω一世是由于一世-th 试验:如果在一世-th 抛硬币 «Tail»s 发生,然后ω一世=1; 如果出现«Head»,则ω一世=0(一世=1,2,…,n).
现在让我们回答这个问题:集合的基数是多少Ω?
首先,让我们回顾一个众所周知的结果:任意数一种∈[0,1)可以唯一地分解为一组(包含无限个零)二进制分数:
一种=一种12+一种222+一种323+…(一种一世=0 或者 一种一世=1;一世=1,2,3,…)
从那里,如果我们输入一个数字一种=ω12+ω222+ω323+…∈[0,1)对应点(结果)ω=(ω1,ω2,ω3,…)∈Ω,那么我们看到集合之间是一一对应的Ω和间隔[0,1),因此该集合具有连续统的基数。

现在,为了理解如何在引入的模型中定义无限数量的“独立”投掷“右”(对称)硬币的概率,我们注意以下几点:

因为可以取为Ω集合[0,1), 那么感兴趣的问题可以被认为是从集合中随机选择一个点的模型中的概率值问题»[0,1)».

从对称性的考虑,很明显所有结果,即区间的所有点[0,1)必须是«同样可能»。但是这套[0,1)是不可数的,如果我们假设它的概率是 1 ,那么概率磷(ω)每个基本事件ω∈[0,1)必须为零。

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在本小节中,我们将介绍事件概率的概念,并证明概率的一些重要性质。

定义 3. 设一个可测空间(Ω,一种), 在哪里Ω=ω是一个样本空间,一种是子集的代数Ω, 被给予。

然后定义在(Ω,一种)概率(probabilistic measure,概率函数)称为数值函数磷,其定义在一种并分配给事件一种∈一种它的概率磷(一种)具有以下属性:
P1。对于任何事件一种∈一种概率磷(一种)≥0;
P2。磷(Ω)=1;
P3。如果一种1,一种2,…∈一种是成对不相交事件的序列(一种一世一种j=∅,一世≠j)和∑n=1∞一种n∈一种, 然后
磷(∑n=1∞一种n)=∑n=1∞磷(一种n)
如果一种是σ-代数,然后在定义3中的要求∑n=1∞一种n∈一种是多余的(根据定义σ-代数自动满足)。

在概率论中,公理 P1 被称为非负性公理(或性质),公理磷2– 归一化公理(或性质),公理磷3– 可数可加性或 sigma 的公理(或性质)(σ)σ-可加性。

三重奏(Ω,一种,磷), 在哪里一种是代数,称为扩展概率空间。
三重奏(Ω,F,磷), 在哪里F是σ-代数,称为(一般)概率空间。

如果Ω是一个离散的样本空间,即一个有限的或可数的集合,那么很明显所有子集的系统(集合)是一个 sigma 代数和相应的三元组(Ω,F,磷)称为离散概率空间(见§CH.一世,§1). 在特定情况下,当Ω是一个有限集(|Ω|<∞),然后是三元组(Ω,F,磷)称为有限概率空间。
概率空间的构造(Ω,F,磷)是构建实验数学模型过程中的主要阶段。

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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