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概率和统计是数学的两个分支，涉及随机事件中数据的收集、分析、解释和显示。
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|概率论作业代写Probability and Statistics代考5CCM241A|Measurable space
Borel $\sigma$-algebra $\beta\left(R^{n}\right)$. Let
$$
R^{n}=\underbrace{R \times R \times \ldots \times R}{n}=\left{\left(x{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right): x_{1} \in R, \ldots, x_{n} \in R\right}
$$
be a direct (Cartesian) product of $n$ exemplars (copies) of the number scale $R$.
We define the system:
$$
J^{(n)}=\left{I_{1} \times I_{2} \times \ldots \times I_{n}: I_{i}=\left(a_{i}, b_{i}\right], a_{i}<b_{i}, i=1,2, \ldots, n\right}
$$
The system $J^{(n)}$ forms an algebra.
The smallest $\sigma$-algebra $\sigma\left(J^{(n)}\right)$ that contains $J^{(n)}$ is called a Borel $\sigma$-algebra on $R^{n}$ and will be denoted by $\beta\left(R^{n}\right)$ :
$$
\beta\left(R^{n}\right)=\sigma\left(J^{(n)}\right)
$$
Elements of $\sigma$-algebra $\beta\left(R^{n}\right)$ are called the $n$ dimensional Borel sets (or Borel sets on $R^{n}$ ).
We will show that the definition of a Borel $\sigma$-algebra $\beta\left(R^{n}\right)$ could be obtained differently.
Indeed, along with rectangles $I^{(n)}=I_{1} \times I_{2} \times \ldots \times I_{n}$ we consider rectangles $B^{(n)}=B_{1} \times B_{2} \times \ldots \times B_{n}$ with Borel sides $\left(B_{k}\right.$ is a Borel set on a number scale, standing in the $k$-th place in the direct product $\underbrace{R \times R \times \ldots \times R}{n}$. The smallest $\sigma$-algebra containing all possible rectangles with Borel sides is denoted by $$ \beta^{(n)}=\underbrace{\beta(R) \otimes \beta(R) \otimes . . \otimes \beta(R)}{n}
$$
and is called a direct product of $\sigma$-algebras $\beta(R)$ :
$$
\beta^{(n)}=\beta(R) \otimes \beta(R) \otimes \ldots \otimes \beta(R)=\left{B_{1} \times B_{2} \times \ldots \times B_{n}: B_{i} \in \beta(R)\right}
$$
We show that in fact $\beta^{(n)}=\beta\left(R^{n}\right)$, in other words, the smallest $\sigma$-algebras, generated by the rectangles $I^{(n)}=I_{1} \times I_{2} \times \ldots \times I_{n}$, coinside with the $\sigma$-algebras, generated by the wider class of rectangles $B^{(n)}=B_{1} \times B_{2} \times \ldots \times B_{n}$ with Borel sides.
To prove this statement, i.e., the equality $\beta^{(n)}=\beta\left(R^{n}\right)$, we will first prove an auxiliary lemma.
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Borel $\sigma$-algebra $\beta\left(R^{\infty}\right)$. This $\sigma$-algebra plays a significant role in the probability theory, since it serves as a basis for constructing probabilistic models of experiments with an infinite number of outcomes.
Let
$$
R^{\infty}=\left{x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right):-\infty<x_{k}<\infty, k=1,2, \ldots\right}=R \times R \times \ldots
$$
Let’s denote by $I_{k}, B_{k}$ (respectively) the intervals $\left(a_{k}, b_{k}\right]$ and Borel sets of the $k$-th number scale (with the coordinates $x_{k}$ ).
Let’s consider cylindrical sets
$$
\begin{aligned}
&J\left(I_{1} \times \ldots \times I_{n}\right)=\left{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right): x_{1} \in I_{1}, x_{2} \in I_{2}, \ldots, x_{n} \in I_{n}\right} \
&J\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)=\left{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right): x_{1} \in B_{1}, x_{2} \in B_{2}, \ldots, x_{n} \in B_{n}\right} \
&J\left(B^{(n)}\right)=\left{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right),\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right) \in B^{(n)}, \quad B^{(n)}=B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right}
\end{aligned}
$$
We can consider each of the cylinders $J\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)$ or $J\left(B^{(n)}\right)$ as a cylinders with bases in $R^{n+1}, R^{n+2}, \ldots$ :
$$
\begin{aligned}
J\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right) &=J\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n} \times R\right) \
J\left(B^{(n)}\right) &=J\left(B^{(n)} \times R\right)
\end{aligned}
$$
etc.
It follows that both systems of cylinders $J\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)$ and $J\left(B^{(n)}\right)$ form algebras.
It is not difficult to verify that sets composed of unions of disjoint cylinders $J\left(I_{1} \times \ldots \times I_{n}\right)$ also form an algebra.
We denote by $\beta\left(R^{\infty}\right), \beta_{1}\left(R^{\infty}\right)$ and $\beta_{2}\left(R^{\infty}\right)$ the smallest algebras containing all the sets of the forms (1), (2), (3), respectively.
It is clear that
$$
\beta\left(R^{\infty}\right) \subseteq \beta_{1}\left(R^{\infty}\right) \subseteq \beta_{2}\left(R^{\infty}\right)
$$
Let’s show that in fact these three $\sigma$-algebras coincide.
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- Let’s introduce on the number scale $R=(-\infty,+\infty)$ the metrics:
$$
\text { for } x, y \in R, \rho_{1}(x, y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} \text {. }
$$
a) Prove that $\rho_{1}(x, y)$ is really a metrics.
b) Let’s denote by $\beta_{0}(R)$ the smallest $\sigma$-algebra, generated by the open sets
$$
S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R: \rho_{1}\left(x, x^{0}\right)<\rho, \rho>0, x^{0} \in R\right} .
$$
Prove that $\beta_{0}(R)=\beta(R)$. - Let $\beta_{0}\left(R^{n}\right)$ be the smallest $\sigma$-algebra, generated by the open sets
$$
S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R^{n}: \rho_{n}\left(x, x^{0}\right)<\rho, x^{0} \in R^{n}, \rho>0\right}
$$
in metrics
$$
\begin{gathered}
\rho_{n}\left(x, x^{0}\right)=\sum_{k=1}^{n} 2^{-k} \rho_{1}\left(x_{k}, x_{k}^{0}\right), \quad x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in R^{n}, \quad x^{0}=\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right) \in R^{n}, \
\rho_{1}\left(x_{k}, x_{k}^{0}\right)=\frac{\left|x_{k}-x_{k}^{0}\right|}{1+\left|x_{k}-x_{k}^{0}\right|} .
\end{gathered}
$$
Prove that $\beta_{0}\left(R^{n}\right)=\beta\left(R^{n}\right)$. - For all points $x, x_{0} \in R^{\infty}$ the distance between them is defined by the formula:
$$
\rho_{\infty}\left(x, x^{0}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \frac{\left|x_{k}-x_{k}^{0}\right|}{1+\left|x_{k}-x_{k}^{0}\right|} .
$$
Let $\beta_{0}\left(R^{\infty}\right)$ be the smallest $\sigma$-algebra, generated by the open sets
$$
S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R^{\infty}: \rho_{\infty}\left(x, x^{0}\right)<\rho, x^{0} \in R^{\infty}, \rho>0\right} .
$$
概率和统计代写
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博雷尔σ-代数b(Rn). 令
$$
R^{n}=\underbrace{R \times R \times \ldots \times R} {n}=\left{\left(x {1}, x_{2}, \ldots, x_{n }\right): x_{1} \in R, \ldots, x_{n} \in R\right}
b和一种d一世r和C吨(C一种r吨和s一世一种n)pr这d在C吨这F$n$和X和米pl一种rs(C这p一世和s)这F吨H和n在米b和rsC一种l和$R$.在和d和F一世n和吨H和s是s吨和米:
J^{(n)}=\left{I_{1} \times I_{2} \times \ldots \times I_{n}: I_{i}=\left(a_{i}, b_{i}\对], a_{i}<b_{i}, i=1,2, \ldots, n\right}
吨H和s是s吨和米$Ĵ(n)$F这r米s一种n一种lG和br一种.吨H和s米一种ll和s吨$σ$−一种lG和br一种$σ(Ĵ(n))$吨H一种吨C这n吨一种一世ns$Ĵ(n)$一世sC一种ll和d一种乙这r和l$σ$−一种lG和br一种这n$Rn$一种nd在一世llb和d和n这吨和db是$b(Rn)$:
\beta\left(R^{n}\right)=\sigma\left(J^{(n)}\right)
$$
的元素σ-代数b(Rn)被称为n维 Borel 集（或 Borel 集Rn ).
我们将证明 Borel 的定义σ-代数b(Rn)可以不同的方式获得。
确实，与矩形一起一世(n)=一世1×一世2×…×一世n我们考虑矩形乙(n)=乙1×乙2×…×乙n带有 Borel 边(乙ķ是一个在数字尺度上设置的 Borel，站在ķ- 在直接产品中排名第R×R×…×R⏟n. 最小的σ- 包含所有可能的具有 Borel 边的矩形的代数表示为b(n)=b(R)⊗b(R)⊗..⊗b(R)⏟n
并且被称为的直接产品σ-代数b(R) :
\beta^{(n)}=\beta(R) \otimes \beta(R) \otimes \ldots \otimes \beta(R)=\left{B_{1} \times B_{2} \times \ldots \times B_{n}: B_{i} \in \beta(R)\right}\beta^{(n)}=\beta(R) \otimes \beta(R) \otimes \ldots \otimes \beta(R)=\left{B_{1} \times B_{2} \times \ldots \times B_{n}: B_{i} \in \beta(R)\right}
我们证明了事实上b(n)=b(Rn)，换句话说，最小的σ- 由矩形生成的代数一世(n)=一世1×一世2×…×一世n, 与σ-代数，由更广泛的矩形类生成乙(n)=乙1×乙2×…×乙n与 Borel 边。
证明这个陈述，即等式b(n)=b(Rn)，我们将首先证明一个辅助引理。
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博雷尔σ-代数b(R∞). 这σ-代数在概率论中发挥着重要作用，因为它是构建具有无限数量结果的实验概率模型的基础。
让
R^{\infty}=\left{x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right):-\infty<x_{k}<\infty, k=1,2, \ ldots\right}=R \times R \times \ldotsR^{\infty}=\left{x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right):-\infty<x_{k}<\infty, k=1,2, \ ldots\right}=R \times R \times \ldots
让我们表示一世ķ,乙ķ（分别）间隔(一种ķ,bķ]和 Borel 集ķ-th 数字刻度（带有坐标Xķ）。
让我们考虑圆柱集
\begin{对齐} &J\left(I_{1} \times \ldots \times I_{n}\right)=\left{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\右): x_{1} \in I_{1}, x_{2} \in I_{2}, \ldots, x_{n} \in I_{n}\right} \ &J\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)=\left{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right): x_{1} \in B_{1} , x_{2} \in B_{2}, \ldots, x_{n} \in B_{n}\right} \ &J\left(B^{(n)}\right)=\left{x: x =\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right),\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right) \in B^{(n) }, \quad B^{(n)}=B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right} \end{aligned}\begin{对齐} &J\left(I_{1} \times \ldots \times I_{n}\right)=\left{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\右): x_{1} \in I_{1}, x_{2} \in I_{2}, \ldots, x_{n} \in I_{n}\right} \ &J\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)=\left{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right): x_{1} \in B_{1} , x_{2} \in B_{2}, \ldots, x_{n} \in B_{n}\right} \ &J\left(B^{(n)}\right)=\left{x: x =\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right),\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right) \in B^{(n) }, \quad B^{(n)}=B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right} \end{aligned}
我们可以考虑每个气缸Ĵ(乙1×…×乙n)或者Ĵ(乙(n))作为带有底座的圆柱体Rn+1,Rn+2,… :
Ĵ(乙1×…×乙n)=Ĵ(乙1×…×乙n×R) Ĵ(乙(n))=Ĵ(乙(n)×R)
等等。
因此，这两种气缸系统Ĵ(乙1×…×乙n)和Ĵ(乙(n))形成代数。
不难验证由不相交的圆柱体组成的集合Ĵ(一世1×…×一世n)也形成一个代数。
我们表示b(R∞),b1(R∞)和b2(R∞)分别包含所有形式 (1)、(2)、(3) 的集合的最小代数。
很清楚
b(R∞)⊆b1(R∞)⊆b2(R∞)
让我们证明，实际上这三个σ-代数重合。
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- 让我们在数字尺度上介绍R=(−∞,+∞)指标：
为了 X,是∈R,ρ1(X,是)=|X−是|1+|X−是|.
a) 证明ρ1(X,是)真的是一个指标。
b) 让我们用b0(R)最小的σ-代数，由开集生成
S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R: \rho_{1}\left(x, x^{0}\right)<\rho, \rho> 0, x^{0} \in R\right} 。S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R: \rho_{1}\left(x, x^{0}\right)<\rho, \rho> 0, x^{0} \in R\right} 。
证明b0(R)=b(R). - 让b0(Rn)做最小的σ-代数，由开集生成
S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R^{n}: \rho_{n}\left(x, x^{0}\right)<\rho , x^{0} \in R^{n}, \rho>0\right}S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R^{n}: \rho_{n}\left(x, x^{0}\right)<\rho , x^{0} \in R^{n}, \rho>0\right}
在指标中
ρn(X,X0)=∑ķ=1n2−ķρ1(Xķ,Xķ0),X=(X1,X2,…,Xn)∈Rn,X0=(X10,X20,…,Xn0)∈Rn, ρ1(Xķ,Xķ0)=|Xķ−Xķ0|1+|Xķ−Xķ0|.
证明b0(Rn)=b(Rn). - 对于所有点X,X0∈R∞它们之间的距离由以下公式定义：
ρ∞(X,X0)=∑ķ=1∞2−ķ|Xķ−Xķ0|1+|Xķ−Xķ0|.
让b0(R∞)做最小的σ-代数，由开集生成
S_{\rho}\left(x^{0}\right)=\left{x \in R^{\infty}: \rho_{\infty}\left(x, x^{0}\right)< \rho, x^{0} \in R^{\infty}, \rho>0\right} 。
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。
多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。