统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

Our delta-hedging strategy was a bit too simple as it consists only in buying or selling the asset at $t=0$ and holding it until the maturity. A more involved strategy is to buy (or sell) units of the asset at a date $t_{k}$ until a next date $t_{k+1}$. Let us compute the value of our delta-hedged portfolio at the maturity $T$. At $t_{k}$, the portfolio value $\pi_{t_{k}}$ is
$$
\pi_{t_{k}}=\left(\pi_{t_{k}}-H_{t_{k}} S_{t_{k}}\right)+H_{t_{k}} S_{t_{k}}
$$
where $H_{t_{k}}$ is the number of shares held at time $t_{k}$. Although this expression seems algebraically trivial, its financial interpretation is important: the term $H_{t_{k}} S_{t_{k}}$ is the value at $t_{k}$ of a position consisting of $H_{t_{k}}$ units of the asset. The term $\pi_{t_{k}}-H_{t_{k}} S_{t_{k}}$ represents the cash part invested in a bank account. The variation of our portfolio between $t_{k}$ and $t_{k+1}$ is then
$$
\begin{aligned}
\delta \pi_{t_{k}} &=\left(\pi_{t_{k}}-H_{t_{k}} S_{t_{k}}\right) r \delta t+H_{t_{k}} \delta S_{t_{k}} \
&=\pi_{t_{k}} r \delta t+H_{t_{k}}\left(\delta S_{t_{k}}-S_{t_{k}} r \delta t\right)
\end{aligned}
$$
with $\delta S_{t_{k}} \equiv S_{t_{k+1}}-S_{t_{k}}, \delta t=t_{k+1}-t_{k}$ small enough. As no cash is injected between $t_{k}$ and $t_{k+1}$, our portfolio is called self-financing. By setting $\bar{\pi}{t{k}} \equiv e^{-r t_{k}} \pi_{t_{k}}$ and $\bar{S}{t{k}} \equiv e^{-r t_{k}} S_{t_{k}}$, we obtain the variation of the discounted portfolio
$$
\delta \tilde{\pi}{t{k}}=H_{t_{k}} \delta \tilde{S}{t{k},}, \delta \tilde{S}{t{k}} \equiv \tilde{S}{t{k+1}}-\tilde{S}{t{k}}
$$
Here the state of information evolves over time and is described by a filtration $\mathcal{F}=\left(\mathcal{F}{t{1}}, \ldots, \mathcal{F}{t{n}}\right)$ where the $\sigma$-algebra $\mathcal{F}_{t}$ is the set of events that will be known to be true or false. We take here $\mathcal{F}{t{k}}=\sigma\left(S_{0}, \ldots, S_{t_{k}}\right)$ the natural filtration. $H_{k}=H_{k}\left(S_{0}, \ldots, S_{t_{k}}\right)$ is adapted, i.e., a measurable function with respect to $\mathcal{F}{t{k}}$ : we don’t look into the future. If we now assume that the trader sells an option with payoff $F_{T}$ at the price $C$ at $t=0$ and then delta-hedges his position at the intermediate dates $t_{0} \equiv 0<t_{1}<\ldots<t_{n} \equiv T$, we get
$$
e^{-r T} \pi_{T}=-e^{-r T} F_{T}+C+\sum_{k=0}^{n-1} H_{t_{k}}\left(S_{0}, \ldots, S_{t_{k}}\right) \delta \bar{S}{t{k}}
$$
By playing the same game as in Theorem 1.1, we obtain the dual expression:

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Black–Scholes replication

Here we assume some familiarity with stochastic analysis. However, this section is not needed for the rest of the book and therefore can be skipped (see however the expression of the Black-Scholes formula). We consider that $S_{t}$ is modeled by a log-normal process under $\mathbb{P}^{\text {hist. }}$ :
$$
\frac{d S_{t}}{S_{t}}=\mu d t+\sigma d W_{t}^{\mathrm{P}^{\text {hint }}}
$$
$\mathcal{M}{\infty}$ corresponds to the set of $\mathbb{Q}$-martingale measure equivalent to Phist $^{\text {. From }}$ the Girsanov theorem (see e.g. $[130]), \mathcal{M}{\infty}$ reduces to a singleton $\left{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}\right}$ under which
$$
\frac{d S_{t}}{S_{t}}=r d t+\sigma d W_{t}^{\mathrm{Q}^{\mathrm{BS}}}
$$ We conclude that there is a unique arbitrage-free price (independent of $\mu$ compare with formula (1.6)):
$$
C=\mathbb{E}^{\mathrm{Q}^{\mathrm{BS}}}\left[e^{-r T} F_{T}\right]
$$
We deduce also that the payoff can be dynamically hedged:
$$
-e^{-r T} F_{T}+C+\int_{0}^{T} \partial_{S_{t}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}}\left[e^{-r(T-t)} F_{T} \mid S_{t}\right] d \tilde{S}{t}=0, \quad \text { Phist }^{-a . s .} $$ Note that for a call payoff $F{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}$, we obtain the Black-Scholes formula.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Trading T-Vanilla options

We assume that $T$-Vanilla options on each asset are traded on the market. They are specified by a payoff $\lambda\left(S_{T}\right)$ at a maturity $T$. In practice, these Vanilla payoffs can be replicated by holding a strip of put/call $T$-Vanillas through the Taylor expansion formula [38]:
$$
\begin{aligned}
\lambda\left(S_{T}\right)=\lambda\left(S_{0}\right)+\lambda^{\prime}\left(S_{0}\right)\left(S_{T}-S_{0}\right) &+\int_{0}^{S_{\mathrm{a}}} \lambda^{\prime \prime}(K)\left(K-S_{T}\right)^{+} d K \
&+\int_{S_{0}}^{\infty} \lambda^{\prime \prime}(K)\left(S_{T}-K\right)^{+} d K
\end{aligned}
$$
where $\left(K-S_{T}\right)^{+}\left(\right.$resp. $\left.\left(S_{T}-K\right)^{+}\right)$is the payoff of a put (resp. call). Derivatives $\lambda^{\prime \prime}(K)$ are understood in the distribution sense. We then assume that the pricing operator $\Pi[\cdot]$ (used by market operators to value Vanillas) is linear meaning that
$$
\Pi\left[\sum_{i} \lambda_{i}\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=\sum_{i} \lambda_{i} \Pi\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]
$$

Moreover, from the no-arbitrage condition, we should have that
$$
\Pi[1]=e^{-r T}, \quad \Pi\left[S_{T}\right]=S_{0}
$$
Also, still from the no-arbitrage condition, $\Pi\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right]$should be nonincreasing, convex with respect to $K$ and $\Pi\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] \geq\left(S_{0}-K e^{-r T}\right)^{+}$. From Riesz’s representation theorem (with the additional requirement that the market price of a call option with strike $K$ goes to 0 as $K \rightarrow \infty$ ), this implies that there exists a probability $\mathbb{P}^{m k t}$ such that
$$
C(K) \equiv \Pi\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[e^{-r T}\left(S_{T}-K\right)^{+}\right]
$$
with $\mathbb{E}^{\text {prkt }}\left[e^{-r T} S_{T}\right]=S_{0}$.
Below and in the rest of the book, for the sake of simplicity, we take $r=0$. This can be easily relaxed by including in the formulas below a multiplicative factor $e^{-r T}$.

From the linear property, the market price of the payoff $\lambda\left(S_{T}\right)$, inferred from market prices of put/call options, is
$$
\begin{aligned}
\Pi\left[\lambda\left(S_{T}\right)\right]=\mathbb{E}^{\mathrm{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[\lambda\left(S_{T}\right)\right] &=\lambda\left(S_{0}\right)+\int_{0}^{S_{0}} \lambda^{\prime \prime}(K) \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[\left(K-S_{T}\right)^{+}\right] d K \
&+\int_{S_{0}}^{\infty} \lambda^{\prime \prime}(K) \mathbb{E}^{\mathrm{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] d K
\end{aligned}
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

我们的 delta 对冲策略有点过于简单,因为它只包含在吨=0并持有至到期。一个更复杂的策略是在某个日期购买(或出售)资产单位吨ķ直到下一个日期吨ķ+1. 让我们计算到期时我们的 delta 对冲投资组合的价值吨. 在吨ķ, 投资组合价值圆周率吨ķ是

圆周率吨ķ=(圆周率吨ķ−H吨ķ小号吨ķ)+H吨ķ小号吨ķ
在哪里H吨ķ是当时持有的股份数量吨ķ. 尽管这个表达式在代数上看起来微不足道,但它的财务解释很重要:H吨ķ小号吨ķ是值吨ķ的位置包括H吨ķ资产单位。期限圆周率吨ķ−H吨ķ小号吨ķ表示投资于银行账户的现金部分。我们的投资组合在吨ķ和吨ķ+1那么是

d圆周率吨ķ=(圆周率吨ķ−H吨ķ小号吨ķ)rd吨+H吨ķd小号吨ķ =圆周率吨ķrd吨+H吨ķ(d小号吨ķ−小号吨ķrd吨)
和d小号吨ķ≡小号吨ķ+1−小号吨ķ,d吨=吨ķ+1−吨ķ足够小。由于没有现金注入吨ķ和吨ķ+1,我们的投资组合称为自筹资金。通过设置圆周率¯吨ķ≡和−r吨ķ圆周率吨ķ和小号¯吨ķ≡和−r吨ķ小号吨ķ,我们得到贴现投资组合的变化

d圆周率~吨ķ=H吨ķd小号~吨ķ,,d小号~吨ķ≡小号~吨ķ+1−小号~吨ķ
在这里,信息状态随着时间的推移而演变,并通过过滤来描述F=(F吨1,…,F吨n)在哪里σ-代数F吨是一组已知为真或假的事件。我们把这里F吨ķ=σ(小号0,…,小号吨ķ)自然过滤。Hķ=Hķ(小号0,…,小号吨ķ)被适配,即,一个可测量的函数F吨ķ: 我们不展望未来。如果我们现在假设交易者卖出有收益的期权F吨以价格C在吨=0然后在中间日期对冲他的头寸吨0≡0<吨1<…<吨n≡吨,我们得到

和−r吨圆周率吨=−和−r吨F吨+C+∑ķ=0n−1H吨ķ(小号0,…,小号吨ķ)d小号¯吨ķ
通过玩与定理 1.1 相同的游戏,我们得到对偶表达式:

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Black–Scholes replication

在这里,我们假设您熟悉随机分析。但是,本书的其余部分不需要此部分,因此可以跳过(但请参见 Black-Scholes 公式的表达式)。我们认为小号吨由下的对数正态过程建模磷历史。  :

d小号吨小号吨=μd吨+σd在吨磷暗示 
米∞对应的集合问- 鞅测度等价于 Phist. 从 Girsanov 定理(参见例如[130]),米∞减少为单例\left{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}\right}\left{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}\right}在这之下

d小号吨小号吨=rd吨+σd在吨问乙小号我们得出结论,存在一个独特的无套利价格(独立于μ与公式(1.6)比较):

C=和问乙小号[和−r吨F吨]
我们还推断,收益可以动态对冲:

−和−r吨F吨+C+∫0吨∂小号吨和问乙小号[和−r(吨−吨)F吨∣小号吨]d小号~吨=0, 费斯特 −一个.s.请注意,对于电话收益F吨=(小号吨−ķ)+,我们得到 Black-Scholes 公式。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Trading T-Vanilla options

我们假设吨-每种资产的普通期权在市场上交易。它们由收益指定λ(小号吨)在成熟时吨. 在实践中,这些普通的收益可以通过持有一条看跌/看涨期权来复制吨-香草通过泰勒展开公式[38]:

λ(小号吨)=λ(小号0)+λ′(小号0)(小号吨−小号0)+∫0小号一个λ′′(ķ)(ķ−小号吨)+dķ +∫小号0∞λ′′(ķ)(小号吨−ķ)+dķ
在哪里(ķ−小号吨)+(分别(小号吨−ķ)+)是看跌期权(分别是看涨期权)的收益。衍生品λ′′(ķ)从分布的意义上理解。然后我们假设定价算子圆周率[⋅](由市场运营商用来评估香草)是线性的意思是

圆周率[∑一世λ一世(小号吨−ķ一世)+]=∑一世λ一世圆周率[(小号吨−ķ一世)+]

此外,从无套利条件来看,我们应该有

圆周率[1]=和−r吨,圆周率[小号吨]=小号0
此外,仍然从无套利条件出发,圆周率[(小号吨−ķ)+]应该是非增加的,凸的ķ和圆周率[(小号吨−ķ)+]≥(小号0−ķ和−r吨)+. 来自 Riesz 的表示定理(附加要求是具有行使价的看涨期权的市场价格ķ变为 0 为ķ→∞),这意味着存在概率磷米ķ吨这样

C(ķ)≡圆周率[(小号吨−ķ)+]=和磷米ķ吨[和−r吨(小号吨−ķ)+]
和和prkt [和−r吨小号吨]=小号0.
下面和本书的其余部分,为了简单起见,我们取r=0. 这可以通过在下面的公式中包含一个乘法因子来轻松放宽和−r吨.

从线性属性,收益的市场价格λ(小号吨),从看跌/看涨期权的市场价格推断,是

圆周率[λ(小号吨)]=和磷米ķ吨[λ(小号吨)]=λ(小号0)+∫0小号0λ′′(ķ)和磷米ķ吨[(ķ−小号吨)+]dķ +∫小号0∞λ′′(ķ)和磷米ķ吨[(小号吨−ķ)+]dķ

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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