统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale optimal transport

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale optimal transport

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Formulation in R+d and multi-dimensional marginals

The MK formulation and its dual expression remain valid when $S_{1}$ and $S_{2}$ are two random variables in $\mathbb{R}{+}^{d}$. The interpretation in mathematical finance goes as follows: let us consider a payoff $c\left(s{1}, s_{2}\right)$ depending on two groups $\left(s_{1}, s_{2}\right)$, each composed of $d$ assets. The first group is $\left(s_{1}^{1}, \ldots, s_{1}^{d}\right) \in \mathbb{R}{+}^{d}$. Knowing the distribution of $S{1} \in \mathbb{R}{+}^{d}$ is equivalent to knowing (at $t=0$ ) the market values of all basket options $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\left(S{1} \cdot \omega-K\right)^{+}\right]$for all $K \in \mathbb{R}$ and for all $\omega \in \mathbb{R}^{d}$. This equivalence can be seen by observing that basket option prices fix the Laplace transform of $S_{1}: \mathbb{E}^{P^{1}}\left[e^{\omega-S_{1}}\right]$. Although basket options are liquid only for some particular values of the weight $\omega$ (and $K)$, the values $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\left(S_{1} \cdot \omega-K\right)^{+}\right]$can be however fixed by assuming a correlation structure (more precisely a copula, denoted co below) between the variables $\left(S_{1}^{1}, \ldots, S_{1}^{d}\right)$. For example, the first group of assets (resp. second) belongs to the same financial sector and can therefore be assumed to be strongly correlated. This is not the case for the correlation structures between $S_{1}$ and $S_{2}$ which belong to two different groups and for which the correlation information is difficult to obtain. This is found through our OT formulation. By definition of the copula co, we impose that
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda_{1}\left(S_{1}\right)\right] \equiv \mathbb{E}\left[\lambda_{1}\left(F_{1}^{-1}\left(U_{1}\right), \ldots F_{d}^{-1}\left(U_{d}\right)\right) \operatorname{co}\left(U_{1}, \ldots, U_{d}\right)\right]
$$
where $\left(U_{i}\right){1 \leq i \leq d}$ are $d$ independent uniform random variables and $F{i}$ is the cumulative distribution of $S_{1}^{i}$ implied from $T$-Vanilla options on $S_{1}^{i}$. Note that our discussion can be extended when $S_{1} \in \mathbb{R}{+}^{d}$ and $S{2} \in \mathbb{R}_{+}^{d^{}}$ with $d \neq d^{}$.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Fréchet-Hoeffding solution

Under the so-called Spence-Mirrlees condition, $c_{12} \equiv \partial_{s_{1} s_{2}} c>0$, OT (2.6) can be solved explicitly. Let $F_{1}, F_{2}$ denote the cumulative distribution functions of $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$. For the sake of simplicity, we will assume that $\mathbb{P}^{1}$ does not give mass to points and $c \in C^{2}$.
THEOREM $2.2$
Under $c_{12}>0$,
(i): The optimal measure $\mathbb{P}^{}$ has the form $$ \mathbb{P}^{}\left(d s_{1}, d s_{2}\right)=\delta_{T\left(s_{1}\right)}\left(d s_{2}\right) \mathbb{P}^{1}\left(d s_{1}\right)
$$
with $T$ the forward image of the measure $\mathbb{P}^{1}$ onto $\mathbb{P}^{2}: T(x)=F_{2}^{-1} \circ F_{1}(x)$.
(ii): The optimal upper bound is given by
$$
\mathrm{MK}{2}=\int{0}^{1} c\left(F_{1}^{-1}(u), F_{2}^{-1}(u)\right) d u
$$
This optimal bound can be attained by a static hedging strategy consisting in holding European payoffs $\lambda_{1} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right), \lambda_{2} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$ with market prices $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda_{1}\left(S_{1}\right)\right]$ and $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]$
$$
\mathrm{MK}{2}=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda{1}\left(S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]
$$
with
$$
\lambda_{2}(x)=\int_{0}^{x} c_{2}\left(T^{-1}(y), y\right) d y, \quad \lambda_{1}(x)=c(x, T(x))-\lambda_{2}(T(x))
$$
The value of this static European portfolio super-replicates the payoff at maturity:
$$
\lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(s_{2}\right) \geq c\left(s_{1}, s_{2}\right), \quad \forall\left(s_{1}, s_{2}\right) \in \mathbb{R}{+}^{2} $$ $T$ is refereed as the Brenier map (or Fréchet-Hoeffding). Note that the above theorem requires additional conditions on $c$ in order to guarantee the integrability conditions $\lambda{1} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right)$ and $\lambda_{2} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Brenier’s solution

The Fréchet-Hoeffding solution has been generalized in $\mathbb{R}^{d}$ by Brenier [29] first in the case of a quadratic cost function and then extended to concave payoff $c=c\left(s_{1}-s_{2}\right)$ by Gangbo and McCann $[79]$ and others:
THEOREM 2.3 Brenier $=c\left(s_{1}, s_{2}\right)=-\left|s_{1}-s_{2}\right|^{2} / 2$
(i): If $\mathbb{P}^{1}$ has no atoms, then there is a unique optimal $\mathbb{P}^{}$, which is a Monge solution: $$ \mathbb{P}^{}=\delta_{T\left(s_{1}\right)}\left(d s_{2}\right) \mathbb{P}^{1}\left(s_{1}\right)
$$
with $T=\nabla \lambda_{1} . \nabla \lambda_{1}$ is the unique gradient of a convex function $\lambda_{1}$.
(ii): The optimal bound is attained by a static hedging strategy with $\lambda_{2}(x)=$ $c(x, T(x))-\lambda_{1}(x)$ and $\lambda_{1}$ uniquely specified by
$$
\left(\nabla \lambda_{1}\right) # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}
$$
The notation $T # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}$ means that for all $U \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$ :
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[U\left(T\left(S_{1}\right)\right)\right]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[U\left(S_{2}\right)\right]
$$
If $T$ is differentiable, this condition reads
$$
|\operatorname{det} \nabla T| \mathbb{P}^{2}(T(x))=\mathbb{P}^{1}(x)
$$

This theorem has been generalized to a strictly concave, superlinear ${ }^{2}$ cost function $c\left(s_{1}, s_{2}\right)=c\left(s_{1}-s_{2}\right)$. The Brenier map is then
$$
T(x)=x-\nabla c^{}\left(\nabla \lambda_{1}(x)\right) $$ for some $c$-concave function $\lambda_{1}$ which is uniquely fixed by the requirement $T_{#} \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}$. Here $c^{} \equiv \inf _{x}{p . x-c(x)}$ is the Legendre transform of $c .$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale optimal transport

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Formulation in R+d and multi-dimensional marginals

MK 公式及其对偶表达式在以下情况下仍然有效小号1和小号2是两个随机变量R+d. 数学金融中的解释如下:让我们考虑一个回报C(s1,s2)取决于两组(s1,s2), 每个由d资产。第一组是(s11,…,s1d)∈R+d. 了解分布情况小号1∈R+d相当于知道(在吨=0) 所有篮子期权的市值和磷1[(小号1⋅ω−ķ)+]对所有人ķ∈R并为所有人ω∈Rd. 这种等价性可以通过观察篮子期权价格固定拉普拉斯变换来看出小号1:和磷1[和ω−小号1]. 尽管篮子期权仅对某些特定的权重值具有流动性ω(和ķ), 价值和磷1[(小号1⋅ω−ķ)+]然而,可以通过假设变量之间的相关结构(更准确地说是一个 copula,在下面表示为 co)来固定(小号11,…,小号1d). 例如,第一组资产(分别是第二组)属于同一金融部门,因此可以假设它们是强相关的。之间的相关结构并非如此小号1和小号2属于两个不同的组,并且很难获得相关信息。这是通过我们的 OT 公式发现的。根据 copula co 的定义,我们强加

和磷1[λ1(小号1)]≡和[λ1(F1−1(在1),…Fd−1(在d))合作⁡(在1,…,在d)]
在哪里(在一世)1≤一世≤d是d独立的均匀随机变量和F一世是的累积分布小号1一世暗示自吨- 香草选项小号1一世. 请注意,我们的讨论可以扩展为小号1∈R+d和小号2∈R+d和d≠d.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Fréchet-Hoeffding solution

在所谓的 Spence-Mirrlees 条件下,C12≡∂s1s2C>0, OT (2.6) 可以显式求解。让F1,F2表示的累积分布函数磷1和磷2. 为了简单起见,我们假设磷1不给点质量和C∈C2.
定理2.2
在下面C12>0,
(i): 最优度量磷有形式

磷(ds1,ds2)=d吨(s1)(ds2)磷1(ds1)
和吨度量的正向图像磷1到磷2:吨(X)=F2−1∘F1(X).
(ii):最优上限由下式给出

米ķ2=∫01C(F1−1(在),F2−1(在))d在
这种最佳界限可以通过一种静态对冲策略来实现,该策略包括持有欧洲收益λ1∈大号1(磷1),λ2∈大号1(磷2)以市场价格和磷1[λ1(小号1)]和和磷2[λ2(小号2)]

米ķ2=和磷1[λ1(小号1)]+和磷2[λ2(小号2)]

λ2(X)=∫0XC2(吨−1(是),是)d是,λ1(X)=C(X,吨(X))−λ2(吨(X))
这个静态欧洲投资组合的价值超级复制了到期时的回报:

λ1(s1)+λ2(s2)≥C(s1,s2),∀(s1,s2)∈R+2吨被称为 Brenier 地图(或 Fréchet-Hoeffding)。请注意,上述定理需要附加条件C为了保证可积性条件λ1∈大号1(磷1)和λ2∈大号1(磷2).

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Brenier’s solution

Fréchet-Hoeffding 解已被推广到RdBrenier [29] 首先在二次成本函数的情况下,然后扩展到凹支付C=C(s1−s2)通过 Gangbo 和 McCann[79]和其他人:
定理 2.3 布雷尼尔=C(s1,s2)=−|s1−s2|2/2
(i): 如果磷1没有原子,则存在唯一最优磷,这是一个 Monge 解决方案:

磷=d吨(s1)(ds2)磷1(s1)
和吨=∇λ1.∇λ1是凸函数的唯一梯度λ1.
(ii):通过静态对冲策略获得最优界限λ2(X)= C(X,吨(X))−λ1(X)和λ1唯一指定的

\left(\例如 \lambda_{1}\right)#\mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}\left(\例如 \lambda_{1}\right)#\mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}
符号T # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}T # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}意味着对于所有人在∈大号1(磷2) :

和磷1[在(吨(小号1))]=和磷2[在(小号2)]
如果吨是可微的,这个条件读

|这⁡∇吨|磷2(吨(X))=磷1(X)

该定理已推广到严格凹的超线性2成本函数C(s1,s2)=C(s1−s2). Brenier 地图是

吨(X)=X−∇C(∇λ1(X))对于一些C-凹函数λ1这是由需求唯一确定的T_{#} \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}T_{#} \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}. 这里C≡信息Xp.X−C(X)是勒让德变换C.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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