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在概率论中，鞅理论是一个随机变量序列（即一个随机过程），对它来说，在某一特定时间，序列中下一个值的条件期望值等于现值，而不考虑所有先验值。
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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References
Central Limit Theorems for martingales can be found in many textbooks, Billingsley (1995); Durrett (1996); Ethier and Kurtz (1986); Varadhan (2001), for instance. We refer to Whitt (2007) for a recent account.
To our knowledge, the first central limit theorem for Markov chains goes back to Doeblin (1938) who reduced the problem to the case of independent identically distributed random variables. We refer to Nagaev (1957) for a proof along the line of Doeblin’s idea. Gordin (1969) and Gordin and Lifšic (1978) showed that
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges to a mean zero Gaussian random variable if $V$ belongs to the range of the operator $I-P$ in $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) proved an invariance principle for a Markov chain in random environment.
Kozlov (1985) and Kipnis and Varadhan (1986) proposed independently a general method to prove central limit theorems for additive functionals of Markov chains from martingale central limit theorems. The approach presented here follows Kipnis and Varadhan (1986). This seminal paper has been the starting point of much research on asymptotic normality of additive functionals of ergodic Markov chains which is reviewed in the following chapters. De Masi et al. (1989) and Goldstein (1995) considered anti-symmetric additive functionals of reversible Markov chains. Maxwell and Woodroofe $(2000)$ proved that the sequence (1.27) is asymptotically normal for stationary ergodic Markov chains $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ provided $V$ has mean zero with respect to the stationary measure $\pi$ and
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales
On a probability space $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ consider a right continuous, square-integrable martingale $\left{M_{t}: t \geq 0\right}$ with respect to a given filtration $\left{\mathscr{F}{t}: t \geq 0\right}$ satisfying the usual conditions. We refer to Jacod and Shiryaev (1987) for the terminology adopted and some elementary properties of martingales used without further comments. Assume that $M{0}=0$ and denote by $\langle M, M\rangle_{t}$ its predictable quadratic variation. Denote by $\mathbb{E}$ expectation with respect to $\mathbb{P}$.
Theorem 2.1 Assume that the increments of the martingale $M_{t}$ are stationary: for every $t \geq 0, n \geq 1$ and $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$, the random vectors $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-\right.$ $\left.M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ have the same distribution. Assume also that the predictable quadratic variation converges in $L^{1}(\mathbb{P})$ to $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle{n}}{n}-\sigma^{2}\right|=0 .
$$
Then, the distribution of $M_{t} / \sqrt{t}$ conditioned on $\mathscr{F}{0}$ converges in probability, as $t \uparrow \infty$, to a mean zero Gaussian law with variance $\sigma^{2}$ : $$ \lim {t \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0 $$ for all $\theta$ in $\mathbb{R}$. The proof of this theorem relies on the next lemma which reduces the problem to proving the central limit theorem for integer times. Lemma 2.2 Under the assumptions of Theorem 2.1, $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\sup {n \leq t \leq n+1}\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}{0}\right]\right|\right]=0 $$ Proof The difference of conditional expectations appearing in the statement of the lemma equals $$ \mathbb{E}\left[\left(\exp \left{i \theta\left[M{t} / \sqrt{t}-M_{n} / \sqrt{n}\right]\right}-1\right) e^{i \theta M_{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}_{0}\right] .
$$
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation
Fix a function $V$ in $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}{-1}, \lambda>0$ and consider the resolvent equation $$ \lambda f{\lambda}-L f_{\lambda}-V
$$
Note that $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ belongs to the domain of the generator $L$. Taking the scalar product with respect to $f_{\lambda}$ on both sides of this equation we get that
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2}=\left\langle V, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$
Hence, by Schwarz inequality ( $2.9)$,
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq\left|f_{\lambda}\right|_{1}|V|_{-1}
$$
so that $\left|f_{\lambda}\right|_{1} \leq|V|_{-1}$. Combining the two previous bounds we easily obtain the stronger estimate
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq|V|_{-1}^{2} .
$$
From the above estimate we conclude that $\lambda f_{\lambda}$ vanishes in $L^{2}(\pi)$ as $\lambda \downarrow 0$ and that $\left{f_{\lambda}: 0<\lambda \leq 1\right}$ forms a bounded sequence in $\mathscr{H}_{1}$ and is therefore weakly precompact.
Another simple consequence of $(2.15)$ is that $(\lambda-L)^{-1}$ extends to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$ :
Lemma 2.3 The operator $(\lambda-L)^{-1}$ extends from $L^{2}(\pi)$ to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$. Moreover, for any $V \in \mathscr{H}{-1}$ we have $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right|{1} \leq|V|_{-1}
$$
We wish to formulate sufficient conditions for the central limit theorem of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ in terms of the asymptotic behavior, as $\lambda \downarrow 0$, of the solutions $f_{\lambda}$ of the resolvent equation (2.13). We first observe in Sect. $2.5$ that the condition $V \in \mathscr{H}{-1}$ guarantees that the $L^{2}\left(\mathbb{P}{\pi}\right)$ norm of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ remains bounded for large $t$. Next, in Theorem 2.7, we show that a central limit theorem is valid, provided the following two conditions are satisfied:
$$
\lim {\lambda \rightarrow 0} \lambda\left|f{\lambda}\right|_{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim {\lambda \rightarrow 0}\left|f{\lambda}-f\right|_{1}=0
$$
for some $f$ in $\mathscr{H}{1}$. In Theorem $2.14$, we prove that the bound $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f_{\lambda}\right|_{-1}<\infty$ implies the previous two conditions. Therefore, a central limit theorem holds if $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f{\lambda}\right|_{-1}<+\infty$.
离散时间鞅理论代考
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References
鞅的中心极限定理可以在许多教科书中找到，Billingsley (1995)；达雷特（1996)；Ethier 和库尔茨 (1986)；例 如，瓦拉丹 (2001)。我们参考了 Whitt (2007) 的最新报道。
据我们所知，马尔可夫链的第一个中心极限定理可以追溯到 Doeblin (1938)，他将问题简化为独立同分布随机变量 的情况。我们参考 Nagaev (1957) 来获得与 Doeblin 的想法一致的证明。Gordin (1969) 和 Gordin 和 Lifšic (1978) 表明
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛到一个均值为零的高斯随机变量，如果 $V$ 属于算子的范围 $I-P$ 在 $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) 证明了随机环境中马 尔可夫链的不变性原理。
Kozlov (1985) 和 Kipnis 和 Varadhan (1986) 分别提出了一种通用方法，用于从鞅中心极限定理证明马尔可夫链的 加性泛函的中心极限定理。这里介绍的方法遒循 Kipnis 和 Varadhan (1986)。这篇开创性的论文是对遍历马尔可夫 链的加性泛函的渐近正态性进行大量研究的起点，后续章节将对此进行回顾。德马西等人。(1989) 和 Goldstein (1995) 考虑了可逆马尔可夫链的反对称加性泛函。麦克斯韦和伍德屋顶(2000)证明了序列 (1.27) 对于静止遍历马 尔可夫链是渐近正态的 Veft {X_{j}: \geq O\right } 假如 $V$ 相对于静止测量的平均值为零 $\pi$ 和
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales
在概率空间上 $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ 考虑一个右连续的平方可积靮 $\backslash$ left{M_{t}: t lgeq 0\right } } \text { 关于给定的过滤 }
$\mathrm{~ V e f t { \ m a t h s c r { F } { t : ~ t ~ \ g e q ~ O \ r i g h t } ~ 满 足 一 般 条 件 。 我 们 参 考 了 J a c o d ~ 和}$ 鞅的一些基本性质，没有进一步的评论。假使，假设 $M 0=0$ 并表示为 $\langle M, M\rangle_{t}$ 其可预测的二次变化。表示为 $\mathbb{E}$ 关于期望 $\mathbb{P}$.
定理 $2.1$ 假设鞅的增量 $M_{t}$ 是静止的: 对于每个 $t \geq 0, n \geq 1$ 和 $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$ ，随机向量 $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ 具有相同的分布。还假设可预 测的二次变化收敛于 $L^{1}(\mathbb{P})$ 至 $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle n}{n}-\sigma^{2}\right|=0
$$
那么，分布 $M_{t} / \sqrt{t}$ 以 $\mathscr{F} 0$ 在概率上收敛，如 $t \uparrow \infty$ ，到具有方差的均值零高斯定律 $\sigma^{2}$ :
$$
\lim t \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0
$$
对所有人 $\theta$ 在 $\mathbb{R}$. 该定理的证明依赖于下一个引理，该引理将问题简化为证明整数次的中心极限定理。引理 $2.2$ 在定 理 $2.1$ 的假设下，
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\sup n \leq t \leq n+1\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M t / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M n / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F} 0\right]\right|\right]=0
$$
证明引理的陈述中出现的条件期望的差等于
\mathbb ${$ E $} \backslash$ left[Veft(\exp \left{i \theta $\backslash \mathrm{~ e f t}$
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation
修复一个函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}-1, \lambda>0$ 并考虑求解方程
$$
\lambda f \lambda-L f_{\lambda}-V
$$
注意 $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ 属于生成器的域 $L$. 取相对于的标量积 $f_{\lambda}$ 在这个等式的两边，我们得到
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2}=\left\langle V, f{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$
因此，通过 Schwarz 不等式 (2.9)，
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq\left|f{\lambda}\right|{1}|V|{-1}
$$
以便 $\left|f_{\lambda}\right|{1} \leq|V|{-1}$. 结合前面的两个界限，我们很容易得到更强的估计
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq|V|{-1}^{2} .
$$
根据上述估计，我们得出结论 $\lambda f_{\lambda}$ 消失在 $L^{2}(\pi)$ 作为 $\lambda \downarrow 0 \mathrm{~ 然 后 ~ V e f t { f _ { \ l a m b d a } : ~ 0 < \ a m b d a ~ \ l e q ~ 1}$ 有界序列 $\mathscr{H}{1}$ 因此是嫋预压实的。 另一个简单的结果 $(2.15)$ 就是它 $(\lambda-L)^{-1}$ 扩展到从 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$ : 引理 $2.3$ 算子 $(\lambda-L)^{-1}$ 从延伸 $L^{2}(\pi)$ 到有界映射 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$. 此外，对于任何 $V \in \mathscr{H}-1$ 我们有 $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right| 1 \leq|V|{-1}
$$
我们希望为中心极限定理制定充分条件 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 就斩近行为而言，如 $\lambda \downarrow 0$ ，的解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程 (2.13) 。我们首先在 Sect 中观察。 $2.5$ 那个条件 $V \in \mathscr{H}-1$ 保证 $L^{2}(\mathbb{P} \pi)$ 规范 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 仍然有界大 $t$. 接下来，在定理 $2.7$ 中，我们证明中心极限定理是有效的，前提是满足以下两个条件:
$$
\lim \lambda \rightarrow 0 \lambda|f \lambda|{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim \lambda \rightarrow 0|f \lambda-f|{1}=0
$$
对于一些 $f$ 在 $\mathscr{H} 1$. 定理 $2.14$ ，我们证明有界sup $0<\lambda \leq 1\left|L f_{\lambda}\right|{-1}<\infty$ 暗示了前两个条件。因此，中心极限 定理成立，如果 $\sup 0<\lambda \leq 1|L f \lambda|{-1}<+\infty$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。