统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|OT versus MOT: A summary

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|OT versus MOT: A summary

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale Brenier’s solution

The enormous development of OT in the last decades was initiated by Brenier’s celebrated theorem, briefly reviewed in Theorem 2.3. Hence a most natural question is to obtain similar results also for the martingale version of the transport problem. The literature on this topic includes [82, 83]. This seems a potentially very interesting problem for mathematicians working in OT to tackle this problem, particularly in $\mathbb{R}^{d}$.

We briefly state below MOT in $\mathbb{R}{+}^{d}$. We denote $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$ the marginals of $S{1}$ and $S_{2}$ in $\mathbb{R}{+}^{d}$ and $S{1}^{i}$ the $i$-component of $S_{1}$. The knowledge of marginals $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$ is not very common in finance as the (known) marginals are usually one-dimensional (e.g. Vanillas), see however our discussion in Section 2.1.3. A notable exception arises in fixed income and foreign exchange markets (see Example 2.1) where Vanillas on spread swap rates, i.e., $\left(S_{2}-K S_{1}\right)^{+}$, are quoted on the market.
MOT reads
$$
\widetilde{\mathrm{MK}}{2}=\inf {\lambda_{1} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right), \lambda_{2} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right),\left(H^{i}(-)\right){1 \leq i \leq d}} \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda{1}\left(S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]
$$
such that $\lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(s_{2}\right)+\sum_{i=1}^{d} H^{i}\left(s_{1}\right)\left(s_{2}^{i}-s_{1}^{i}\right) \geq c\left(s_{1}, s_{2}\right), \quad \forall\left(s_{1}, s_{2}\right) \in$ $\left(\mathbb{R}{+}^{d}\right)^{2}$. Taking for granted that the primal is attained (the dual is attained by weak compactness), the (strong) duality result implies as before that $$ \lambda{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(s_{2}\right)+\sum_{i=1}^{d} H^{i}\left(s_{1}\right)\left(s_{2}^{i}-s_{1}^{i}\right)=c\left(s_{1}, s_{2}\right), \quad \mathbb{P}^{}-\text { a.s. } $$ We have $d+2$ unknown functions $\left(\lambda_{1}, \lambda_{2},\left(H^{i}(\cdot)\right){1 \leq i \leq d}\right.$ ) (defined on (a subset of) $\mathbb{R}{+}^{d}$ ) and it is tempting to guess that the optimal martingale measure $\mathbb{P}^{}$ is localized on some maps $\left(T^{\alpha}\right){\alpha=1, \ldots, N}$. For each map – denoted schematically by $T$ with components $\left(T{1}, \ldots, T_{d}\right)$ – we should have: $\forall s_{1} \in \mathbb{R}^{d}$,
$$
\begin{aligned}
&\lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(T\left(s_{1}\right)\right)+\sum_{i=1}^{d} H^{i}\left(s_{1}\right)\left(T_{i}\left(s_{1}\right)-s_{1}^{i}\right)=c\left(s_{1}, T\left(s_{1}\right)\right) \
&\partial_{s_{2}^{i}} \lambda_{2}\left(T\left(s_{1}\right)\right)+H^{i}\left(s_{1}\right)=\partial_{s_{2}^{i}} c\left(s_{1}, T\left(s_{1}\right)\right), \quad \forall i=1, \ldots, d
\end{aligned}
$$
On the dual side, we should have :
$$
\mathbb{P}^{*}\left(d s_{1}, s_{2}\right)=\sum_{\alpha=1}^{N} q_{\alpha}\left(s_{1}\right) \delta_{T a\left(s_{1}\right)}\left(d s_{2}\right) \mathbb{P}^{1}\left(d s_{1}\right)
$$
where the functions $\left(q_{\alpha}\right){\alpha=1, \ldots, N}$ are constrained by the algebraic equations: $$ \sum{\alpha=1}^{N} q_{\alpha}\left(s_{1}\right)=1, \quad \sum_{\alpha=1}^{N} q_{\alpha}\left(s_{1}\right)\left(T^{\alpha}\left(s_{1}\right)-s_{1}\right)=0
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: The right-monotone martingale transport plan

Suppose that $c_{s_{1} s_{2} s_{2}}<0$. Then, the upper bound $\widetilde{\mathrm{MK}}{2}$ is attained by the right-monotone martingale transport map $$ \begin{array}{r} \mathbb{P}{*}\left(d s_{1}, d s_{2}\right)=\mathbb{P}^{1}\left(d s_{1}\right)\left(q\left(s_{1}\right) \delta_{\bar{T}{u}\left(s{1}\right)}\left(d s_{2}\right)+\left(1-q\left(s_{1}\right)\right) \delta_{\bar{T}{d}\left(s{1}\right)}\left(d s_{2}\right)\right) \ q(x)=\frac{x-\bar{T}{d}(x)}{\bar{T}{u}(x)-\bar{T}{d}(x)} \end{array} $$ where $\left(\bar{T}{d}, \bar{T}{u}\right)$ is defined as in $(2.31,2.32)$ with the pair of probability measures $\left(\overline{\mathrm{P}}^{1}, \overline{\mathrm{P}}^{2}\right):$ $$ \bar{F}^{1}\left(s{1}\right) \equiv 1-F^{1}\left(-s_{1}\right), \text { and } \bar{F}^{2}\left(s_{2}\right) \equiv 1-F^{2}\left(-s_{2}\right) . $$ To see this, we rewrite the OT problem equivalently with modified inputs: $$ \begin{aligned} \bar{c}\left(s_{1}, s_{2}\right) \equiv c\left(-s_{1},-s_{2}\right), & \overline{\mathbb{P}}^{1}\left(\left(-\infty, s_{1}\right]\right) \equiv \mathbb{P}^{1}\left(\left[-s_{1}, \infty\right)\right) \ \overline{\mathbb{P}}^{2}\left(\left(-\infty, s_{2}\right]\right) \equiv \mathbb{P}^{2}\left(\left[-s_{2}, \infty\right)\right) \end{aligned} $$ so that $\bar{c}{s{1} s_{2} s_{2}}>0$, as required in Theorem 2.8. Note that the martingale constraint is preserved by the map $\left(s_{1}, s_{2}\right) \mapsto\left(-s_{1},-s_{2}\right)$ (and not by our parity transformation $\left(s_{1}, s_{2}\right) \mapsto\left(s_{1},-s_{2}\right)$ in OT $)$.

Suppose that $c_{s_{1} s_{2} s_{2}}>0$. Then, the lower bound problem is explicitly solved by the right-monotone martingale transport plan. Indeed, it follows from the first part of the present remark that:
$$
\begin{aligned}
\inf {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[c\left(S{1}, S_{2}\right)\right] &=-\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[-c\left(S{1}, S_{2}\right)\right] \
&=-\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{R}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[-\bar{c}\left(-S{1},-S_{2}\right)\right] \
&=-\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{R}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[-\bar{c}\left(S{1}, S_{2}\right)\right] \
&=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[c\left(S_{1}, S_{2}\right)\right]
\end{aligned}
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Change of num´eraire

We define the involution $\mathcal{S}[34]$ (i.e., $\mathcal{S}^{2}=\mathrm{Id}$ ) on a payoff function $c$ by
$$
(\mathcal{S c})\left(s_{1}, s_{2}\right) \equiv s_{2} c\left(\frac{1}{s_{1}}, \frac{1}{s_{2}}\right)
$$
We have
$$
\begin{aligned}
\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[(\mathcal{S} c)\left(S{1}, S_{2}\right)\right]=& \sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{2} c\left(\frac{1}{S_{1}}, \frac{1}{S_{2}}\right)\right] \
=S_{0} & \sup {\left.\mathbb{Q} \in \mathcal{M}\left(\mathcal{S}^{1}\right), \mathcal{P}\left(\mathbb{(}^{2}\right)\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[c\left(\bar{S}{t_{1}}, \bar{S}{t{2}}\right)\right]
\end{aligned}
$$
where $\mathcal{S}\left(\mathbb{P}^{i}\right), i=1,2$ has a density $\left(\mathcal{S} f^{i}\right)(s)=\frac{1}{S_{0} s^{3}} f^{i}\left(\frac{1}{s}\right)$ where $f^{i}$ the density of $\mathbb{P}^{i}$. We have used that by working in the numéraire associated to the discrete martingale $S_{t}$ :
$$
\mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[S_{2} c\left(\frac{1}{S_{1}}, \frac{1}{S_{2}}\right)\right]=S_{0} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[c\left(\frac{1}{S_{1}}, \frac{1}{S_{2}}\right)\right]
$$
with $\left.\frac{d \mathbb{Q}}{}\right|{\mathcal{F}{t_{i}}}=\frac{S_{i}}{S_{0}}$. Under $\mathbb{Q}, \frac{1}{S_{i}}$ is a discrete martingale: $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{1}{S_{2}} \mid \frac{1}{S_{1}}\right]=\frac{1}{S_{1}}$. This involution $\mathcal{S}$ satisfies
$$
(\mathcal{S c}){122}\left(s{1}, s_{2}\right)=-\frac{1}{s_{1}^{2} s_{2}^{3}} c_{122}\left(\frac{1}{s_{1}}, \frac{1}{s_{2}}\right)
$$
and exchanges therefore the left and right-monotone martingale transport plan where the marginals have support in $\mathbb{R}_{+}$.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|OT versus MOT: A summary

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale Brenier’s solution

过去几十年中 OT 的巨大发展是由 Brenier 著名的定理发起的,定理 2.3 对此进行了简要回顾。因此,一个最自然的问题是对于运输问题的鞅版本也获得类似的结果。关于这个主题的文献包括 [82, 83]。对于在 OT 工作以解决这个问题的数学家来说,这似乎是一个非常有趣的问题,尤其是在Rd.

我们在下面简要说明MOTR+d. 我们表示磷1和磷2的边缘小号1和小号2在R+d和小号1一世这一世- 的组成部分小号1. 边际知识磷1和磷2在金融中并不常见,因为(已知的)边际通常是一维的(例如 Vanillas),但请参见我们在第 2.1.3 节中的讨论。一个值得注意的例外出现在固定收益和外汇市场(参见示例 2.1),其中 Vanillas 的价差掉期利率,即(小号2−ķ小号1)+, 在市场上报价。
MOT 读取

米ķ~2=信息λ1∈大号1(磷1),λ2∈大号1(磷2),(H一世(−))1≤一世≤d和磷1[λ1(小号1)]+和磷2[λ2(小号2)]
这样λ1(s1)+λ2(s2)+∑一世=1dH一世(s1)(s2一世−s1一世)≥C(s1,s2),∀(s1,s2)∈ (R+d)2. 理所当然地获得了原始的(对偶是通过弱紧致性获得的),(强)对偶结果意味着如前所述

λ1(s1)+λ2(s2)+∑一世=1dH一世(s1)(s2一世−s1一世)=C(s1,s2),磷− 作为 我们有d+2未知功能(λ1,λ2,(H一世(⋅))1≤一世≤d) (定义在 (的一个子集)R+d) 并且很容易猜测最优鞅测度磷在某些地图上进行了本地化(吨一个)一个=1,…,ñ. 对于每张地图——示意性地表示为吨带组件(吨1,…,吨d)- 我们本应该:∀s1∈Rd,

λ1(s1)+λ2(吨(s1))+∑一世=1dH一世(s1)(吨一世(s1)−s1一世)=C(s1,吨(s1)) ∂s2一世λ2(吨(s1))+H一世(s1)=∂s2一世C(s1,吨(s1)),∀一世=1,…,d
在双重方面,我们应该有:

磷∗(ds1,s2)=∑一个=1ñq一个(s1)d吨一个(s1)(ds2)磷1(ds1)
函数在哪里(q一个)一个=1,…,ñ受代数方程约束:

∑一个=1ñq一个(s1)=1,∑一个=1ñq一个(s1)(吨一个(s1)−s1)=0

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: The right-monotone martingale transport plan

假设Cs1s2s2<0. 那么,上界米ķ~2由右单调鞅传输图获得

磷∗(ds1,ds2)=磷1(ds1)(q(s1)d吨¯在(s1)(ds2)+(1−q(s1))d吨¯d(s1)(ds2)) q(X)=X−吨¯d(X)吨¯在(X)−吨¯d(X)在哪里(吨¯d,吨¯在)定义为(2.31,2.32)与概率测度对(磷¯1,磷¯2):

F¯1(s1)≡1−F1(−s1), 和 F¯2(s2)≡1−F2(−s2).为了看到这一点,我们用修改后的输入等效地重写了 OT 问题:

C¯(s1,s2)≡C(−s1,−s2),磷¯1((−∞,s1])≡磷1([−s1,∞)) 磷¯2((−∞,s2])≡磷2([−s2,∞))以便C¯s1s2s2>0,如定理 2.8 所要求的。请注意,鞅约束由地图保留(s1,s2)↦(−s1,−s2)(而不是通过我们的平价变换(s1,s2)↦(s1,−s2)我不).

假设Cs1s2s2>0. 然后,下界问题由右单调鞅传输计划明确解决。实际上,从本评论的第一部分可以得出以下结论:

信息磷∈米(磷1,磷2)和磷[C(小号1,小号2)]=−支持磷∈米(磷1,磷2)和磷[−C(小号1,小号2)] =−支持磷∈米(磷1,R2)和磷[−C¯(−小号1,−小号2)] =−支持磷∈米(磷1,R2)和磷[−C¯(小号1,小号2)] =和磷[C(小号1,小号2)]

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Change of num´eraire

我们定义对合小号[34](IE,小号2=我d) 在支付函数上C经过

(小号C)(s1,s2)≡s2C(1s1,1s2)
我们有

支持磷∈米(磷1,磷2)和磷[(小号C)(小号1,小号2)]=支持磷∈米(磷1,磷2)和磷[小号2C(1小号1,1小号2)] =小号0支持问∈米(小号1),磷((2))和问[C(小号¯吨1,小号¯吨2)]
在哪里小号(磷一世),一世=1,2有密度(小号F一世)(s)=1小号0s3F一世(1s)在哪里F一世的密度磷一世. 我们通过使用与离散鞅相关的 numéraire 来使用它小号吨 :

和磷[小号2C(1小号1,1小号2)]=小号0和问[C(1小号1,1小号2)]
和d问|F吨一世=小号一世小号0. 在下面问,1小号一世是离散鞅:和问[1小号2∣1小号1]=1小号1. 这种对合小号满足

(小号C)122(s1,s2)=−1s12s23C122(1s1,1s2)
并因此交换边缘有支持的左右单调鞅运输计划R+.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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