统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Replication paradigm

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Replication paradigm

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mean-variance: Quadratic programming

By choosing a log-normal distribution (with drift $\mu$ and volatility $\sigma$ ) for $\mathbb{P}^{\text {hist }}$, we can show that the seller’s super-replication price of a call option is $S_{0}$. The reader should remark that from Jensen’s inequality we have also for all $\mathbb{Q} \in \mathcal{M}{1}$, $$ C{\mathrm{buy}}=\left(S_{0}-K e^{-r T}\right)^{+} \leq \mathbb{E}^{Q}\left[e^{-r T}\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] \leq C_{\mathrm{sel}}=S_{0}
$$
This seller super-replication’s price is very expensive as it is identical to the price of a forward contract that it is the option that delivers $S_{T}$ at the maturity. It is therefore fairly unexpected that a (reasonable) client is willing to accept to pay a call option at the same price as a forward contract for which the payoff super-replicates at maturity those of a call option $\left(S_{T}-K\right)^{+} \leq S_{T}$. In this section, we disregard the super-replication approach in this respect and fix $C$ and $H$ such that the variance of $\pi_{T}$ for a payoff $F_{T}$ is minimised under the constraint $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hist }}}\left[\pi_{T}\right]=0$ (i.e., fixed return):

DEFINITION 1.8 Mean-variance hedging The mean-variance hedging is defined as the following quadratic programming problem:
$$
P_{\text {quad }} \equiv \inf {C, H \text { s.t. } \mathbb{E}^{\text {phiat }}}[\pi T]=0 \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hiat }}}\left[\pi{T}^{2}\right]
$$
As the cost $\mathbb{E}^{\mathrm{Phist}^{h}}\left[\pi_{T}^{2}\right]$ (resp. the constraint $\mathbb{E}^{\mathrm{Ph}^{\text {int }}}\left[\pi_{T}\right]=0$ ) is a quadratic (resp. linear) form with respect to $C$ and $H,(1.16)$ defines a quadratic programming problem. The constraint $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hint }}}\left[\pi_{T}\right]=0$ gives
$$
C_{\text {quad }}=e^{-r T} \mathbb{E}^{\mathrm{p}^{\text {hint }}}\left[F_{T}\right]-H \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hiat }}}\left[\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right)\right]
$$
where $C_{\text {quad }}$ is the minimizer in (1.16). The first term corresponds to our insurance price $C_{\text {ins. }}$. Computing the infimum over $H$ of $E\left[\pi_{T}^{2}\right]$ with $C=C_{\text {quad }}$, we obtain
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hint }}}\left[\pi_{T}\left(S_{T}-\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hist }}}\left[S_{T}\right]\right)\right]=0
$$
where we have used $e^{-r T} \partial_{H} \pi_{T}=e^{-r T}\left(S_{T}-\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hist }}}\left[S_{T}\right]\right)$. This is equivalent to
Finally,

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Quantile hedging

Quantile hedging consists in replacing Definition $1.1$ of the seller’s price by the following:
$$
C_{p}=\inf \left{C: \exists H \text { s.t. } \mathbb{P h}^{\text {ist }}\left[\pi_{T} \geq 0\right] \geq p\right.
$$
and $C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-$ a.s. $}$
$p \in[0,1]$ is interpreted as the probability of super-replicating the claim $F_{T}$ under the historical measure. Here we have added the constraint that the trader’s portfolio should be greater than a threshold $-L$ :
$$
C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq-L
$$
For convenience, we have chosen $L=0$, this can be easily modified.
By definition, $C_{1}=C_{\text {sel }}$, the super-replication price for $F_{T} \geq 0$. $C_{\text {sel }}$ can be very high – recall for instance that the super-replication price of a call option equals $S_{0}$. In the quantile hedging approach, we only impose that the payoff can be super-replicated with a probability $p$. In their seminal paper [75], Föllmer and Leukert show that the corresponding optimal strategy consists in superhedging a modified payoff. More precisely, we have.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Utility indifference price

We introduce an utility function $U$, which is strictly increasing and concave. We consider the value $u(x, 0)$ of the supremum over all hedging portfolios starting from the initial capital $x$ of the expectation of the utility of the discounted final wealth under the historical measure $\mathbb{P}^{h i s t}$ :
$$
u(x, 0) \equiv \sup {H} \mathbb{E}^{\mathrm{P}^{\text {hint }}}\left[U\left(x-H\left(e^{-r T} S{T}-S_{0}\right)\right)\right]
$$
Similarly, the value $u\left(x-C, F_{T}\right)$ is defined for a claim $F_{T}$ as
$$
u\left(x-C, F_{T}\right) \equiv \sup {H} \mathbb{E}^{\mathbb{P h}^{\mathrm{iixt}}}\leftU\left(x-C+e^{-r T} F{T}-H\left(e^{-r T} S_{T}-S_{0}\right)\right)\right
$$
The utility indifference buyer’s price, as introduced by Hodges-Neuberger $[107]$, is the quantity $C_{\mathrm{HN}}$ such that
DEFINITION 1.10 Utility indifference buyer’s price
$$
u(x, 0)=u\left(x-C_{\mathrm{HN}}, F_{T}\right)
$$
This means that a buyer should accept quoting a price for the claim $F_{T}$ when buying and delta-hedging this derivative becomes as profitable as setting up a pure delta strategy. The expression $u\left(x-C, F_{T}\right)$ can be dualized into
THEOREM $1.5$
$$
u\left(x-C, F_{T}\right)=\inf {\mathbb{Q} \in \mathcal{M}{1}} \mathbb{E}^{\mathrm{Q}}\left[\left(e^{-r T^{T}} F_{T}+x-C\right)+\frac{d \mathbb{P}^{\text {Pist }}}{d \mathbb{Q}} U^{}\left(\frac{d \mathbb{Q}}{d P^{2} i s t}\right)\right] $$ with $U^{}(p) \equiv \sup {x \in \mathbb{R}}{U(x)-p x}$ the Legendre-Fenchel transform of $U$. The functions $U$ and $U^{}$ also satisfy the conjugate relation: $U(x)=\inf {p \in \mathbb{R}_{+}}{p x+$ $\left.U^{}(p)\right}$

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离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mean-variance: Quadratic programming

通过选择对数正态分布(有漂移μ和波动性σ) 为了磷历史 ,我们可以证明卖方的看涨期权的超复制价格为小号0. 读者应该注意到,从 Jensen 的不等式中,我们也为所有问∈米1,

Cb在是=(小号0−ķ和−r吨)+≤和问[和−r吨(小号吨−ķ)+]≤Cs和l=小号0
该卖方超级复制的价格非常昂贵,因为它与远期合约的价格相同,它是交付的期权小号吨在成熟期。因此,相当出乎意料的是,(合理的)客户愿意以与远期合约相同的价格支付看涨期权,而远期合约的收益在到期时超级复制看涨期权的价格(小号吨−ķ)+≤小号吨. 在本节中,我们在这方面忽略了超级复制方法并修复C和H使得方差圆周率吨为了回报F吨在约束下最小化和磷历史 [圆周率吨]=0(即固定回报):

定义 1.8 均值方差对冲 均值方差对冲定义为以下二次规划问题:

磷四边形 ≡信息C,H 英石 和扫 [圆周率吨]=0和磷嗨 [圆周率吨2]
作为成本和磷H一世s吨H[圆周率吨2](分别是约束和磷H整数 [圆周率吨]=0) 是关于C和H,(1.16)定义二次规划问题。约束和磷暗示 [圆周率吨]=0给

C四边形 =和−r吨和p暗示 [F吨]−H和磷嗨 [(小号吨和−r吨−小号0)]
在哪里C四边形 是 (1.16) 中的最小值。第一项对应我们的保险价格Cins。 . 计算下确界H的和[圆周率吨2]和C=C四边形 , 我们获得

和磷暗示 [圆周率吨(小号吨−和磷历史 [小号吨])]=0
我们用过的地方和−r吨∂H圆周率吨=和−r吨(小号吨−和磷历史 [小号吨]). 这相当于
最终,

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Quantile hedging

分位数套期保值在于替换定义1.1卖方的价格由以下:

C_{p}=\inf \left{C: \exists H \text { st } \mathbb{P h}^{\text {ist }}\left[\pi_{T} \geq 0\right] \geq p\对。$$ 和 $C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-$因为 $}$ $p \in[0,1]$ 被解释为在历史度量下超级复制声明 $F_{T}$ 的概率。在这里,我们添加了交易者的投资组合应大于阈值 $-L$ 的约束:C_{p}=\inf \left{C: \exists H \text { st } \mathbb{P h}^{\text {ist }}\left[\pi_{T} \geq 0\right] \geq p\对。$$ 和 $C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-$因为 $}$ $p \in[0,1]$ 被解释为在历史度量下超级复制声明 $F_{T}$ 的概率。在这里,我们添加了交易者的投资组合应大于阈值 $-L$ 的约束:
C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq-L
$$
为方便起见,我们选择大号=0, 这可以很容易地修改。
根据定义,C1=C这个 ,超复制价格为F吨≥0. C这个 可能非常高——例如,看涨期权的超复制价格等于小号0. 在分位数对冲方法中,我们只强加收益可以以一定的概率进行超级复制p. 在他们的开创性论文 [75] 中,Föllmer 和 Leukert 表明,相应的最优策略包括对修改后的收益进行超对冲。更准确地说,我们有。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Utility indifference price

我们引入一个效用函数在,它是严格递增和凹的。我们考虑价值在(X,0)从初始资本开始的所有套期保值投资组合的上限X在历史测度下,折现后的最终财富的效用预期磷H一世s吨 :

在(X,0)≡支持H和磷暗示 [在(X−H(和−r吨小号吨−小号0))]
同样,值在(X−C,F吨)为索赔定义F吨as
$$
u\left(xC, F_{T}\right) \equiv \sup {H} \mathbb{E}^{\mathbb{P h}^{\mathrm{iixt}}}\left U\left (x-C+e^{-r T} F{T}-H\left(e^{-r T} S_{T}-S_{0}\right)\right)\right

吨H和在吨一世l一世吨是一世nd一世FF和r和nC和b在是和r′spr一世C和,一个s一世n吨r○d在C和db是H○dG和s−ñ和在b和rG和r$[107]$,一世s吨H和q在一个n吨一世吨是$CHñ$s在CH吨H一个吨D和F我ñ我吨我○ñ1.10在吨一世l一世吨是一世nd一世FF和r和nC和b在是和r′spr一世C和
u(x, 0)=u\left(x-C_{\mathrm{HN}}, F_{T}\right)

吨H一世s米和一个ns吨H一个吨一个b在是和rsH○在ld一个CC和p吨q在○吨一世nG一个pr一世C和F○r吨H和Cl一个一世米$F吨$在H和nb在是一世nG一个ndd和l吨一个−H和dG一世nG吨H一世sd和r一世在一个吨一世在和b和C○米和s一个spr○F一世吨一个bl和一个ss和吨吨一世nG在p一个p在r和d和l吨一个s吨r一个吨和G是.吨H和和Xpr和ss一世○n$在(X−C,F吨)$C一个nb和d在一个l一世和和d一世n吨○吨H和○R和米$1.5$
u\left(xC, F_{T}\right)=\inf {\mathbb{Q} \in \mathcal{M}{1}} \mathbb{E}^{\mathrm{Q}}\left[\左(e^{-r T^{T}} F_{T}+xC\right)+\frac{d \mathbb{P}^{\text {Pist }}}{d \mathbb{Q}} U ^{}\left(\frac{d \mathbb{Q}}{d P^{2} ist}\right)\right] $$ 与在(p)≡支持X∈R在(X)−pXLegendre-Fenchel 变换在. 功能在和在也满足共轭关系:U(x)=\inf {p \in \mathbb{R}_{+}}{p x+$ $\left.U^{}(p)\right}

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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