统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4061

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4061

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

The purpose of this chapter is to present, in the simplest possible context, some of the ideas that will appear recurrently in this book. We assume that the reader is familiar with the basic theory of Markov chains (e.g. Chap. 7 of Breiman 1968 or Chap. 5 of Durrett 1996) and with the spectral theory of bounded symmetric operators (Sect. 107 in Riesz and Sz.-Nagy 1990, Sect. XI.6 in Yosida 1995).

Consider a Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$, stationary and ergodic with respect to a probability measure $\pi$. The problem is to find necessary and sufficient conditions on a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ to guarantee a central limit theorem for
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
We assume that $E_{\pi}[V]=0$, where $E_{\pi}$ stands for the expectation with respect to the probability measure $\pi$. The idea is to relate this question to the well-known martingale central limit theorems.

Denote by $P$ the transition probability of the Markov chain and fix a function $V$ in $L^{2}(\pi)$, the space of functions $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ square integrable with respect to $\pi$. Assume the existence of a solution of the Poisson equation
$$
V=(I-P) f
$$
for some function $f$ in $L^{2}(\pi)$, where $I$ stands for the identity. For $j \geq 1$, let
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
It is easy to check that $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$, is a martingale with respect to the filtration $\left{F_{j}: j \geq 0\right}, F_{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, and that
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

In this section, we present some elementary results on Markov chains. Fix a countable state space $E$ and a transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
A sequence of random variables $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ defined on some probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and taking values in $E$ is a time-homogeneous Markov chain on $E$ if
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$ for all $j \geq 0, y$ in E. $P(x, y)$ is called the probability of jump from $x$ to $y$ in one step. Notice that it does not depend on time, which explains the terminology of a time-homogeneous chain. The law of $X_{0}$ is called the initial state of the chain.
Assume furthermore that on $(\Omega, \mathscr{F})$ we are given a family of measures $\mathbb{P}{z}$, $z \in E$, each satisfying (1.5) and such that $\mathbb{P}{x}\left[X_{0}=x\right]=1$. We call it a Markov family that corresponds to the transition probabilities $P(\cdot, \cdot)$. For a given probability measure $\mu$ on $E$, let $\mathbb{P}{\mu}=\sum{x \in E} \mu(x) \mathbb{P}{x}$. Observe that $\mu$ is the initial state of the chain under $\mathbb{P}{\mu}$. We shall denote by $\mathbb{E}{\mu}$ the expectation with respect to that measure and by $\mathbb{E}{x}$ the expectation with respect to $\mathbb{P}_{x}$.

The transition probability $P$ can be considered as an operator on $C_{b}(E)$, the space of (continuous) bounded functions on $E$. In this case, for $f$ in $C_{b}(E)$, $P f: E \rightarrow E$ is defined by
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right] .
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

Consider a time-homogeneous irreducible (or indecomposable in the terminology of Breiman 1968) Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$ with transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}{+}$. Assume that there exists a stationary probability measure, denoted by $\pi$. By (Breiman, 1968 , Theorem $7.16$ ), $\pi$ is unique and ergodic. In particular, for any bounded function $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ and any $x$ in $E$, $$ \lim {N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. In this section, we prove a central limit theorem for the sequence $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ assuming that the solution of the Poisson equation (1.2) belongs to $L^{2}(\pi)$. Under this hypothesis we obtain a central limit theorem which holds $\pi$-a.s. with respect to the initial state.

Theorem 1.1 Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. Assume that there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2).

Then, for all $x$ in $E$, as $N \uparrow \infty$,
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges in $\mathbb{I}{X}$ distribution to a mean zero Gaussian random variable with variance $\sigma^{2}(V)=E{\pi}\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$

Proof Fix a mean zero function $V$ in $L^{2}(\pi)$ and an initial state $x$ in $E$. By assumption, there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2). Consider the sequence $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ of random variables defined by
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-P f\left(X_{j-1}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4061

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

本章的目的是在尽可能简单的背景下,介绍本书中经常出现的一些想法。我们假设读者熟惑马尔可夫链的基本理论 (例如 Breiman 1968 的第 7 章或 Durrett 1996 的第 5 章) 和有界对称算子的谱理论 (Riesz 和 Sz.-Nagy 的第 107 节) 1990 年,Yosida 1995 年第 XI.6节)。
考虑马尔可夫链 lleft $\left{X \mathrm{~ _ f j } : ~ \ ~ l g e q ~ O}\right.$ 条件 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 保证中心极限定理
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
我们假设 $E_{\pi}[V]=0$ , 在哪里 $E_{\pi}$ 代表关于概率测度的期望 $\pi$. 想法是将这个问题与著名的鞅中心极限定理联系起 来。
表示为 $P$ 马尔可夫链的转移概率和固定函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$, 函数空间 $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ 平方可积关于 $\pi$. 假设存在泊松方程的 解
$$
V=(I-P) f
$$
对于某些功能 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ ,在哪里 $I$ 代表身份。为了 $j \geq 1$ ,让
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
很容易检查 $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$ ,是关于过滤的鞅
$\mathrm{~ L e f t { F _ { j } : ~ j ~ l g e q ~ O \ r i g h t } , ~ F _ { j } = I s i g m a l l e f t ( X _ { 0 } , ~ I d o t s , ~ X _ { j }}$
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

在本节中,我们将介绍一些关于马尔可夫链的基本结果。修复可数状态空间 $E$ 和转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
一系列随机变量 lleft{X_{j: j |geq OIright $}$ 在某个概率空间上定义 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 并接受价值观 $E$ 是一个时间齐次马尔可 夫链 $E$ 如果
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$
对所有人 $j \geq 0, y$ 在 $\mathrm{E}^{\circ} P(x, y)$ 被称为跳跃的概率 $x$ 至 $y$ 一步。请注意,它不依赖于时间,这解释了时间齐次链的 术语。的法律 $X_{0}$ 称为链的初始状态。
进一步假设 $(\Omega, \mathscr{F})$ 我们得到了一系列措施 $\mathbb{P} z, z \in E$ ,每个都满足 (1.5) 并且使得 $\mathbb{P} x\left[X_{0}=x\right]=1$. 我们称其为 对应于转移概率的马尔可夫族 $P(\cdot, \cdot)$. 对于给定的概率测度 $\mu$ 上,让 $\mathbb{P} \mu=\sum x \in E \mu(x) \mathbb{P} x$. 请注意 $\mu$ 是链下 的初始状态 $\mathbb{P} \mu$. 我们将表示为 $\mathbb{E} \mu$ 对该措施的期望,并通过 $\mathbb{E} x$ 关于的期望 $\mathbb{P}{x}$. 转移概率 $P$ 可以认为是一个运算符 $C{b}(E)$ ,(连续) 有界函数的空间 $E$. 在这种情况下,对于 $f$ 在 $C_{b}(E)$ , $P f: E \rightarrow E$ 定义为
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

考虑一个时间齐次不可约 (或用 Breiman 1968 的术语不可分解) 马尔可夫链 lleft{X_{j}: j lgeq OIright }在可数状态 空间上 $E$ 具有转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}+$. 假设存在一个平稳的概率测度,记为 $\pi$. 由 (Breiman, 1968,定理 $7.16$ ), $\pi$ 是独特的和遍历的。特别是对于任何有界函数 $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ 和任何 $x$ 在 $E$ ,
$$
\lim N \rightarrow \infty \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
修复一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 在本节中,我们证明了序列的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ 假设泊松方程 $(1.2)$ 的解属于 $L^{2}(\pi)$. 在这个假设下,我们得到一个中心极限定理,它成 立 $\pi$ – 与初始状态一样。
定理 $1.1$ 修正一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 假设存在解 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $(1.2)$ 。
那么,对于所有人 $x$ 在 $E$ ,作为 $N \uparrow \infty$ ,
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛于 $\mathbb{I} X$ 分布到具有方差的均值零高斯随机变量 $\sigma^{2}(V)=E \pi\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$
证明 修正一个均值零函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$ 和一个初始状态 $x$ 在 $E$. 通过假设,存在一个解决方案 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $\mathrm{~ ( 1 . 2 ) 。 考 虑 序 列 ~ l e f t { Z _ { j } : j ~ l g e q ~ 1 ~ 1 r i g h t ~ }}$
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-\operatorname{Pf}\left(X_{j-1}\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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