统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4528

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4528

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

Fix a probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and an increasing filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$. Denote by $\mathbb{E}$ the expectation with respect to the probability measure $\mathbb{P}$. Let $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ be a stationary and ergodic sequence of random variables adapted to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}\right}$ and such that $$ \mathbb{E}\left[Z{1}^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0, \quad j \geq 0 . $$ The variables $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ are usually called martingale differences because the process $\left{M_{j}: j \geq 0\right}$ defined as $M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1$, is a zero-mean, square integrable martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}_{j}: j \geq 0\right}$.

Theorem 1.2 Let $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ be a sequence of stationary, ergodic random variables satisfying (1.10). Then, $N^{-1 / 2} \sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}$ converges in distribution, as $N \uparrow \infty$, to a Gaussian law with zero mean and variance $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.

Proof If one assumes that the martingale differences $\left{Z_{j}\right}$ are bounded, the proof is elementary and follows from the ergodic assumption. Suppose therefore that $\left|Z_{1}\right| \leq$ $C_{0}, \mathbb{P}$-a.s. for some finite constant $C_{0}$.

We first build exponential martingales. Since $\left{Z_{j}\right}$ are martingale differences, $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0$ for all $j \geq 0, K \geq 1$. Therefore, since $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq$ $x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, subtracting $\mathbb{E}\left[i \theta \sum{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]$ from the expression on the lefthand side in the next formula we obtain that $$ \left|\mathbb{E}\left[\exp \left{i \theta \sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right} \mid \mathscr{F}{j}\right]-1\right| \leq \frac{\theta^{2}}{2} \mathbb{E}\left[\left(\sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right)^{2} \mid \mathscr{F}_{j}\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

In this section, we examine the asymptotic behavior of the variance of
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
for square integrable functions $V$ in the context of reversible Markov chains. Reversibility with respect to $\pi$ means that $P$ is a symmetric operator in $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
for all $f, g$ in $L^{2}(\pi)$. It is easy to check that a probability measure $\pi$ is reversible if and only if it satisfies the detailed balance condition:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
for all $x, y$ in $E$, which means that
$$
\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=y, X_{n+1}=x\right]
$$
A reversible measure is necessarily invariant since
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x) .
$$
In this section, we prove that the following limit exists:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim {N \rightarrow \infty} \mathbb{E}{\pi}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
where we admit $+\infty$ as a possible value, and we find necessary and sufficient conditions for $\sigma^{2}(V)$ to be finite. We also introduce Hilbert spaces associated to the transition operator $P$ which will play a central role in the following chapters.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

In this section, we prove a central limit theorem for additive functionals of reversible Markov chains. Fix a zero-mean function $V$ in $L^{2}(\pi)$. We have seen in the beginning of this chapter that a central limit theorem for the additive functional $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ follows easily from a central limit theorem for martingales if $V$ belongs to the range of $I-P$, i.e., if there is a solution in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation $(I-P) f=V$. This assumption is too strong and should be relaxed. A natural condition to impose on $V$ is to require that its time-variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. In this case we may try to repeat the approach presented in the beginning of the chapter replacing the solution of the Poisson equation $(I-P) f=V$, which may not exist, by the solution $f_{\lambda}$ of the resolvent equation $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ which always exists.

Fix therefore a zero-mean function $V$ and assume that its variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. Let $f_{\lambda}$ be the solution of the resolvent equation (1.16). For $N \geq 1$,
$$
\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right) &=\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)+\sum_{j=0}^{N-1}\left{f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j}\right)\right} \
&=M_{N}^{\lambda}+f_{\lambda}\left(X_{0}\right)-f_{\lambda}\left(X_{N}\right)+\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)
\end{aligned}
$$
where $\left{M_{N}^{\lambda}: N \geq 0\right}$ is the martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$, $\mathscr{F}{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, defined by $M_{0}^{\lambda}:=0$,
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
for $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ for $j \geq 1$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4528

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

修正一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 和不断增加的过滤 $\$ left:{mathscr{F}{j}: \geq Olright }. 表示为 $\mathbb{E}$ 关于概率测度的期望 $\mathbb{P}$.
$\mathrm{~ 让 ~ U l e f t { Z { j } : ~ j g e q ~ 1 | r i g h t } ~ 是 适 应 过 滤 的 随 机 变 量 的 平 稳 和 遍 历 序 列 【 V e f t {}$
$$
\mathbb{E}\left[Z 1^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F} j\right]=0, \quad j \geq 0 .
$$
变量 $\mathrm{~ I l e f t { Z { j } : ~ \ g e q ~ 1 | r i g h t ~ }}$
$M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1 \mathrm{~ , ~ 是 关 于 过 滤 的 零 均 值 平 方 可 积 䩗 祥 ⿰}$
定理 $1.2$ 让 $\mathrm{~ M e f t { Z _ { j } : ~ j g e q ~ 1}$ 上收敛,如 $N \uparrow \infty$ ,到零均值和方差的高斯定律 $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.
证明 如果假设鞅差 left{Z_{j} \right } } \text { 是有界的,证明是基本的,并且遵循遍历假设。因此假设 } | Z _ { 1 } | \leq C _ { 0 } , \mathbb { P } \text { – 至于一 } 些有限常数 $C_{0}$.
我们首先建立指数鞅。自从Uleft{Z_fj}right $}$ 是鞅差, $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]=0$ 对所有人 $j \geq 0, K \geq 1$. 因此,由于 $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, 减去 $\mathbb{E}\left[i \theta \sum j+1 \leq k \leq j+K Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]$ 从下一个公式左侧的 表达式中,我们得到

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

在本节中,我们检查方差的渐近行为
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
对于平方可积函数 $V$ 在可逆马尔可夫链的背景下。关于可逆性 $\pi$ 意思是 $P$ 是一个对称算子 $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
对所有人 $f, g$ 在 $L^{2}(\pi)$. 很容易检查概率测度 $\pi$ 是可逆的当且仅当它满足详细平衡条件:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
对所有人 $x, y$ 在 $E$ ,意思就是
$$
\mathbb{P} \pi\left[X n=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P} \pi\left[X n=y, X_{n+1}=x\right]
$$
可逆测度必然是不变的,因为
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x)
$$
在本节中,我们证明存在以下限制:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim N \rightarrow \infty \mathbb{E} \pi\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
我们承认的地方 $+\infty$ 作为一个可能的值,我们发现充要条件 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。我们还介绍了与转移算子相关的希 尔伯特空间 $P$ 这将在接下来的章节中发挥核心作用。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

在本节中,我们证明了可逆马尔可夫链的加性泛函的中心极限定理。修复零均值函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$. 我们在本章开头 已经看到,加性泛函的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ 很容易从鞅的中心极限定理得出,如果 $V$ 属于范围 $I-P$ ,即,如果在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程的 $(I-P) f=V$. 这个假设太强了,应该放宽。强加于人的自然条件 $V$ 是要 求它的时变 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。在这种情况下,我们可以尝试重复本章开头提出的方法来代替泊松方程的解 $(I-P) f=V$ ,这可能不存在,由解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程的 $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ 它始终存在。
因此修复一个零均值函数 $V$ 并假设它的方差 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。让 $f_{\lambda}$ 是求解方程 $(1.16)$ 的解。为了 $N \geq 1$ ,
\begin{对斉 } } \mathrm { ~ \ s u m _ { j = 0 } ^ { N – 1 } ~ V
$\mathrm{~ 在 哪 里 ~ \ l e f t { M _ { N } ^ { N l a m b d a } : ~ N ~ I g e q ~ O \ r i g h t ~}$
$\mathscr{F} j=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$ , 被定义为 $M_{0}^{\lambda}:=0$ ,
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
为了 $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ 为了 $j \geq 1$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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