统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Super-replication: Linear programming

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Super-replication: Linear programming

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Linear programming

We define seller’s super-replication price $C$ as
DEFINITION 1.1 Seller’s super-replication price
$$
C_{\text {sel }} \equiv \inf \left{C: \exists H \text { s.t. } \pi_{T} \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-\text { a.s. }\right}
$$
where the abbreviation a.s. means almost surely. $C$ and $H$ are chosen such that the portfolio value at $T$ is nonnegative for all realization of $S_{T}$ distributed according to the law $\mathbb{P}^{\text {hist }}$. This definition is clearly that of non-adverse risk traders.

Here, note that our definition depends weakly on our modeling assumption only through the negligible sets of $\mathbb{P}^{\text {hist }}$. $\mathbb{P h}^{\text {hist }}$ can be replaced by any probability $\mathbb{Q}$ equivalent to $\mathbb{P}^{\text {hist }}$ – see Definition 1.2.
For completeness, we recall the definition of equivalent probabilities:
DEFINITION 1.2 Equivalent probabilities $\mathbb{P} \sim \mathbb{Q}$ – we say $\mathbb{P}$ and $\mathbb{Q}$ are equivalent on a sigma field $\mathcal{F}$ – if $\mathbb{P}$ and $\mathbb{Q}$ have the same negligible sets: $\mathbb{P}(A)=0$ if and only if $\mathbb{Q}(A)=0$ for all $A \in \mathcal{F}$.

For example if $\mathbb{P}^{\text {hist }}$ is an atomic probability supported on the points $\left(s_{i}\right){i=1, \ldots, N}$ with probabilities $\left(p{i} \equiv \mathbb{P}^{\text {hist }}\left(S_{T}=s_{i}\right) \neq 0\right){i=1, \ldots, N}, \mathbb{Q} \sim \mathbb{P}^{\text {hist }}$ means that $\mathbb{Q}$ is also an atomic probability supported on the same points $\left(s{i}\right){i=1, \ldots, N}$ with probability $\left(q{i} \neq 0\right){i=1, \ldots, N}$. $C{\text {sel }}$ defines a so-called infinite-dimensional linear programming problem: we need to compute the infimum of a linear cost, i.e., $C$, with respect to the real variables $C$ and $H$, subject to an infinite number of constraint inequalities, parameterized by $S_{T}$. If we assume that $\mathbb{P}^{\text {phist }}$ is an atomic probability supported on $N$ points $\left(s_{i}\right){i=1, \ldots, N}$ – this is the case in practice as the unit price is one cent – the super-replication price can be stated as a more conventional finite-dimensional linear programming (written here for $F{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}$)
$$
\begin{array}{r}
C_{\text {sel }}^{N} \equiv \inf \left{C: \exists H \text { s.t. } H\left(s_{i} e^{-r T}-S_{0}\right)+C-e^{-r T}\left(s_{i}-K\right)^{+} \geq 0,\right. \
i=1, \ldots, N}
\end{array}
$$
$C_{\text {sel }}^{N}$ can then be solved numerically using a simplex algorithm. We will now present a dual formulation (Monge-Kantorovich dual) of $C_{\text {sel }}$ that will be fundamental for understanding the notion of arbitrage-free prices and riskneutral probabilities.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Arbitrage-free prices and bounds

DEFINITION 1.4 Arbitrage opportunity $\mathbb{P}^{\text {hist }}$ is arbitrage-free if there does not exist $H$ and $\pi_{0}<0$ for which
$$
\pi_{0}+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-\text { a.s. }
$$
This means that starting with a strictly negative portfolio value at $t=0$, a positive profit can be locked in without any downside risk. We say that we have an arbitrage opportunity. It is clear that from a modeling point of view, such arbitrage opportunity should be disregarded. Indeed, if such an opportunity would show up, it would generate a large demand on the underlying $S$, and at the equilibrium the arbitrage would disappear. Similarly, we define arbitrage-free prices as

DEFINITION $1.5$ Arbitrage-free prices We say that $C$ is an arbitragefree price if there does not exist $H$ and $\pi_{0}<0$ for which
$$
\pi_{0}+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right)+C-e^{-r T} F_{T} \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-\text { a.s. }
$$

In fact these two definitions are consistent if we consider an extended market with two assets $S_{T}$ and $F_{T}$ and prices $S_{0}$ and $C$ at $t=0$. Throughout this book, we will assume
Assumption $2 \mathbb{P}^{\text {hist }}$ is arbitrage-free.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A worked-out example: The binomial model

Let us assume that the historical probability $\mathbb{P}^{\text {hist }}$ is supported on two points $S_{u}=u S_{0}$ and $S_{d}=d S_{0}$ with probabilities $p_{u}$ and $p_{d}$ and $u>d$ without loss of generality. Note that $e^{-r T} S_{T}$ is not required to be a Phist -martingale. The price obtained using an insurance point of view is (see Formula (1.2))
$$
C_{\mathrm{ins}}=e^{-r T}\left(p_{u}\left(u S_{0}-K\right)^{+}+p_{d}\left(d S_{0}-K\right)^{+}\right)
$$
The super-replication price for a call can be obtained easily using our dual formulation. Let us characterize the convex set $\mathcal{M}{1}: \mathbb{Q} \in \mathcal{M}{1}$ if and only if $\mathbb{Q}$ is supported on the points $S_{u}$ and $S_{d}\left(\right.$ as $\left.\mathbb{Q} \sim \mathbb{P}^{\text {hist }}\right)$ and satisfies $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r T} S_{T}\right]=$ $S_{0}:$
$$
\begin{aligned}
q_{u}+q_{d} &=1 \
q_{u} S_{u}+q_{d} S_{d} &=e^{r T} S_{0}
\end{aligned}
$$

where $q_{u} \equiv \mathbb{Q}\left(S_{T}=S_{u}\right) \neq 0$ and $q_{d} \equiv \mathbb{Q}\left(S_{T}=S_{d}\right) \neq 0$. There is a (unique) solution if and only if $d<e^{r T}<u$ for which
$$
q_{u}=\frac{e^{r T}-d}{u-d}, \quad q_{d}=\frac{u-e^{r T}}{u-d}
$$
From Corollary 1.1, the binomial model is arbitrage-free if and only if $d<$ $e^{r T}<u$. The super-replication price is then
$$
C=e^{-r T}\left(q_{u}\left(u S_{0}-K\right)^{+}+q_{d}\left(d S_{0}-K\right)^{+}\right)
$$
Note that as explained previously, $C$ depends only on the negligible set of $\mathbb{P}^{\text {hist }}$ (through the points $S_{d}$ and $S_{u}$ ) and does not depend on $p_{u}$ and $p_{d}$. As the set $\mathcal{M}_{1}$ is a singleton, the price of this option is unique from Corollary $1.2$ (in particular the super and sub-replication prices coincide).

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离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Linear programming

我们定义卖方的超复制价格C如
定义 1.1 卖家的超复制价格

C_{\text {sel }} \equiv \inf \left{C: \exists H \text { st } \pi_{T} \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}- \text { 作为 }\right}C_{\text {sel }} \equiv \inf \left{C: \exists H \text { st } \pi_{T} \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}- \text { 作为 }\right}
这里的缩写 as 几乎可以肯定。C和H选择这样的投资组合价值吨对于所有实现都是非负的小号吨依法分配磷历史 . 这个定义显然是非逆向风险交易者的定义。

在这里,请注意,我们的定义仅通过可忽略的集合弱依赖于我们的建模假设磷历史 . 磷H历史 可以用任意概率代替问相当于磷历史 – 见定义 1.2。
为了完整起见,我们回顾等价概率的定义:
定义 1.2 等价概率磷∼问- 我们说磷和问在 sigma 域上是等价的F- 如果磷和问具有相同的可忽略集:磷(一个)=0当且仅当问(一个)=0对所有人一个∈F.

例如,如果磷历史 是点上支持的原子概率(s一世)一世=1,…,ñ有概率(p一世≡磷历史 (小号吨=s一世)≠0)一世=1,…,ñ,问∼磷历史 意思是问也是在相同点上支持的原子概率(s一世)一世=1,…,ñ有概率(q一世≠0)一世=1,…,ñ.C这个 定义了一个所谓的无限维线性规划问题:我们需要计算线性成本的下确界,即C, 关于实变量C和H, 受限于无限数量的约束不等式,参数化为小号吨. 如果我们假设磷菲斯特 是支持的原子概率ñ积分(s一世)一世=1,…,ñ– 在实践中就是这种情况,因为单价是 1 美分 – 超级复制价格可以表示为更传统的有限维线性规划(写在这里F吨=(小号吨−ķ)+)

\begin{array}{r} C_{\text {sel }}^{N} \equiv \inf \left{C: \exists H \text { st } H\left(s_{i} e^{-r T}-S_{0}\right)+Ce^{-r T}\left(s_{i}-K\right)^{+} \geq 0,\right. \ i=1, \ldots, N} \end{数组}\begin{array}{r} C_{\text {sel }}^{N} \equiv \inf \left{C: \exists H \text { st } H\left(s_{i} e^{-r T}-S_{0}\right)+Ce^{-r T}\left(s_{i}-K\right)^{+} \geq 0,\right. \ i=1, \ldots, N} \end{数组}
C这个 ñ然后可以使用单纯形算法进行数值求解。我们现在将提出一个对偶公式(Monge-Kantorovich dual)C这个 这对于理解无套利价格和风险中性概率的概念至关重要。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Arbitrage-free prices and bounds

定义 1.4 套利机会磷历史 如果不存在则无套利H和圆周率0<0为此

圆周率0+H(小号吨和−r吨−小号0)≥0,磷历史 − 作为 
这意味着从严格的负投资组合价值开始吨=0,可以在没有任何下行风险的情况下锁定正利润。我们说我们有套利机会。很明显,从建模的角度来看,这种套利机会应该被忽略。事实上,如果这样的机会出现,将会对标的资产产生巨大的需求。小号,并且在均衡时套利将消失。同样,我们将无套利价格定义为

定义1.5无套利价格 我们这么说C如果不存在,则为无套利价格H和圆周率0<0为此

圆周率0+H(小号吨和−r吨−小号0)+C−和−r吨F吨≥0,磷历史 − 作为 

事实上,如果我们考虑具有两种资产的扩展市场,这两个定义是一致的小号吨和F吨和价格小号0和C在吨=0. 在本书中,我们将
假设2磷历史 是无套利的。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A worked-out example: The binomial model

让我们假设历史概率磷历史 支持两点小号在=在小号0和小号d=d小号0有概率p在和pd和在>d不失一般性。注意和−r吨小号吨不需要是 Phist 鞅。使用保险的观点得到的价格是(见公式(1.2))

C一世ns=和−r吨(p在(在小号0−ķ)++pd(d小号0−ķ)+)
使用我们的双重公式可以轻松获得调用的超复制价格。让我们刻画凸集米1:问∈米1当且仅当问支持点小号在和小号d(作为问∼磷历史 )并满足和问[和−r吨小号吨]= 小号0:

q在+qd=1 q在小号在+qd小号d=和r吨小号0

在哪里q在≡问(小号吨=小号在)≠0和qd≡问(小号吨=小号d)≠0. 当且仅当有一个(唯一的)解决方案d<和r吨<在为此

q在=和r吨−d在−d,qd=在−和r吨在−d
从推论 1.1,二项式模型是无套利的当且仅当d< 和r吨<在. 那么超复制价格就是

C=和−r吨(q在(在小号0−ķ)++qd(d小号0−ķ)+)
请注意,如前所述,C仅取决于可忽略的集合磷历史 (通过点小号d和小号在) 并且不依赖于p在和pd. 作为套装米1是单例,此选项的价格是推论中唯一的1.2(特别是超级和子复制价格一致)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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