### 统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST30020

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## 统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Mass for discrete distributions

We will use the following example to illustrate ideas associated with discrete bivariate mass.
Example 4.2.1 (Card drawing experiment)
We have a standard deck of 52 cards made up of 13 denominations from 4 suits. We select two cards at random without replacement and note the number of kings and the number of aces. We could use $X$ to denote the number of kings and $Y$ to denote the number of aces.

A natural way to characterise a discrete bivariate distribution is in terms of the probability that the variables of interest take particular values.
Definition 4.2.2 (Joint mass function)
Suppose that $X$ and $Y$ are discrete random variables. The joint mass function of $X$ and $Y$ is the function $f_{X, Y}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow[0,1]$ given by
$$f_{X, Y}(x, y)=\mathrm{P}(X=x, Y=y) .$$
Once again there is an implicit $\cap$ here, so $\mathrm{P}(X=x, Y=y)$ is the probability that $X=x$ and $Y=y$. For discrete distributions, events of the form $\left{X=x_{1}, Y=y_{1}\right}$ and $\left{X=x_{2}, Y=y_{2}\right}$ are disjoint for $x_{1} \neq x_{2}$ and/or $y_{1} \neq y_{2}$. As such, adding the probabilities of these events will give us the probability of the union. This idea can be extended to intervals, leading to the following claim.
Claim 4.2.3
For discrete random variables $X$ and $Y$ with joint mass function $f_{X, Y}$, and real numbers $x_{1}<x_{2}$ and $y_{1}<y_{2}$, we have
$$\mathrm{P}\left(x_{1}<X \leq x_{2}, y_{1}<Y \leq y_{2}\right)=\sum_{x_{1}<x \leq x_{2}} \sum_{y_{1}<y \leq y_{2}} f_{X, Y}(x, y) .$$
A simple corollary of this claim is that
$$\mathrm{P}\left(X=x, y_{1}<Y \leq y_{2}\right)=\sum_{y_{1}<y \leq y_{2}} f_{X, Y}(x, y) .$$
The principle of adding mutually exclusive outcomes to remove one variable from consideration can be applied generally.

## 统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Multivariate case

The generalisation to the $n$-dimensional multivariate case does not introduce any new ideas. Suppose that $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are jointly continuous random variables with cumulative distribution function $F_{X_{1}, \ldots, X_{n}}$. The joint density is the function $f_{X_{1}, \ldots, X_{n}}$ satisfying
$$F_{X_{1}, \ldots, X_{n}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\int_{-\infty}^{x_{n}} \cdots \int_{-\infty}^{x_{1}} f_{X_{1}, \ldots, X_{n}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) d u_{1} \ldots d u_{n}$$
In order to generate the marginal density of $X_{j}$, we integrate the joint density with respect to all the other variables,
$$f_{X_{j}}\left(x_{j}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_{1}, \ldots, X_{n}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{j-1} d x_{j+1} \ldots d x_{n}$$

1. I toss a coin three times. Let $X$ be the number of heads and let $Y$ be a random variable that takes the value 1 if I get a head on the first and last throw, and 0 otherwise.
(a) Write down a table summarising the joint mass function of $X$ and $Y$.
(b) Calculate the marginal mass functions. Are they what you expected?
2. Consider random variables $X$ and $Y$ with joint density
$$f_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}k x y & \text { for } 0X). 3. Consider the function$$
f_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}2 & \text { for } 0<x<y<1, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$(a) Show that f_{X, Y} is a valid density. (b) Find f_{X}(x) and f_{Y}(y). (c) Evaluate \mathrm{P}\left(Y<X+\frac{1}{2}\right). ## 统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Expectation and joint moments We often encounter situations where we are interested in a function of several random variables. Consider the following illustration: let X_{1}, \ldots, X_{5} represent our models for the total rainfall in December at five locations around the UK. Functions that may be of interest include: • the mean across locations, \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} X_{i}. • the maximum across locations, \max {i}\left(X{i}\right). • the mean of the four rainiest locations, \frac{1}{4}\left[\sum_{i=1}^{5} X_{i}-\min {i}\left(X{i}\right)\right]. As a function of random variables, each of these is itself a random variable. In the situations that we will consider, if X_{1}, \ldots, X_{n} are random variables and g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} is a function of n variables, then g\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) is also a random variable. In many instances, the distribution of g\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) is of interest; this topic is tackled in section 4.6. We start with something more straightforward: calculation of the mean. ## 统计推断代考 ## 统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Mass for discrete distributions 我们将使用以下示例来说明与离散二元质量相关的想法。 例 4.2.1（抽牌实验） 我们有一副标准的一副由 4 个花色的 13 个面额组成的 52 张牌。我们随机选择两张牌，不放回，并记下 K 的数量和 A 的数量。我们可以使用X表示国王的数量和是来表示 ace 的数量。 表征离散双变量分布的一种自然方法是根据感兴趣的变量取特定值的概率。 定义 4.2.2（联合质量函数） 假设X和是是离散随机变量。联合质量函数X和是是函数FX,是:R2→[0,1]由 FX,是(X,是)=磷(X=X,是=是). 再次有一个隐含的∩在这里，所以磷(X=X,是=是)是概率X=X和是=是. 对于离散分布，事件的形式\left{X=x_{1}, Y=y_{1}\right}\left{X=x_{1}, Y=y_{1}\right}和\left{X=x_{2}, Y=y_{2}\right}\left{X=x_{2}, Y=y_{2}\right}是不相交的X1≠X2和/或是1≠是2. 因此，添加这些事件的概率将为我们提供联合的概率。这个想法可以扩展到间隔，导致以下主张。 声明 4.2.3 对于离散随机变量X和是具有联合质量函数FX,是, 和实数X1<X2和是1<是2， 我们有 磷(X1<X≤X2,是1<是≤是2)=∑X1<X≤X2∑是1<是≤是2FX,是(X,是). 这种说法的一个简单推论是 磷(X=X,是1<是≤是2)=∑是1<是≤是2FX,是(X,是). 可以普遍应用添加互斥结果以从考虑中删除一个变量的原则。 ## 统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Multivariate case 泛化到n维多变量案例没有引入任何新思想。假设X1,…,Xn是具有累积分布函数的联合连续随机变量FX1,…,Xn. 联合密度是函数FX1,…,Xn令人满意的 FX1,…,Xn(X1,…,Xn)=∫−∞Xn⋯∫−∞X1FX1,…,Xn(在1,…,在n)d在1…d在n 为了产生边际密度Xj，我们将联合密度与所有其他变量相结合， FXj(Xj)=∫−∞∞…∫−∞∞FX1,…,Xn(X1,…,Xn)dX1…dXj−1dXj+1…dXn 1. 我掷硬币三遍。让X是正面的数量，让是是一个随机变量，如果我在第一次和最后一次投掷中获得正面，则取值为 1，否则为 0。 (a) 写出一个表格总结了联合质量函数X和是. (b) 计算边际质量函数。他们是你所期望的吗？ 2. 考虑随机变量X和是联合密度$$
f_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}kxy & \text { for } 0X)\$。
3. 考虑函数
FX,是(X,是)={2 为了 0<X<是<1, 0 否则。
(a) 证明FX,是是一个有效的密度。
(b) 查找FX(X)和F是(是).
(c) 评估磷(是<X+12).

## 统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Expectation and joint moments

• 跨位置的平均值，15∑一世=15X一世.
• 跨位置的最大值，最大限度一世(X一世).
• 四个最多雨地点的平均值，14[∑一世=15X一世−分钟一世(X一世)].
作为随机变量的函数，这些中的每一个本身就是一个随机变量。在我们将考虑的情况下，如果X1,…,Xn是随机变量和G:Rn→R是一个函数n变量，那么G(X1,…,Xn)也是一个随机变量。在许多情况下，分布G(X1,…,Xn)有兴趣；这个主题在第 4.6 节中讨论。我们从更直接的事情开始：计算平均值。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。