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统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|A more thorough treatment of random variables
In earlier sections of this chapter we refer rather vaguely to conditions on a set $B$ for $\mathrm{P}(X \in B)$ to be well defined and conditions on a function $g$ for $g(X)$ to be a random variable. We also suggest that we are not really interested in random variables as maps and that, for many situations, the notion of an underlying sample space is not particularly useful. In this section, we attempt to provide some justification for these assertions. The material here is technical and may be excluded without affecting understanding of other parts of the text. We start by providing an alternative definition of a random variable. This is equivalent to Definition 3.1.2 but uses more abstract concepts; key among them is the Borel $\sigma$-algebra.
Definition 3.8.1 (Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ )
Let $C$ be the collection of all open intervals of $\mathbb{R}$. The Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ is the (unique) smallest $\sigma$-algebra that contains $C$. We denote the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ by $\mathcal{B}$. An element of $\mathcal{B}$ is referred to as a Borel set.
From the definition it is clear that any open interval $(x, y)$ is a Borel set. It is also the case that closed intervals $[x, y]$, half-open intervals $(x, y]$ and $[x, y)$, and finite unions of interval are all Borel sets in $\mathbb{R}$. In fact, sets that are not Borel sets are hard to construct; any subset of $\mathbb{R}$ that you come across in a practical problem is likely to be a Borel set. Clearly, since $\mathcal{B}$ is a $\sigma$-algebra, $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ is a measurable space. The term measurable can also be applied to functions.
Definition 3.8.2 (Measurable function)
Consider measurable spaces $(\Omega, \mathcal{F})$ and $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$. We say that a function $h: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is $\mathcal{F}$-measurable if $h^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ for all $B \in \mathcal{B}$.
We can now give an alternative definition of a random variable.
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Further exercises
- Let $Y$ be a random variable that has a binomial distribution with $n$ trials and probability $p$ of success for each trial, that is, $Y \sim \operatorname{Bin}(n, p)$. Without using generating functions:
(a) show that $\mathbb{E}(Y)=n p$,
(b) work out $\operatorname{Var}(Y)$,
(c) explain why $\mathbb{B}\left(Y^{r}\right)=p$ for $r=1,2, \ldots$,
(d) find the third central moment of $Y$. - Let $Y$ be a random variable that has a Poisson distribution with parameter $\lambda$, that is, $Y \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$. Without using generating functions:
(a) show that $\mathbb{E}(Y)=\lambda$,
(b) find $\mathbb{E}\left(Y^{3}\right)$. - Let $Y$ be a random variable that has an exponential distribution with parameter $\theta$. Without using generating functions show that
(a) $\mathbb{E}(Y)=\frac{1}{\theta}$,
(b) $\operatorname{Var}(Y)=\frac{1}{\theta^{2}}$.
- Find the cumulative distribution functions corresponding to the following density functions:
(a) Cauchy: $f_{X}(x)=1 /\left[\pi\left(1+x^{2}\right)\right]$ for $x \in \mathbb{R}$
(b) Logistic: $f_{X}(x)=e^{-x} /\left(1+e^{-x}\right)^{2}$ for $x \in \mathbb{R}$
(c) Pareto: $f_{X}(x)=(a-1) /(1+x)^{a}$ for $x>0$, where $a>1$
(d) Weibull: $f_{X}(x)=c \tau x^{\tau-1} e^{-c x^{\tau}}$ for $x>0$, where $c, \tau>0$ - If $X$ is a positive continuous random variable with density function $f_{X}(x)$ and mean $\mu$, show that
$$
g(y)= \begin{cases}y f_{X}(y) / \mu & y \geq 0 \ 0 & y<0\end{cases}
$$
is a valid density function, and hence show that
$$
\mathbb{E}\left(X^{3}\right) \mathbb{E}(X) \geq\left{\mathbb{E}\left(X^{2}\right)\right}^{2}
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Joint and marginal distributions
The cumulative distribution function for a collection of random variables is referred to as the joint cumulative distribution function. This is a function of several variables.
Definition 4.1.1 (General joint cumulative distribution function)
If $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are random variables, the joint cumulative distribution function is a function $F_{X_{1}, \ldots, X_{r}}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow[0,1]$ given by
$$
F_{X_{1}, \ldots, X_{n}}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\mathrm{P}\left(X_{1} \leq x_{1}, X_{2} \leq x_{2}, \ldots, X_{n} \leq x_{n}\right)
$$
The notation associated with the general case of $n$ variables rapidly becomes rather
cumbersome. Most of the ideas associated with multivariate distributions are entirely explained by looking at the two-dimensional case, that is, the bivariate distribution. The generalisations to $n$ dimensions are usually obvious algebraically, although $n$ dimensional distributions are considerably more difficult to visualise. The definition of a bivariate cumulative distribution function is an immediate consequence of Definition 4.1.1.
Definition 4.1.2 (Bivariate joint cumulative distribution function)
For two random variables $X$ and $Y$, the joint cumulative distribution function is a function $F_{X, Y}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow[0,1]$ given by
$$
F_{X, Y}(x, y)=\mathrm{P}(X \leq x, Y \leq y) .
$$
Notice that there is an implicit $\cap$ in the statement $\mathrm{P}(X \leq x, Y \leq y)$, so $F_{X, Y}(x, y)$ should be interpreted as the probability that $X \leq x$ and $Y \leq y$. The elementary properties of bivariate distributions are given by Claim $4.1 .3$ below. Part of Exercise $4.1$ is to generalise these to the $n$-dimensional case.
统计推断代考
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|A more thorough treatment of random variables
在本章的前几节中，我们相当模糊地提到了集合上的条件乙为了磷(X∈乙)对函数有很好的定义和条件G为了G(X)成为一个随机变量。我们还建议我们对作为映射的随机变量并不真正感兴趣，并且在许多情况下，基础样本空间的概念并不是特别有用。在本节中，我们试图为这些断言提供一些理由。这里的材料是技术性的，可能会被排除在外，而不影响对文本其他部分的理解。我们首先提供随机变量的另一种定义。这相当于定义 3.1.2，但使用了更抽象的概念；其中的关键是 Borelσ-代数。
定义 3.8.1（博雷尔σ-代数开R)
让C是所有开区间的集合R. 博雷尔σ-代数开R是（唯一的）最小的σ-代数包含C. 我们表示 Borelσ-代数开R经过乙. 一个元素乙称为 Borel 集。
从定义可以清楚地看出，任何开区间(X,是)是一个 Borel 集。闭区间也是如此[X,是], 半开区间(X,是]和[X,是), 区间的有限联合都是 Borel 集R. 事实上，非 Borel 集的集合很难构造。的任何子集R你在一个实际问题中遇到的很可能是一个 Borel 集。显然，由于乙是一个σ-代数，(R,乙)是一个可测量的空间。术语可测量也可以应用于函数。
定义 3.8.2（可测函数）
考虑可测空间(Ω,F)和(R,乙). 我们说一个函数H:Ω→R是F- 可测量的，如果H−1(乙)∈F对所有人乙∈乙.
我们现在可以给出随机变量的另一种定义。
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Further exercises
- 让是是一个具有二项分布的随机变量n试验和概率p每次试验的成功率，即是∼垃圾桶(n,p). 不使用生成函数：
（a）表明和(是)=np,
(b) 制定曾是(是),
(c) 解释原因乙(是r)=p为了r=1,2,…,
(d) 求第三个中心矩是. - 让是是具有参数的泊松分布的随机变量λ， 那是，是∼然后(λ). 不使用生成函数：
（a）表明和(是)=λ,
(b) 找到和(是3). - 让是是具有参数的指数分布的随机变量θ. 不使用生成函数表明
（一个）和(是)=1θ,
(b)曾是(是)=1θ2.
- 求与下列密度函数对应的累积分布函数：
(a) Cauchy：FX(X)=1/[圆周率(1+X2)]为了X∈R
(b) 后勤：FX(X)=和−X/(1+和−X)2为了X∈R
(c) 帕累托：FX(X)=(一个−1)/(1+X)一个为了X>0， 在哪里一个>1
(d) 威布尔：FX(X)=CτXτ−1和−CXτ为了X>0， 在哪里C,τ>0 - 如果X是具有密度函数的正连续随机变量FX(X)和意思μ， 显示
G(是)={是FX(是)/μ是≥0 0是<0
是一个有效的密度函数，因此表明
\mathbb{E}\left(X^{3}\right) \mathbb{E}(X) \geq\left{\mathbb{E}\left(X^{2}\right)\right}^{ 2}\mathbb{E}\left(X^{3}\right) \mathbb{E}(X) \geq\left{\mathbb{E}\left(X^{2}\right)\right}^{ 2}
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Joint and marginal distributions
随机变量集合的累积分布函数称为联合累积分布函数。这是几个变量的函数。
定义 4.1.1（一般联合累积分布函数）
如果X1,…,Xn是随机变量，联合累积分布函数是一个函数FX1,…,Xr:Rn→[0,1]由
FX1,…,Xn(X1,X2,…,Xn)=磷(X1≤X1,X2≤X2,…,Xn≤Xn)
与一般情况相关的符号n变量迅速变得相当
麻烦。与多元分布相关的大多数想法完全是通过观察二维情况来解释的，即二元分布。概括为n尺寸通常在代数上是显而易见的，尽管n维度分布更难以可视化。双变量累积分布函数的定义是定义 4.1.1 的直接结果。
定义4.1.2（双变量联合累积分布函数）
对于两个随机变量X和是, 联合累积分布函数是一个函数FX,是:R2→[0,1]由
FX,是(X,是)=磷(X≤X,是≤是).
注意有一个隐含的∩在声明中磷(X≤X,是≤是)， 所以FX,是(X,是)应该解释为概率X≤X和是≤是. 双变量分布的基本性质由 Claim 给出4.1.3以下。运动的一部分4.1是将这些推广到n维案例。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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