### 英国补考|统计推断代写Statistical inference代考|STAT3013

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 英国补考|统计推断代写Statistical inference代考|Compressed Sensing via ℓ1 minimization: Motivation

In principle there is nothing surprising in the fact that under reasonable assumption on the $m \times n$ sensing matrix $A$ we may hope to recover from noisy observations of $A x$ an $s$-sparse signal $x$, with $s \ll m$. Indeed, assume for the sake of simplicity that there are no observation errors, and let $\operatorname{Col}{j}[A]$ be $j$-th column in $A$. If we knew the locations $j{1}<j_{2}<\ldots<j_{s}$ of the nonzero entries in $x$, identifying $x$ could be reduced to solving the system of linear equations $\sum_{\ell=1}^{s} x_{i_{\ell}} \operatorname{Col}_{j \ell}[A]=y$ with $m$ equations and $s \ll m$ unknowns; assuming every $s$ columns in $A$ to be linearly independent (a quite unrestrictive assumption on a matrix with $m \geq s$ rows), the solution to the above system is unique, and is exactly the signal we are looking for. Of course, the assumption that we know the locations of nonzeros in $x$ makes the recovery problem completely trivial. However, it suggests the following course of action: given noiseless observation $y=A x$ of an $s$-sparse signal $x$, let us solve the combinatorial optimization problem
$$\min {z}\left{|z|{0}: A z=y\right},$$
where $|z|_{0}$ is the number of nonzero entries in $z$. Clearly, the problem has a solution with the value of the objective at most $s$. Moreover, it is immediately seen that if every $2 s$ columns in $A$ are linearly independent (which again is a very unrestrictive assumption on the matrix $A$ provided that $m \geq 2 s$ ), then the true signal $x$ is the unique optimal solution to (1.2).

## 英国补考|统计推断代写Statistical inference代考|Validity of ℓ1 minimization in the noiseless case

The minimal requirement on sensing matrix $A$ which makes $\ell_{1}$ minimization valid is to guarantee the correct recovery of exactly s-sparse signals in the noiseless case, and we start with investigating this property.
1.2.1.1 Notational convention
From now on, for a vector $x \in \mathbf{R}^{n}$

• $I_{x}=\left{j: x_{j} \neq 0\right}$ stands for the support of $x$; we also set
$$I_{x}^{+}=\left{j: x_{j}>0\right}, I_{x}^{-}=\left{j: x_{j}<0\right} \quad\left[\Rightarrow I_{x}=I_{x}^{+} \cup I_{x}^{-}\right]$$
• for a subset $I$ of the index set ${1, \ldots, n}, x_{I}$ stands for the vector obtained from $x$ by zeroing out entries with indices not in $I$, and $I^{\circ}$ for the complement of $I$ :
$$I^{o}={i \in{1, \ldots, n}: i \notin I}$$
• for $s \leq n, x^{s}$ stands for the vector obtained from $x$ by zeroing out all but the $s$
• entries largest in magnitude. ${ }^{5}$ Note that $x^{s}$ is the best $s$-sparse approximation of $x$ in all $\ell_{p}$ norms, $1 \leq p \leq \infty$;
• for $s \leq n$ and $p \in[1, \infty]$, we set
$$|x|_{s, p}=\left|x^{s}\right|_{p}$$
note that $|\cdot|_{s, p}$ is a norm.

## 英国补考|统计推断代写Statistical inference代考|Validity of ℓ1 minimization in the noiseless case

1.2.1.1 符号约定

• L_{x}=lleft{j: $x_{-}{{} \backslash$ \neq OIright $}$ 代表支持 $x$; 我们还设置
• 对于一个子集 $I$ 索引集的 $1, \ldots, n, x_{I}$ 代表从获得的向量 $x$ 通过将索引不在的条目清零 $I$ ，和 $I^{\circ}$ 为补 $I$ :
$$I^{o}=i \in 1, \ldots, n: i \notin I$$
• 为了 $s \leq n, x^{s}$ 代表从获得的向量 $x$ 通过清零除 $s$
• 数量级最大的条目。 ${ }^{5}$ 注意 $x^{s}$ 是最好的 $s$-稀疏近似 $x$ 在所有 $\ell_{p}$ 规范， $1 \leq p \leq \infty$;
• 为了 $s \leq n$ 和 $p \in[1, \infty]$ ，我们设置
$$|x|{s, p}=\left|x^{s}\right|{p}$$
注意 $|\cdot|_{s, p}$ 是一种规范。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。