统计代写|统计推断作业代写statistical inference代考|REMARKS ON N-P THEORY

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Sequential Nonparametric Testing with the Law of the Iterated Logarithm
统计代写|统计推断作业代写statistical inference代考|REMARKS ON N-P THEORY

统计代写|统计推断作业代写statistical inference代考|REMARKS ON N-P THEORY

A synopsis of criticisms of N-P theory due to Hacking (1965) follows. The N-P hypothesis testing theory is then one of fixing a small size and searching for large power. The rationale behind it is to search for rules for governing our behavior with regard to hypotheses (without hoping to know whether any one of them is true or false) which will ensure that in the long run we shall not be wrong too often. To assert whether $H$ be rejected or not, calculate $D$ (the observables) and if $D \in s$ reject $H$, if $D \notin s$ accept $H$. Such a rule tells us nothing as to whether in a particular case $H$ is true when $D \notin s$ or false when $D \notin s$. If we behave in such a way we shall reject when it is true not more than $100 \alpha \%$ of the time and in addition we may have evidence that we shall reject $H$ sufficiently often when it is false.

Presumably if we behave in such a way and keep $\alpha$ fixed we shall reject hypotheses tested through our lifetimes that are true not more than $100 \alpha \%$ of the time (i.e., there is a very high likelihood that this will happen in the long run), and really one is no more or less certain about any of these hypotheses. But if we had to adopt a testing policy now and were bound to follow it for the rest of our lives so that for every false hypothesis we rejected we would have bestowed upon us $h$ heavenly units and likewise for every true hypothesis we accept, while we lose the same for each true one we reject and every false one we accept then this is the best life long policy-but no one has ever been in this situation. This is of course a pre-trial, not a post trial evaluation.

Now it may be that before a trial a decision must be made (because accuracy is difficult or tedious or it may be economical to do so) only to note whether a trial made is in $s$ or not. This may be wholly rational and in this case N-P theory is an economical post trial evaluation. Of course in some cases, say, a simple $H_{0}$ vs. a simple $H_{1}$, where a MP test exists, the extra knowledge will not change our evaluations of $H_{0}$. In these cases where a rational decision to discard or ignore data the N-P theory is a special case of likelihood.
In any event the N-P theory can be viewed from a likelihood perspective:
P(D \in s \mid H) &=L(H \mid D \in s) \leq \alpha(H) \quad \text { say small relative to } \
P(D \in s \mid K) &=L(K \mid D \in s)=1-\beta(K) \text { so } \
Q &=\frac{L(H \mid D \in s)}{L(K \mid D \in s)} \leq \frac{\alpha(H)}{1-\beta(K)} \quad \text { small. }

统计代写|统计推断作业代写statistical inference代考|FURTHER REMARKS ON N-P THEORY

We now reconsider an example presented earlier.
Example $3.2$ (continued)
Suppose we make independent trials of Binary variables with probability $p$ then if we hold $n=$ number trials fixed and got $r$ successes then
P(R=r \mid n)=\left(\begin{array}{l}
n \
\end{array}\right) p^{r}(1-p)^{n-r}

For $n=5 H_{0}: p=\frac{1}{2} H_{1}: p=p_{1}<\frac{1}{2}$ and $\alpha=\frac{1}{16}$ a UMP N-P test is
\text { so } \alpha=\left(\frac{5}{0}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+\frac{1}{5}\left(\frac{5}{1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{16} \text {. }
Now suppose the trial was conducted until we got $r$ heads which took $n$ trials (random). Then
P(n \mid r)=\left(\begin{array}{c}
n-1 \
\end{array}\right) p^{r}(1-p)^{n-r} \quad n=r, r+1, \ldots
Note $L_{B}(p \mid r)=L_{N B}(p \mid n)=p^{r}(1-p)^{n-r}$, that is, the binomial and negative binomial likelihoods are the same.
Now suppose for $\alpha=1 / 16$ and $r=1$, so
P\left(N=n \mid r=1, p=\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \
such that
P(N \leq 4)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{15}{16}
or $P(N \geq 5)=1 / 16$, hence
1 & \text { if } & n \geq 5 \
0 & \text { if } \quad n \leq 4
Now if the data in both experiments were $r=1, n=5$ then for the Binomial trials we would reject with probability $\frac{1}{5}$ and with the negative binomial trials we would reject with probability 1 . So as previously noted the likelihood principle and likelihood tests are contradicted although in both cases

统计代写|统计推断作业代写statistical inference代考|LAW OF THE ITERATED LOGARITHM

Let $X_{1}, X_{2}, \ldots$ be i.i.d. random variables with $E\left(X_{i}\right)=\mu \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\sigma^{2}$ and $E|X|^{2+\delta}<\infty$ for some $\delta>0$. Then with probability 1 the inequality
\sum_{i=1}^{n} X_{i}2$. Similarly
\Sigma X_{i}>n \mu+\left(n \sigma^{2} \lambda \log \log n\right)^{\frac{1}{2}} \text { or } \frac{\Sigma X_{i}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}}>(\lambda \log \log n)^{\frac{1}{2}}
is satisfied for infinitely many $n$ if $\lambda<2$, but only for finitely many $n$ if $\lambda>2$. Further (almost surely)
\limsup {n \rightarrow \infty} \frac{\left(\Sigma X{i}-n \mu\right) / \sigma \sqrt{n}}{(2 \log \log n)^{\leftarrow}}=1
We apply the LIL to $n$ i.i.d. binary variables where $P\left(X_{i}=0\right)=P\left(X_{i}=1\right)=\frac{1}{2}$ where $E\left(X_{i}\right)=\frac{1}{2}, \operatorname{var}\left(X_{i}\right)=\frac{1}{4}$. Then for $\lambda=1$, consider the event
r<\frac{n}{2}-\left(\frac{n}{4} \log \log n\right)^{\frac{1}{2}} . $$ Sooner or later if we continue sampling then for sufficiently large $n$ $$ (\log \log n)^{\frac{1}{2}}>z_{\alpha}
since $z_{\alpha}$ is a constant. Then
-\left(\frac{n}{4} \log \log n\right)^{\frac{1}{2}}<-\frac{\sqrt{n}}{2} z_{\alpha}
\frac{n}{2}-\left(\frac{n}{4} \log \log n\right)^{\frac{1}{2}}<\frac{n}{2}-\frac{\sqrt{n}}{2} z_{\alpha}
Therefore, with probability 1 the inequality
r<\frac{n}{2}-\frac{\sqrt{n}}{2} z_{\alpha}

Large-Scale Simulation and Proof for Khinchin's Law of the Iterated  Logarithm
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Hacking (1965) 对 NP 理论的批评概要如下。NP假设检验理论是固定小尺寸并寻找大功率的理论之一。其背后的基本原理是寻找规则来管理我们关于假设的行为(不希望知道其中任何一个是真还是假),这将确保从长远来看我们不会经常犯错。断言是否H被拒绝与否,计算D(可观察的)如果D∈s拒绝H, 如果D∉s接受H. 这样的规则并没有告诉我们在特定情况下是否H是真的D∉s或 false 时D∉s. 如果我们以这样的方式行事,我们将在其为真时拒绝不超过100一种%的时间,此外,我们可能有证据表明我们将拒绝H当它是错误的时,足够频繁。


现在可能是在审判之前必须做出决定(因为准确性是困难或乏味的,或者这样做可能是经济的)只是要注意所进行的审判是否在s或不。这可能是完全合理的,在这种情况下,NP 理论是一种经济的试验后评估。当然在某些情况下,比如说,一个简单的H0与简单的H1,在存在 MP 测试的情况下,额外的知识不会改变我们对H0. 在这些合理决定丢弃或忽略数据的情况下,NP 理论是可能性的一个特例。
无论如何,可以从可能性的角度来看待 NP 理论:
磷(D∈s∣H)=大号(H∣D∈s)≤一种(H) 说相对于小  磷(D∈s∣ķ)=大号(ķ∣D∈s)=1−b(ķ) 所以  问=大号(H∣D∈s)大号(ķ∣D∈s)≤一种(H)1−b(ķ) 小的。 

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磷(R=r∣n)=(n r)pr(1−p)n−r

为了n=5H0:p=12H1:p=p1<12和一种=116UMP NP 测试是
 所以 一种=(50)(12)5+15(51)(12)5=116. 
磷(n∣r)=(n−1 r−1)pr(1−p)n−rn=r,r+1,…
现在假设一种=1/16和r=1, 所以
磷(ñ=n∣r=1,p=12)=(1 2)n
T(n)=\left{1 如果 n≥5 0 如果 n≤4\对。

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让X1,X2,…是独立同分布的随机变量和(X一世)=μ曾是⁡(X一世)=σ2和和|X|2+d<∞对于一些d>0. 然后以概率 1 不等式
\Sigma X_{i}>n \mu+\left(n \sigma^{2} \lambda \log \log n\right)^{\frac{1}{2}} \text { 或 } \frac{\西格玛 X_{i}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}}>(\lambda \log \log n)^{\frac{1}{2}}
\limsup {n \rightarrow \infty} \frac{\left(\Sigma X{i}-n \mu\right) / \sigma \sqrt{n}}{(2 \log \log n)^{\leftarrow }}=1
r<\frac{n}{2}-\left(\frac{n}{4} \log \log n\right)^{\frac{1}{2}} 。小号这这n和r这rl一种吨和r一世F在和C这n吨一世n在和s一种米pl一世nG吨H和nF这rs在FF一世C一世和n吨l是l一种rG和$n$(\log \log n)^{\frac{1}{2}}>z_{\alpha}
-\left(\frac{n}{4} \log \log n\right)^{\frac{1}{2}}<-\frac{\sqrt{n}}{2} z_{\alpha}
\frac{n}{2}-\left(\frac{n}{4} \log \log n\right)^{\frac{1}{2}}<\frac{n}{2}-\ frac{\sqrt{n}}{2} z_{\alpha}
r<\frac{n}{2}-\frac{\sqrt{n}}{2} z_{\alpha}

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在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。


贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。





随着AI的大潮到来,Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比,Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用,因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”,也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多,跨学科范围广,所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题,StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量


随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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