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蒙特卡洛方法，或称蒙特卡洛实验，是一类广泛的计算算法，依靠重复随机抽样来获得数值结果。其基本概念是利用随机性来解决原则上可能是确定性的问题。
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统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Classification of States
Let $X$ be a Markov chain with discrete state space $E$ and transition matrix $P$. We can characterize the relations between states in the following way: If states $i$ and $j$ are such that $P^{t}(i, j)>0$ for some $t \geqslant 0$, we say that $i$ leads to $j$ and write $i \rightarrow j$. We say that $i$ and $j$ communicate if $i \rightarrow j$ and $j \rightarrow i$, and write $i \leftrightarrow j$. Using the relation ” $\leftrightarrow “$ “, we can divide $\mathscr{E}$ into equivalence classes such that all the states in an equivalence class communicate with each other but not with any state outside that class. If there is only one equivalent class $(=\mathscr{E})$, the Markov chain is said to be irreducible. If a set of states $\mathscr{A}$ is such that $\sum_{j \in \mathscr{A}} P(i, j)=1$ for all $i \in \mathscr{A}$, then $\mathscr{A}$ is called a closed set. A state $i$ is called an absorbing state if ${i}$ is closed. For example, in the transition graph depicted in Figure 1.5, the equivalence classes are ${1,2},{3}$, and ${4,5}$. Class ${1,2}$ is the only closed set: the Markov chain cannot escape from it. If state 1 were missing, state 2 would be absorbing. In Example $1.10$ the Markov chain is irreducible since all states communicate.
Another classification of states is obtained by observing the system from a local point of view. In particular, let $T$ denote the time the chain first visits state $j$, or first returns to $j$ if it started there, and let $N_{j}$ denote the total number of visits to $j$ from time 0 on. We write $\mathbb{P}{j}(A)$ for $\mathbb{P}\left(A \mid X{0}=j\right)$ for any event $A$. We denote the corresponding expectation operator by $\mathbb{E}{j}$. State $j$ is called a recurrent state if $\mathbb{P}{j}(T<\infty)=1$; otherwise, $j$ is called transient. A recurrent state is called positive recurrent if $\mathbb{E}{j}[T]<\infty$; otherwise, it is called null recurrent. Finally, a state is said to be periodic, with period $\delta$, if $\delta \geqslant 2$ is the largest integer for which $\mathbb{P}{j}(T=n \delta$ for some $n \geqslant 1)=1$; otherwise, it is called aperiodic. For example, in Figure $1.5$ states 1 and 2 are recurrent, and the other states are transient. All these states are aperiodic. The states of the random walk of Example $1.10$ are periodic with period 2 .
It can be shown that recurrence and transience are class properties. In particular, if $i \leftrightarrow j$, then $i$ recurrent (transient) $\Leftrightarrow j$ recurrent (transient). Thus, in an irreducible Markov chain, one state being recurrent implies that all other states are also recurrent. And if one state is transient, then so are all the others.
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Limiting Behavior
The limiting or “steady-state” behavior of Markov chains as $t \rightarrow \infty$ is of considerable interest and importance, and this type of behavior is often simpler to describe and analyze than the “transient” behavior of the chain for fixed $t$. It can be shown (see, for example, [3]) that in an irreducible, aperiodic Markov chain with transition matrix $P$ the $t$-step probabilities converge to a constant that does not depend on the initial state. More specifically,
$$
\lim {t \rightarrow \infty} P^{t}(i, j)=\pi{j}
$$
for some number $0 \leqslant \pi_{j} \leqslant 1$. Moreover, $\pi_{j}>0$ if $j$ is positive recurrent and $\pi_{j}=0$ otherwise. The intuitive reason behind this result is that the process “forgets” where it was initially if it goes on long enough. This is true for both finite and countably infinite Markov chains. The numbers $\left{\pi_{j}, j \in \mathscr{E}\right}$ form the limiting distribution of the Markov chain, provided that $\pi_{j} \geqslant 0$ and $\sum_{j} \pi_{j}=1$. Note that these conditions are not always satisfied: they are clearly not satisfied if the Markov chain is transient, and they may not be satisfied if the Markov chain is recurrent (i.e., when the states are null-recurrent). The following theorem gives a method for obtaining limiting distributions. Here we assume for simplicity that $\mathscr{E}={0,1,2, \ldots}$. The limiting distribution is identified with the row vector $\pi=$ $\left(\pi_{0}, \pi_{1}, \ldots\right)$
Theorem 1.13.2 For an irreducible, aperiodic Markov chain with transition matrix $P$, if the limiting distribution $\pi$ exists, then it is uniquely determined by the solution of
$$
\pi=\pi P
$$
with $\pi_{j} \geqslant 0$ and $\sum_{j} \pi_{j}=1$. Conversely, if there exists a positive row vector $\pi$ satisfying (1.35) and summing up to 1 , then $\pi$ is the limiting distribution of the Markov chain. Moreover, in that case, $\pi_{j}>0$ for all $j$ and all states are positive recurrent.
Proof: (Sketch) For the case where $\mathscr{E}$ is finite, the result is simply a consequence of (1.33). Namely, with $\pi^{(0)}$ being the $i$-th unit vector, we have
$$
P^{t+1}(i, j)=\left(\pi^{(0)} P^{t} P\right)(j)=\sum_{k \in \mathcal{E}} P^{t}(i, k) P(k, j)
$$
Letting $t \rightarrow \infty$, we obtain (1.35) from (1.34), provided that we can change the order of the limit and the summation. To show uniqueness, suppose that another vector $\mathbf{y}$, with $y_{j} \geqslant 0$ and $\sum_{j} y_{j}=1$, satisfies $\mathbf{y}=\mathbf{y} P$. Then it is easy to show by induction that $\mathbf{y}=\mathbf{y} P^{t}$, for every $t$. Hence, letting $t \rightarrow \infty$, we obtain for every $j$
$$
y_{j}=\sum_{i} y_{i} \pi_{j}=\pi_{j},
$$
since the $\left{y_{j}\right}$ sum up to unity. We omit the proof of the converse statement.
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Random Walk on the Positive Integers
This is a slightly different random walk than the one in Example 1.10. Let $X$ be a random walk on $\mathscr{E}={0,1,2, \ldots}$ with transition matrix
$$
P=\left(\begin{array}{cccccc}
q & p & 0 & \ldots & & \
q & 0 & p & 0 & \ldots & \
0 & q & 0 & p & 0 & \cdots \
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots
\end{array}\right)
$$
where $0<p<1$ and $q=1-p . X_{l}$ could represent, for example, the number of customers who are waiting in a queue at time $t$.
All states can be reached from each other, so the chain is irreducible and every state is either recurrent or transient. The equation $\pi=\pi P$ becomes
$$
\begin{aligned}
&\pi_{0}=q \pi_{0}+q \pi_{1} \
&\pi_{1}=p \pi_{0}+q \pi_{2} \
&\pi_{2}=p \pi_{1}+q \pi_{3} \
&\pi_{3}=p \pi_{2}+q \pi_{4}
\end{aligned}
$$
and so on. We can solve this set of equation sequentially. If we let $r=p / q$, then we can express the $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots$ in terms of $\pi_{0}$ and $r$ as
$$
\pi_{j}=r^{j} \pi_{0}, j=0,1,2, \ldots
$$
monte carlo method代写
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Classification of States
让X是具有离散状态空间的马尔可夫链和和转移矩阵磷. 我们可以用以下方式描述状态之间的关系：如果状态一世和j是这样的磷吨(一世,j)>0对于一些吨⩾0, 我们说一世导致j和写一世→j. 我们说一世和j沟通如果一世→j和j→一世， 和写一世↔j. 使用关系”↔““，我们可以分和等价类，使得等价类中的所有状态都相互通信，但不与该类之外的任何状态通信。如果只有一个等效类(=和)，马尔可夫链是不可约的。如果一组状态一种是这样的∑j∈一种磷(一世,j)=1对全部一世∈一种， 然后一种称为闭集。一个状态一世被称为吸收状态，如果一世已经关闭。例如，在图 1.5 中描述的转移图中，等价类是1,2,3， 和4,5. 班级1,2是唯一的闭集：马尔可夫链无法从中逃脱。如果状态 1 缺失，则状态 2 将被吸收。在示例中1.10马尔可夫链是不可约的，因为所有状态都可以通信。
另一种状态分类是通过从局部角度观察系统获得的。特别是，让吨表示链首次访问状态的时间j, 或首先返回j如果它从那里开始，让ñj表示访问的总次数j从时间 0 开始。我们写磷j(一种)为了磷(一种∣X0=j)对于任何事件一种. 我们将相应的期望算子表示为和j. 状态j称为循环状态，如果磷j(吨<∞)=1; 除此以外，j称为瞬态。一个循环状态称为正循环，如果和j[吨]<∞; 否则，称为空循环。最后，一个状态被称为是周期性的，其中周期d， 如果d⩾2是最大的整数磷j(吨=nd对于一些n⩾1)=1; 否则，它被称为非周期性的。例如，在图1.5状态 1 和 2 是循环的，其他状态是瞬态的。所有这些状态都是非周期性的。Example 的随机游走的状态1.10周期为 2 。
可以证明，递归和瞬态是类属性。特别是，如果一世↔j， 然后一世经常性（瞬态）⇔j经常性（瞬态）。因此，在不可约马尔可夫链中，一个状态是循环的意味着所有其他状态也是循环的。如果一种状态是短暂的，那么其他所有状态也是如此。
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Limiting Behavior
马尔可夫链的限制或“稳态”行为吨→∞具有相当大的兴趣和重要性，并且这种类型的行为通常比固定链的“瞬态”行为更易于描述和分析吨. 可以证明（例如，参见 [3]）在具有转移矩阵的不可约非周期马尔可夫链中磷这吨步概率收敛到一个不依赖于初始状态的常数。进一步来说，
林吨→∞磷吨(一世,j)=圆周率j
对于一些数字0⩽圆周率j⩽1. 而且，圆周率j>0如果j是阳性复发和圆周率j=0除此以外。这个结果背后的直观原因是，如果持续足够长的时间，该过程会“忘记”最初的位置。这对于有限和可数无限的马尔可夫链都是正确的。号码\left{\pi_{j}, j \in \mathscr{E}\right}\left{\pi_{j}, j \in \mathscr{E}\right}形成马尔可夫链的极限分布，前提是圆周率j⩾0和∑j圆周率j=1. 请注意，这些条件并不总是满足：如果马尔可夫链是瞬态的，它们显然不满足，如果马尔可夫链是循环的（即，当状态为空循环时），它们可能不满足。下面的定理给出了一种获得极限分布的方法。在这里，为了简单起见，我们假设和=0,1,2,…. 极限分布用行向量标识圆周率= (圆周率0,圆周率1,…)
定理 1.13.2 对于具有转移矩阵的不可约非周期马尔可夫链磷, 如果极限分布圆周率存在，那么它是由解唯一确定的
圆周率=圆周率磷
和圆周率j⩾0和∑j圆周率j=1. 反之，如果存在正的行向量圆周率满足 (1.35) 并求和为 1 ，则圆周率是马尔可夫链的极限分布。此外，在那种情况下，圆周率j>0对全部j并且所有状态都是正循环的。
证明：（草图）和是有限的，结果只是（1.33）的结果。即，与圆周率(0)作为一世-th 单位向量，我们有
磷吨+1(一世,j)=(圆周率(0)磷吨磷)(j)=∑ķ∈和磷吨(一世,ķ)磷(ķ,j)
让吨→∞，我们从 (1.34) 得到 (1.35)，前提是我们可以改变极限和求和的顺序。为了显示唯一性，假设另一个向量是， 和是j⩾0和∑j是j=1, 满足是=是磷. 那么很容易通过归纳证明是=是磷吨, 对于每个吨. 因此，让吨→∞, 我们得到每个j
是j=∑一世是一世圆周率j=圆周率j,
自从\left{y_{j}\right}\left{y_{j}\right}总结为统一。我们省略了相反陈述的证明。
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Random Walk on the Positive Integers
这与示例 1.10 中的随机游走略有不同。让X随意走和=0,1,2,…有转移矩阵
磷=(qp0… q0p0… 0q0p0⋯ ⋮⋱⋱⋱⋱⋱)
在哪里0<p<1和q=1−p.Xl例如，可以表示在某个时间排队等候的客户数量吨.
所有状态都可以相互到达，因此链是不可约的，每个状态要么是循环的，要么是短暂的。方程圆周率=圆周率磷变成
圆周率0=q圆周率0+q圆周率1 圆周率1=p圆周率0+q圆周率2 圆周率2=p圆周率1+q圆周率3 圆周率3=p圆周率2+q圆周率4
等等。我们可以依次求解这组方程。如果我们让r=p/q，那么我们可以表达圆周率1,圆周率2,…按照圆周率0和r作为
圆周率j=rj圆周率0,j=0,1,2,…
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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