统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|DATA5711

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贝叶斯分析,一种统计推断方法(以英国数学家托马斯-贝叶斯命名),允许人们将关于人口参数的先验信息与样本所含信息的证据相结合,以指导统计推断过程。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|DATA5711

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Dealing with a priori ignorance

The Bayesian approach requires a prior distribution to be specified even when there is complete (or total) a priori ignorance (meaning no prior information at all). This feature presents a general and philosophical problem with the Bayesian paradigm, one for which several theoretical solutions have been advanced but which does not yet have a universally accepted solution. We have already discussed finding an uninformative prior in relation to particular Bayesian models, as follows.

For the normal-normal model defined by $\left(y_{1}, \ldots, y_{n} \mid \mu\right) \sim$ iid $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ and $\mu \sim N\left(\mu_{0}, \sigma_{0}^{2}\right)$, an uninformative prior is given by $\sigma_{0}=\infty$, that is, $f(\mu) \propto 1, \mu \in \Re$

For the normal-gamma model defined by $\left(y_{1}, \ldots, y_{n} \mid \mu\right) \sim$ iid $N(\mu, 1 / \lambda)$ and $\lambda \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \beta)$, an uninformative prior is given by $\alpha=\beta=0$, that is, $f(\lambda) \propto 1 / \lambda, \lambda>0$.

For the binomial-beta model defined by $(y \mid \theta) \sim \operatorname{Binomial}(n, \theta)$ and $\theta \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta)$ (having the posterior $(\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(\alpha+y, \beta+n-y)$ ), an uninformative prior is the Bayes prior given by $\alpha=\beta=1$, that is, $f(\theta)=1,0<\theta<1$. This is the prior that was originally advocated by Thomas Bayes.

Unlike for the normal-normal and normal-gamma models, more than one uninformative prior specification has been proposed as reasonable in the context of the binomial-beta model.
One of these is the improper Haldane prior, defined by $\alpha=\beta=0$, or
$$
f(\theta) \propto \frac{1}{\theta(1-\theta)}, \quad 0<\theta<1
$$
Under the prior $\theta \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta)$ generally, the posterior mean of $\theta$ is
$$
\hat{\theta}=E(\theta \mid y)=\frac{(\alpha+y)}{(\alpha+y)+(\beta+n-y)}=\frac{\alpha+y}{\alpha+\beta+n}
$$
This reduces to the MLE $y / n$ under the Haldane prior but not under the Bayes prior. In contrast, the Bayes prior leads to a posterior mode which is equal to the MLE.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The Jeffreys prior

The statistician Harold Jeffreys devised a rule for finding a suitable uninformative prior in a wide variety of situations. His idea was to construct a prior which is invariant under reparameterisation. For the case of a univariate model parameter $\theta$, the Jeffreys prior is given by the following equation (also known as Jeffreys’ rule):
$$
f(\theta) \propto \sqrt{I(\theta)},
$$
where $I(\theta)$ is the Fisher information defined by
$$
I(\theta)=E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta)\right)^{2} \mid \theta\right} .
$$
Note 1: If $\log f(y \mid \theta)$ is twice differentiable with respect to $\theta$, and certain regularity conditions hold, then
$$
I(\theta)=-E\left{\frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} \log f(y \mid \theta) \mid \theta\right} .
$$
Note 2: Jeffreys’ rule also extends to the multi-parameter case (not considered here).

The significance of Jeffreys’ rule may be described as follows. Consider a prior given by $f(\theta) \propto \sqrt{I(\theta)}$ and the transformed parameter $\phi=g(\theta)$,where $g$ is a strictly increasing or decreasing function. (For simplicity, we only consider this case.) Then the prior density for $\phi$ is
$$
\begin{aligned}
f(\phi) & \propto f(\theta)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right| \text { by the transformation rule } \
& \propto \sqrt{I(\theta)\left(\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2}}=\sqrt{E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta)\right)^{2} \mid \theta\right}\left(\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2}} \
&=\sqrt{E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta) \frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2} \mid \theta\right}} \
&=\sqrt{E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \phi} \log f(y \mid \phi)\right)^{2} \mid \phi\right}} \
&=\sqrt{I(\phi)} .
\end{aligned}
$$
Thus, Jeffreys’ rule is ‘invariant under reparameterisation’, in the sense that if a prior is constructed according to
$$
f(\theta) \propto \sqrt{I(\theta)},
$$
then, for another parameter $\phi=g(\theta)$, it is also true that
$$
f(\phi) \propto \sqrt{I(\phi)} .
$$

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Bayesian decision theory

The posterior mean, mode and median, as well as other Bayesian point estimates, can all be derived and interpreted using the principles and theory of decision theory. Suppose we wish to choose an estimate of $\theta$ which minimises costs in some sense. To this end, let $L(\hat{\theta}, \theta)$ denote generally a loss function (LF) associated with an estimate $\hat{\theta}$.

Note: The estimator $\hat{\theta}$ is a function of the data $y$ and so could also be written $\hat{\theta}(y)$. For example, in the context where $(y \mid \theta) \sim \operatorname{Bin}(n, \theta)$, the sample proportion or MLE is the function given by $\hat{\theta}=\hat{\theta}(y)=y / n$.
The loss function $L$ represents the cost incurred when the true value $\theta$ is estimated by $\hat{\theta}$ and usually satisfies the property $L(\theta, \theta)=0$.
The three most commonly used loss functions are defined as follows: $L(\hat{\theta}, \theta)=|\hat{\theta}-\theta| \quad$ the absolute error loss function (AELF) $L(\hat{\theta}, \theta)=(\hat{\theta}-\theta)^{2} \quad \begin{aligned}&\text { the quadratic error loss function (QELF) }\end{aligned}$ $L(\hat{\theta}, \theta)=I(\hat{\theta} \neq \theta)=\left{\begin{array}{ll}0 & \text { if } \hat{\theta}=\theta \ 1 & \text { if } \hat{\theta} \neq \theta\end{array}\right} \quad$ the indicator error loss function (IELF), also known as the zero-one loss function (ZOLF) or the all-or-nothing error loss function (ANLF).
Figures $2.8$ and $2.9$ illustrate these three basic loss functions.

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贝叶斯分析代考

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Dealing with a priori ignorance

即使存在完全(或全部)先验无知(意味着根本没有先验信息),贝叶斯方法也需要指定先验分布。这一特征提出了贝叶斯范式的一个普遍的哲学问题,已经提出了几种理论解决方案,但还没有一个普遍接受的解决方案。我们已经讨论过寻找与特定贝叶斯模型相关的无信息先验,如下所示。

对于由下式定义的正态-正态模型(是1,…,是n∣μ)∼独立同居ñ(μ,σ2)和μ∼ñ(μ0,σ02),一个无信息的先验由下式给出σ0=∞, 那是,F(μ)∝1,μ∈ℜ

对于由以下定义的正常伽马模型(是1,…,是n∣μ)∼独立同居ñ(μ,1/λ)和λ∼伽玛⁡(一个,b),一个无信息的先验由下式给出一个=b=0, 那是,F(λ)∝1/λ,λ>0.

对于由下式定义的二项式 beta 模型(是∣θ)∼二项式⁡(n,θ)和θ∼贝塔⁡(一个,b)(有后(θ∣是)∼贝塔⁡(一个+是,b+n−是)),无信息先验是由下式给出的贝叶斯先验一个=b=1, 那是,F(θ)=1,0<θ<1. 这是托马斯·贝叶斯最初提倡的先验。

与正态正态和正态 gamma 模型不同,在二项式 beta 模型的背景下,已经提出了不止一个无信息的先验规范。
其中之一是不恰当的 Haldane 先验,定义为一个=b=0, 或者

F(θ)∝1θ(1−θ),0<θ<1
根据之前θ∼贝塔⁡(一个,b)一般情况下,后验均值θ是

θ^=和(θ∣是)=(一个+是)(一个+是)+(b+n−是)=一个+是一个+b+n
这减少到 MLE是/n在 Haldane 先验之下,但不在 Bayes 先验之下。相反,贝叶斯先验导致等于 MLE 的后验模式。

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The Jeffreys prior

统计学家 Harold Jeffreys 设计了一个规则,用于在各种情况下找到合适的非信息先验。他的想法是构建一个在重新参数化下不变的先验。对于单变量模型参数的情况θ,杰弗里斯先验由以下等式(也称为杰弗里斯规则)给出:

F(θ)∝我(θ),
在哪里我(θ)是由以下定义的 Fisher 信息

I(\theta)=E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta)\right)^{2} \mid \theta\right} 。I(\theta)=E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta)\right)^{2} \mid \theta\right} 。
注 1:如果日志⁡F(是∣θ)是关于θ,并且某些正则条件成立,则

I(\theta)=-E\left{\frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} \log f(y \mid \theta) \mid \theta\right} 。I(\theta)=-E\left{\frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} \log f(y \mid \theta) \mid \theta\right} 。
注 2:Jeffreys 的规则也扩展到多参数情况(此处不考虑)。

杰弗里斯规则的意义可以描述如下。考虑先验F(θ)∝我(θ)和转换后的参数φ=G(θ),在哪里G是严格递增或递减的函数。(为简单起见,我们只考虑这种情况。)那么先验密度φ是

\begin{对齐} f(\phi) & \propto f(\theta)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right| \text { 通过变换规则 } \ & \propto \sqrt{I(\theta)\left(\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2}}=\sqrt{E \left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta)\right)^{2} \mid \theta\right}\left(\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2}} \ &=\sqrt{E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \ theta) \frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2} \mid \theta\right}} \ &=\sqrt{E\left{\left(\frac{\partial} {\partial \phi} \log f(y \mid \phi)\right)^{2} \mid \phi\right}} \ &=\sqrt{I(\phi)} 。\end{对齐}\begin{对齐} f(\phi) & \propto f(\theta)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right| \text { 通过变换规则 } \ & \propto \sqrt{I(\theta)\left(\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2}}=\sqrt{E \left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta)\right)^{2} \mid \theta\right}\left(\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2}} \ &=\sqrt{E\left{\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \ theta) \frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right)^{2} \mid \theta\right}} \ &=\sqrt{E\left{\left(\frac{\partial} {\partial \phi} \log f(y \mid \phi)\right)^{2} \mid \phi\right}} \ &=\sqrt{I(\phi)} 。\end{对齐}
因此,Jeffreys 的规则是“在重新参数化下不变”,在某种意义上说,如果先验是根据

F(θ)∝我(θ),
然后,对于另一个参数φ=G(θ), 这也是真的

F(φ)∝我(φ).

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Bayesian decision theory

后验均值、众数和中位数,以及其他贝叶斯点估计,都可以使用决策理论的原理和理论来推导和解释。假设我们希望选择一个估计θ这在某种意义上可以最大限度地降低成本。为此,让大号(θ^,θ)通常表示与估计相关的损失函数(LF)θ^.

注:估计器θ^是数据的函数是所以也可以写成θ^(是). 例如,在上下文中(是∣θ)∼垃圾桶⁡(n,θ), 样本比例或 MLE 是由下式给出的函数θ^=θ^(是)=是/n.
损失函数大号表示当真实值发生时所发生的成本θ估计为θ^并且通常满足属性大号(θ,θ)=0.
三个最常用的损失函数定义如下:大号(θ^,θ)=|θ^−θ|绝对误差损失函数 (AELF)大号(θ^,θ)=(θ^−θ)2 二次误差损失函数 (QELF)  L(\hat{\theta}, \theta)=I(\hat{\theta} \ne \theta)=\left{\begin{array}{ll}0 & \text { if } \hat{\theta }=\theta\1 & \text { if }\that{\theta}\q\theta\end{array}\right}\quadL(\hat{\theta}, \theta)=I(\hat{\theta} \ne \theta)=\left{\begin{array}{ll}0 & \text { if } \hat{\theta }=\theta\1 & \text { if }\that{\theta}\q\theta\end{array}\right}\quad指标误差损失函数(IELF),也称为零一损失函数(ZOLF)或全有或全无误差损失函数(ANLF)。
数字2.8和2.9说明这三个基本损失函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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