统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|MAST90125

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贝叶斯分析,一种统计推断方法(以英国数学家托马斯-贝叶斯命名),允许人们将关于人口参数的先验信息与样本所含信息的证据相结合,以指导统计推断过程。

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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|MAST90125

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|INDEPENDENT AND CONDITIONALLY INDEPENDENT

A pair of random variables $(X, Y)$ is said to be independent if for any $A$ and $B$,
$$
p(X \in A \mid Y \in B)=p(X \in A),
$$
or alternatively $p(Y \in B \mid X \in A)=p(Y \in B)$ (these two definitions are correct and equivalent under very mild conditions that prevent ill-formed conditioning on an event that has zero probability).

Using the chain rule, it can also be shown that the above two definitions are equivalent to the requirement that $p(X \in A, Y \in B)=p(X \in A) p(Y \in B)$ for all $A$ and $B$.

Independence between random variables implies that the random variables do not provide information about each other. This means that knowing the value of $X$ does not help us infer anything about the value of $Y$-in other words, it does not change the probability of $Y$. (Or vice-versa $-Y$ does not tell us anything about $X$.) While independence is an important concept in probability and statistics, in this book we will more frequently make use of a more refined notion of independence, called “conditional independence”-which is a generalization of the notion of independence described in the beginning of this section. A pair of random variables $(X, Y)$ is conditionally independent given a third random variable $Z$, if for any $A, B$ and $z$, it holds that $p(X \in A \mid Y \in B, Z=z)=p(X \in A \mid Z=z)$.

Conditional independence between two random variables (given a third one) implies that the two variables are not informative about each other, if the value of the third one is known. 3
Conditional independence (and independence) can be generalized to multiple random variables as well. We say that a set of random variables $X_{1}, \ldots, X_{n}$, are mutually conditionally independent given another set of random variables $Z_{1}, \ldots, Z_{m}$ if the following applies for any $A_{1}, \ldots, A_{n}$ and $z_{1}, \ldots, z_{m}:$
$$
\begin{gathered}
p\left(X_{1} \in A_{1}, \ldots, X_{n} \in A_{n} \mid Z_{1}=z_{1}, \ldots, Z_{m}=z_{m}\right)= \
\prod_{i=1}^{n} p\left(X_{i} \in A_{i} \mid Z_{1}=z_{1}, \ldots, Z_{m}=z_{m}\right) .
\end{gathered}
$$
This type of independence is weaker than pairwise independence for a set of random variables, in which only pairs of random variables are required to be independent. (Also see exercises.)

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|EXCHANGEABLE RANDOM VARIABLES

Another type of relationship that can be present between random variables is that of exchangeability. A sequence of random variables $X_{1}, X_{2}, \ldots$ over $\Omega$ is said to be exchangeable, if for any finite subset, permuting the random variables in this finite subset, does not change their joint distribution. More formally, for any $S=\left{a_{1}, \ldots, a_{m}\right}$ where $a_{i} \geq 1$ is an integer, and for any permutation $\pi$ on ${1, \ldots, m}$, it holds that: ${ }^{4}$
$$
p\left(x_{a_{1}}, \ldots, x_{a_{m}}\right)=p\left(x_{a_{\pi(1)}}, \ldots, x_{\left.a_{\pi(m)}\right)}\right) .
$$
Due to a theorem by de Finetti (Finetti, 1980), exchangeability can be thought of as meaning “conditionally independent and identically distributed” in the following sense. De Finetti showed that if a sequence of random variables $X_{1}, X_{2}, \ldots$ is exchangeable, then under some regularity conditions, there exists a sample space $\Theta$ and a distribution over $\Theta, p(\theta)$, such that:
$$
p\left(X_{a_{1}}, \ldots, X_{a_{m}}\right)=\int_{\theta} \prod_{i=1}^{m} p\left(X_{a_{i}} \mid \theta\right) p(\theta) d \theta,
$$
for any set of $m$ integers, $\left{a_{1}, \ldots, a_{m}\right}$. The interpretation of this is that exchangeable random variables can be represented as a (potentially infinite) mixture distribution. This theorem is also called the “representation theorem.”

The frequentist approach assumes the existence of a fixed set of parameters from which the data were generated, while the Bayesian approach assumes that there is some prior distribution over the set of parameters that generated the data. (This will hecome clearer as the hook progresses.) De Finetti’s theorem provides another connection between the Bayesian approach and the frequentist one. The standard “independent and identically distributed” (i.i.d.) assumption in the frequentist setup can be asserted as a setup of exchangeability where $p(\theta)$ is a point-mass distribution over the unknown (but single) parameter from which the data are sampled. This leads to the observations being unconditionally independent and identically distributed. In the Bayesian setup, however, the observations are correlated, because $p(\theta)$ is not a point-mass distribution. The prior distribution plays the role of $p(\theta)$. For a detailed discussion of this similarity, see O’Neill (2009).

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|EXPECTATIONS OF RANDOM VARIABLES

If we consider again the naive definition of random variables, as functions that map the sample space to real values, then it is also useful to consider various ways in which we can summarize these random variables. One way to get a summary of a random variable is by computing its expectation, which is its weighted mean value according to the underlying probability model.
It is easiest to first consider the expectation of a continuous random variable with a density function. Say $p(\theta)$ defines a distribution over the random variable $\theta$, then the expectation of $\theta$, denoted $E[\theta]$ would be defined as:
$$
E[\theta]=\int_{\theta} p(\theta) \theta d \theta .
$$
For the discrete random variables that we consider in this book, we usually consider expectations of functions over these random variables. As mentioned in Section 1.2, discrete random variable values often range over a set which is not numeric. In these cases, there is no “mean value” for the values that these random variables accept. Instead, we will compute the mean value of a real-function of these random variables.
With $f$ being such a function, the expectation $E[f(X)]$ is defined as:
$$
E[f(X)]=\sum_{x} p(x) f(x)
$$ For the linguistic structures that are used in this book, we will often use a function $f$ that indicates whether a certain property holds for the structure. For example, if the sample space of $X$ is a set of sentences, $f(x)$ can be an indicator function that states whether the word “spring” appears in the sentence $x$ or not; $f(x)=1$ if the word “spring” appears in $x$ and 0 , otherwise. In that case, $f(X)$ itself can be thought of as a Bernoulli random variable, i.e., a binary random variable that has a certain probability $\theta$ to be 1 , and probability $1-\theta$ to be 0 . The expectation $E[f(X)]$ gives the probability that this random variable is 1 . Alternatively, $f(x)$ can count how many times the word “spring” appears in the sentence $x$. In that case, it can be viewed as a sum of Bernoulli variables, each indicating whether a certain word in the sentence $x$ is “spring” or not.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|MAST90125

贝叶斯分析代考

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|INDEPENDENT AND CONDITIONALLY INDEPENDENT

一对随机变量 $(X, Y)$ 据说是独立的,如果有的话 $A$ 和 $B$ ,
$$
p(X \in A \mid Y \in B)=p(X \in A),
$$
或者 $p(Y \in B \mid X \in A)=p(Y \in B)$ (这两个定义在非常温和的条件下是正确且等效的,可以防止对概率为零 的事件进行不良条件反射) 。
使用链式法则,也可以证明上述两个定义等价于: $p(X \in A, Y \in B)=p(X \in A) p(Y \in B)$ 对所有人 $A$ 和 $B$.
随机变量之间的独立性意味着随机变量不提供关于彼此的信息。这意味着知道 $X$ 并不能帮助我们推断出任何关于 $Y$ – 换句话说,它不会改变 $Y$. (或相反亦然 $-Y$ 没有告诉我们任何关于 $X$.) 虽然独立性是概率和统计学中的一个重要 概念,但在本书中,我们将更频做地使用一个更精炼的独立性概念,称为”条件独立性”一一它是对本书开头描述的 独立性概念的概括。本节。一对随机变量 $(X, Y)$ 给定第三个随机变量条件独立 $Z$, 如果有的话 $A, B$ 和 $z$, 它认为 $p(X \in A \mid Y \in B, Z=z)=p(X \in A \mid Z=z)$.
两个随机变量之间的条件独立性(给定第三个)意味着如果第三个变量的值已知,则这两个变量不会相互提供信 息。 3
条件独立性(和独立性)也可以推广到多个随机变量。我们说一组随机变量 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ ,在给定另一组随机变量 的情况下相互条件独立 $Z_{1}, \ldots, Z_{m}$ 如果以下适用于任何 $A_{1}, \ldots, A_{n}$ 和 $z_{1}, \ldots, z_{m}$ :
$$
p\left(X_{1} \in A_{1}, \ldots, X_{n} \in A_{n} \mid Z_{1}=z_{1}, \ldots, Z_{m}=z_{m}\right)=\prod_{i=1}^{n} p\left(X_{i} \in A_{i} \mid Z_{1}=z_{1}, \ldots, Z_{m}=z_{m}\right) \text {. }
$$
这种类型的独立性弱于一组随机变量的成对独立性,其中只要求成对的随机变量是独立的。(另见练习。)

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|EXCHANGEABLE RANDOM VARIABLES

随机变量之间可能存在的另一种关系是可交换性。一系列随机变量 $X_{1}, X_{2}, \ldots$ 超过 $\Omega$ 据说是可交换的,如果对于 任何有限子集,置换该有限子集中的随机变量,不会改变它们的联合分布。更正式地说,对于任何
$\mathrm{S}=|$ left{a_{1},Vdots, a_{m}|right} 在哪里 $a_{i} \geq 1$ 是一个整数,并且对于任何排列 $\pi$ 上 $1, \ldots, m$ ,它认为: ${ }^{4}$
$$
p\left(x_{a_{1}}, \ldots, x_{a_{m}}\right)=p\left(x_{a_{\pi(1)}}, \ldots, x_{\left.a_{\pi(m)}\right)}\right) .
$$
由于 de Finetti (Finetti, 1980) 的一个定理,可交换性可以被认为是以下意义上的“条件独立且同分布”。De Finetti 证明,如果一系列随机变量 $X_{1}, X_{2}, \ldots$ 是可交换的,那么在一定的规律性条件下,存在一个样本空间 $\Theta$ 和分布 $\Theta, p(\theta)$, 这样:
$$
p\left(X_{a_{1}}, \ldots, X_{a_{m i}}\right)=\int_{\theta} \prod_{i=1}^{m} p\left(X_{a_{i}} \mid \theta\right) p(\theta) d \theta
$$
对于任何一组 $m$ 整数, Ileft{a_{1}, Idots, a_{m}\right}. 对此的解释是可交换随机变量可以表示为(可能是无限的) 混合分布。该定理也称为“表示定理”。
常客方法假设存在一组固定的参数,从这些参数中生成数据,而贝叶斯方法假设在生成数据的参数集上存在一些先 验分布。(随着钩子的进行,这将变得更加清晰。) 德菲内蒂定理提供了贝叶斯方法和常客方法之间的另一种联 系。常客设置中的标准”独立同分布” (iid) 假设可以断言为可交换性设置,其中 $p(\theta)$ 是从其中采样数据的末知 (但 单一) 参数上的点质量分布。这导致观察结果是无条件独立且同分布的。然而,在贝叶斯设置中,观察结果是相关 的,因为 $p(\theta)$ 不是点质量分布。先验分布的作用是 $p(\theta)$. 有关这种相似性的详细讨论,请参见 O’Neill (2009)。

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|EXPECTATIONS OF RANDOM VARIABLES

如果我们再次考虑随机变量的朴素定义,作为将样本空间映射到真实值的函数,那么考虑总结这些随机变量的各种 方式也是有用的。获得随机变量摘要的一种方法是计算其期望值,即根据潜在概率模型的加权平均值。
首先考虑具有密度函数的连续随机变量的期望是最容易的。说 $p(\theta)$ 定义随机变量的分布 $\theta$ ,那么期望 $\theta$ ,表示 $E[\theta]$ 将 被定义为:
$$
E[\theta]=\int_{\theta} p(\theta) \theta d \theta
$$
对于我们在本书中考虑的离散随机变量,我们通常会考虑函数对这些随机变量的期望。如 $1.2$ 节所述,离散随机变 量值通常在一个非数字的集合上。在这些情况下,这些随机变量接受的值没有“平均值”。相反,我们将计算这些随 机变量的实函数的平均值。
和 $f$ 作为这样的功能,期望 $E[f(X)]$ 定义为:
$$
E[f(X)]=\sum_{x} p(x) f(x)
$$
对于本书中使用的语言结构,我们通常会使用一个函数 $f$ 这表明某个属性是否适用于该结构。例如,如果样本空间 $X$ 是一组句子, $f(x)$ 可以是一个指示函数,表明句子中是否出现了”spring”这个词 $x$ 或不: $f(x)=1$ 如果“春天”这 个词出现在 $x$ 和 0 ,否则。在这种情况下, $f(X)$ 本身可以认为是伯努利随机变量,即具有一定概率的二元随机变 量 $\theta$ 为 1 和概率 $1-\theta$ 为 0 。期望 $E[f(X)]$ 给出此随机变量为 1 的概率. 或者, $f(x)$ 可以数出“spring”这个词在句 子中出现了多少次 $x$. 在那种情况下,它可以看作是伯努利变量的总和,每个变量表示句子中的某个词是否 $x$ 是不是 “春天”。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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