统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The posterior distribution

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贝叶斯分析,一种统计推断方法(以英国数学家托马斯-贝叶斯命名),允许人们将关于人口参数的先验信息与样本所含信息的证据相结合,以指导统计推断过程。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The posterior distribution

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The posterior distribution

Bayesian inference requires determination of the posterior probability distribution of $\theta$. This task is equivalent to finding the posterior pdf of $\theta$, which may be done using the equation
$$
f(\theta \mid y)=\frac{f(\theta) f(y \mid \theta)}{f(y)} .
$$
Here, $f(y)$ is the unconditional (or prior) pdf of $y$, as given by $f(y)=\int f(y \mid \theta) d F(\theta)= \begin{cases}\int_{\theta} f(\theta) f(y \mid \theta) d \theta & \text { if } \theta \text { is continuous } \ \sum_{\theta} f(\theta) f(y \mid \theta) & \text { if } \theta \text { is discrete. }\end{cases}$
Note: Here, $\int f(y \mid \theta) d F(\theta)$ is a Lebesgue-Stieltjes integral, which may need evaluating by breaking the integral into two parts in the case where $\theta$ has a mixed distribution. In the continuous case, think of $d F(\theta)$ as $\frac{d F(\theta)}{d \theta} d \theta=f(\theta) d \theta$

Consider six loaded dice with the following properties. Die A has probability $0.1$ of coming up 6, each of Dice B and C has probability $0.2$ of coming up 6, and each of Dice D, E and F has probability $0.3$ of coming up $6 .$
A die is chosen randomly from the six dice and rolled twice. On both occasions, 6 comes up.

What is the posterior probability distribution of $\theta$, the probability of 6 coming up on the chosen die.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The proportionality formula

Observe that $f(y)$ is a constant with respect to $\theta$ in the Bayesian equation
$$
f(\theta \mid y)=f(\theta) f(y \mid \theta) / f(y),
$$
which means that we may also write the equation as
$$
f(\theta \mid y)=\frac{f(\theta) f(y \mid \theta)}{k}
$$
or as
$$
f(\theta \mid y)=c f(\theta) f(y \mid \theta),
$$
where $k=f(y)$ and $c=1 / k$.
We may also write
$$
f(\theta \mid y) \propto f(\theta) f(y \mid \theta),
$$
where $\propto$ is the proportionality sign.

Equivalently, we may write
$$
f(\theta \mid y)^{\theta} \propto f(\theta) f(y \mid \theta)
$$
to emphasise that the proportionality is specifically with respect to $\theta$.
Another way to express the last equation is
$$
f(\theta \mid y) \propto f(\theta) \times L(\theta \mid y),
$$
where $L(\theta \mid y)$ is the likelihood function (defined as the model density $f(y \mid \theta)$ multiplied by any constant with respect to $\theta$, and viewed as a function of $\theta$ rather than of $y$ ).
The last equation may also be stated in words as:
The posterior is proportional to the prior times the likelihood.
These observations indicate a shortcut method for determining the required posterior distribution which obviates the need for calculating $f(y)$ (which may be difficult).

This method is to multiply the prior density (or the kernel of that density) by the likelihood function and try to identify the resulting function of $\theta$ as the density of a well-known or common distribution.
Once the posterior distribution has been identified, $f(y)$ may then be obtained easily as the associated normalising constant.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Continuous parameters

The examples above have all featured a target parameter which is discrete. The following example illustrates Bayesian inference involving a continuous parameter. This case presents no new problems, except that the prior and posterior densities of the parameter may no longer be interpreted directly as probabilities.

Consider the following Bayesian model:
$$
\begin{aligned}
&(y \mid \theta) \sim \operatorname{Binomial}(n, \theta) \
&\theta \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) \quad \text { (prior). }
\end{aligned}
$$
Find the posterior distribution of $\theta$.
Solution to Exercise $1.8$
The posterior density is
$$
\begin{aligned}
f(\theta \mid y) & \propto f(\theta) f(y \mid \theta) \
&=\frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)} \times\left(\begin{array}{l}
n \
y
\end{array}\right) \theta^{y}(1-\theta)^{n-y} \
& \propto \theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1} \times \theta^{y}(1-\theta)^{n-y} \quad \text { (ignoring constants which } \
&=\theta^{(\alpha+y)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-y)-1}, 0<\theta<1
\end{aligned}
$$
This is the kernel of the beta density with parameters $\alpha+y$ and $\beta+n-y$. It follows that the posterior distribution of $\theta$ is given by
$$
(\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(\alpha+y, \beta+n-y) \text {, }
$$
and the posterior density of $\theta$ is (exactly)
$$
f(\theta \mid y)=\frac{\theta^{(\alpha+y)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-y)-1}}{B(\alpha+y, \beta+n-y)}, 0<\theta<1 .
$$
For example, suppose that $\alpha=\beta=1$, that is, $\theta \sim B e t a(1,1)$.
Then the prior density is $f(\theta)=\frac{\theta^{1-1}(1-\theta)^{1-1}}{B(1,1)}=1,0<\theta<1$.
Thus the prior may also be expressed by writing $\theta \sim U(0,1)$.
Also, suppose that $n=2$. Then there are three possible values of $y$, namely 0,1 and 2 , and these lead to the following three posteriors, respectively:
$$
\begin{aligned}
&(\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(1+0,1+2-0)=\operatorname{Beta}(1,3) \
&(\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(1+1,1+2-1)=\operatorname{Beta}(2,2) \
&(\theta \mid y) \sim \operatorname{Beta}(1+2,1+2-2)=\operatorname{Beta}(3,1)
\end{aligned}
$$
These three posteriors and the prior are illustrated in Figure 1.5.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The posterior distribution

贝叶斯分析代考

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The posterior distribution

贝叶斯推理需要确定后验概率分布θ. 这个任务相当于找到后验pdfθ,这可以使用等式完成

F(θ∣是)=F(θ)F(是∣θ)F(是).
这里,F(是)是的无条件(或先验)pdf是,如给出F(是)=∫F(是∣θ)dF(θ)={∫θF(θ)F(是∣θ)dθ 如果 θ 是连续的  ∑θF(θ)F(是∣θ) 如果 θ 是离散的。 
注意:这里,∫F(是∣θ)dF(θ)是 Lebesgue-Stieltjes 积分,在以下情况下可能需要通过将积分分成两部分来评估θ具有混合分布。在连续情况下,考虑dF(θ)作为dF(θ)dθdθ=F(θ)dθ

考虑六个具有以下属性的加载骰子。模具 A 有概率0.1出现 6,骰子 B 和 C 中的每一个都有概率0.2出现 6,骰子 D、E 和 F 中的每一个都有概率0.3即将来临6.
从六个骰子中随机选择一个骰子并掷两次。在这两种情况下,都会出现 6。

什么是后验概率分布θ, 6 出现在所选骰子上的概率。

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The proportionality formula

请注意F(是)是一个常数θ在贝叶斯方程中

F(θ∣是)=F(θ)F(是∣θ)/F(是),
这意味着我们也可以将方程写为

F(θ∣是)=F(θ)F(是∣θ)ķ
或作为

F(θ∣是)=CF(θ)F(是∣θ),
在哪里ķ=F(是)和C=1/ķ.
我们也可以写

F(θ∣是)∝F(θ)F(是∣θ),
在哪里∝是比例符号。

等效地,我们可以写

F(θ∣是)θ∝F(θ)F(是∣θ)
强调相称性是专门针对θ.
表达最后一个方程的另一种方法是

F(θ∣是)∝F(θ)×大号(θ∣是),
在哪里大号(θ∣是)是似然函数(定义为模型密度F(是∣θ)乘以任何常数关于θ,并被视为一个函数θ而不是是)。
最后一个方程也可以用文字表述为:
后验与先验时间成正比。
这些观察结果表明了一种确定所需后验分布的快捷方法,无需计算F(是)(这可能很困难)。

该方法是将先验密度(或该密度的核)乘以似然函数,并尝试识别结果函数θ作为众所周知或常见分布的密度。
一旦确定了后验分布,F(是)然后可以很容易地获得相关的归一化常数。

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Continuous parameters

上面的例子都有一个离散的目标参数。以下示例说明了涉及连续参数的贝叶斯推理。这种情况没有出现新问题,只是参数的先验密度和后验密度可能不再直接解释为概率。

考虑以下贝叶斯模型:

(是∣θ)∼二项式⁡(n,θ) θ∼贝塔⁡(一个,b) (事先的)。 
求后验分布θ.
运动解决方案1.8
后验密度为

F(θ∣是)∝F(θ)F(是∣θ) =θ一个−1(1−θ)b−1乙(一个,b)×(n 是)θ是(1−θ)n−是 ∝θ一个−1(1−θ)b−1×θ是(1−θ)n−是 (忽略常数  =θ(一个+是)−1(1−θ)(b+n−是)−1,0<θ<1
这是带有参数的 beta 密度的内核一个+是和b+n−是. 由此可知,后验分布θ是(谁)给的

(θ∣是)∼贝塔⁡(一个+是,b+n−是), 
和后验密度θ是(准确地)

F(θ∣是)=θ(一个+是)−1(1−θ)(b+n−是)−1乙(一个+是,b+n−是),0<θ<1.
例如,假设一个=b=1, 那是,θ∼乙和吨一个(1,1).
那么先验密度是F(θ)=θ1−1(1−θ)1−1乙(1,1)=1,0<θ<1.
因此先验也可以写成θ∼在(0,1).
另外,假设n=2. 那么有三个可能的值是,即 0,1 和 2 ,它们分别导致以下三个后验:

(θ∣是)∼贝塔⁡(1+0,1+2−0)=贝塔⁡(1,3) (θ∣是)∼贝塔⁡(1+1,1+2−1)=贝塔⁡(2,2) (θ∣是)∼贝塔⁡(1+2,1+2−2)=贝塔⁡(3,1)
这三个后验和先验如图 1.5 所示。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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