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随机建模是金融模型的一种形式，用于帮助做出投资决策。这种类型的模型使用随机变量预测不同条件下各种结果的概率。随着现代经济学、金融学实证研究的发展，金融中的随机方法Stochastic Methods in Finance作为一种数学工具具有越来越重要的应用价值。
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统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Constraints
The portfolio composition is optimized under various restrictions. The model includes the classical inventory balance constraints on the nominal amount invested in each bond, for each node of the scenario tree:
$$
\begin{gathered}
x_{i 0}=\bar{x}{i}+x{i 0}^{+}-x_{i 0}^{-} \quad \forall i \in I \
x_{i n}=x_{i a_{n}}+x_{i n}^{+}-x_{i n}^{-} \quad \forall i \in I, \quad \forall n \in N
\end{gathered}
$$
The cash balance constraint is imposed for the first and later stages:
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i \in I} v_{i 0} x_{i 0}^{+}\left(1+\chi^{+}\right)+z_{0}-g_{0} \
&=C_{0}-\bar{g}+\sum_{i \in I} v_{i 0} x_{i 0}^{-}\left(1-\chi^{-}\right) \
&\sum_{i \in I} v_{i n} x_{i n}^{+}\left(1+x^{+}\right)+z_{n}-g_{n} \
&=\sum_{i \in I} v_{i n} x_{i n}^{-}\left(1-x^{-}\right)+z_{a_{n}} e^{r_{e_{n}}} \
&-g_{a_{n}} e^{b_{a_{n}}}+\sum_{i \in I} f_{i n} x_{i a_{n}} \quad \forall n \in \mathcal{N}
\end{aligned}
$$
P. Bcraldi et al.
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The model also includes constraints bounding the amount invested in each rating class (4.19) as well as in investment grade (4.20) and speculative grade (4.21) classes, respectively, as fractions of the current portfolio value:
$$
\begin{gathered}
\sum_{i \in I_{k}} v_{i n} x_{i n} \leq v_{k} \sum_{i \in I} v_{i n} x_{i n} \quad \forall k \in K, \quad \forall n \in \mathcal{N}, \
\sum_{k=0}^{4} \sum_{i \in I_{k}} v_{i n} x_{i n} \leq \phi \sum_{i \in I} v_{i n} x_{i n} \quad \forall n \in \mathcal{N}, \
\sum_{k=5}^{7} \sum_{i \in I_{k}} v_{i n} x_{i n} \leq \zeta \sum_{i \in I} v_{i n} x_{i n} \quad \forall n \in \mathcal{N}
\end{gathered}
$$
Finally, a limit on the debt level for each node of the scenario tree is imposed:
$$
g_{n} \leq \gamma\left(C_{0}+\sum_{i \in I} v_{i 0} \bar{x}_{i}-\bar{g}\right) \quad \forall n \in \mathcal{N}
$$
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Objective Function
The goal of financial planning is twofold: maximize the expected wealth generated by the investment strategy while controlling the market and credit risk exposure of the portfolio. This trade-off can be mathematically represented by adopting a risk-reward objective function:
$$
\max (1-\alpha) E\left[\mathcal{W}{n}\right]-\alpha \theta{c}\left[\mathcal{W}{n}\right] $$ where $\alpha$ is a user-defined parameter accounting for the risk aversion attitude and $n$ are the leaf nodes $\left(n \in \mathcal{N}{T}\right)$ of the scenario tree. The higher the $\alpha$ the more conservative, but also the less profitable, the suggested financial plan. The first term of (4.23) denotes the expected value of terminal wealth, computed as
$$
E\left[W_{n}\right]=\sum_{n \in N_{T}} p_{n} W_{n}
$$
where the wealth at each node $n$ is
$$
\mathcal{W}{n}=\sum{i \in l} v_{i n} x_{i n}+z_{n}-g_{n}
$$
The second term in (4.23) accounts for risk. In particular, we have considered the conditional value at risk (CVaR) at a given confidence level $\epsilon$ (usually $95 \%$ ). CVaR measures the expected value of losses exceeding the value at risk (VaR). It is a “coherent” risk measure, suitable for asymmetric distributions and thus able to control the downside risk exposure. In addition, it enjoys nice computational properties (Andersson et al. 2001; Artzner et al. 1999; Rockafellar and Uryasev 2002) and
admits a simple linear reformulation. In tree notation the CVaR of the portfolio terminal wealth can be defined as
$$
\theta_{c}=\xi_{c}+\frac{1}{1-\epsilon} \sum_{n \in \mathcal{N}{T}} p{n}\left[L_{n}-\xi_{c}\right]{+\uparrow} $$ where $\xi{e}$ denotes the VaR at the same confidence level. Here $L_{n}$ represents the loss at node $n$, measured as the negative deviation from a given target value of the portfolio terminal wealth:
$$
L_{n}=\max \left[0, \tilde{W}{n}-\mathcal{W}{n}\right]
$$
where $\tilde{W}{n}$ represents a reference value, computed on the initial wealth l-year compounded value for given current (known) risk-free rate: $$ \begin{gathered} \mathcal{W}{0}=\left(C_{0}+\sum_{i \in l} v_{i} \bar{x}{i}-\bar{g}\right), \ \tilde{W}{n}=\mathcal{W}{0} e^{r{0} f_{n}} \quad \forall n \neq 0 .
\end{gathered}
$$
The overall objective function can be linearized through a set of auxiliary variables $\left(\zeta_{n}\right)$ and the constraints as follows:
$$
\begin{gathered}
\theta_{c}=\xi_{c}+\frac{1}{1-\epsilon} \sum_{n \in \mathcal{N}{T}} p{n} \zeta_{n} \
\zeta_{n} \geq L_{n}-\xi_{c} \quad \forall n \in \mathcal{N}{T} \ \zeta{n} \geq 0 \quad \forall n \in \mathcal{N} T
\end{gathered}
$$
This model specification leads to an easily solvable large-scale linear multi-stage stochastic programming problem. Decisions at any node explicitly depend on the corresponding postulated realization for the random variables and have a direct impact on the decisions at descendant nodes. Depending on the number of nodes in the scenario tree, the model can become very large calling for the use of specialized solution methods.
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Scenario Generation
The bond portfolio model implementation requires the definition of an extended set of random coefficients (Dupačová et al. 2001; Heitsch and Rōmisch 2003; Pflug 2001). We focus in this section on the relationship between the statistical model
actually implemented to develop the case study and the set of scenario-dependent coefficients included in the stochastic programming formulation.
The statistical model drives the bond returns over the planning horizon $0, \ldots, T$. At time 0 all coefficients in $(4.2),(4.3),(4.4),(4.5),(4.7)$, and (4.8) have been estimated and, for a given initial portfolio, Monte Carlo simulation can be used to estimate the credit risk exposure of the current portfolio. In this application a simple random sampling algorithm for a fixed, pre-defined, tree structure is adopted to define the event tree structure underlying the stochastic programming formulation.
A method of moments (Campbell et al. 1997) estimation is first performed on $(4.2)$, (4.3), and (4.4) from historical data, then Moody’s statistics (Moody’s Investors Service 2009 ) are used to estimate the natural default probability and the recovery rates, which are calibrated following $(4.7)$, to account for recent market evidence and economic activity, and (4.8), allowing a limited dispersion from the average class-specific recovery rates.
In the case study implementation the risk-free rate and the credit spread processes are modeled as correlated square root processes according to the tree specification, for $s \in S, t=1, \ldots, T, n \in \mathcal{N}{t}$, where $h{n}$ denotes the child node in the given scenario $s$. For each $k \in K$ and initial states $r_{0}$ and $\pi_{0}^{k}$, we have
$$
\begin{gathered}
\Delta r_{n}=\mu^{r}\left(t_{h_{n}}-t_{n}\right)+\sigma^{r} \sqrt{r_{n}} \sqrt{t_{h_{n}}-t_{n}} e_{n} \
\Delta \pi_{n}^{k}=\mu^{k}\left(t_{h_{n}}-t_{n}\right)+\sigma^{k} \sqrt{\pi_{n}^{k}} \sqrt{t_{h_{n}}-t_{n}} \sum_{l \in K} q_{n}^{k l} e_{n}^{l}
\end{gathered}
$$
In $(4.33), e_{n}^{l} \sim N(0,1)$, for $l=0,1, . ., 7$, independently and $q^{k l}$ denote the Choleski coefficients in the lower triangular decomposition of the correlation matrix. The nodal realizations of the risk-free rate and the credit spreads are also used to identify the investor’s borrowing rate $b_{n}=r_{n}+\pi_{n}^{k}$ in the dynamic model implementation, where $\bar{k}$ denotes the investors specific rating class.
The incremental spread $\eta_{n}^{i}$ for security $i$ has been implemented in the case study as a pure jump-to-default process with null mean and volatility. The associated idlosyncratic tree processes, all independent from each other, will in this case for all $i$ follow the dynamic
$$
d \eta_{n}^{i}=\beta_{n}^{i} d \Psi^{i}\left(\lambda^{i}, n\right)
$$
金融中的随机方法代写
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Constraints
投资组合构成在各种限制下得到优化。对于情景树的每个节点，该模型包括对投资于每只债券的名义金额的经典库存平衡约束：
X一世0=X¯一世+X一世0+−X一世0−∀一世∈一世 X一世n=X一世一种n+X一世n+−X一世n−∀一世∈一世,∀n∈ñ
现金余额约束适用于第一阶段和后期：
∑一世∈一世v一世0X一世0+(1+χ+)+和0−G0 =C0−G¯+∑一世∈一世v一世0X一世0−(1−χ−) ∑一世∈一世v一世nX一世n+(1+X+)+和n−Gn =∑一世∈一世v一世nX一世n−(1−X−)+和一种n和r和n −G一种n和b一种n+∑一世∈一世F一世nX一世一种n∀n∈ñ
P. Bcraldi 等人。
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该模型还包括限制在每个评级等级 (4.19) 以及投资等级 (4.20) 和投机等级 (4.21) 等级中的投资金额，分别作为当前投资组合价值的一部分：
∑一世∈一世到v一世nX一世n≤v到∑一世∈一世v一世nX一世n∀到∈到,∀n∈ñ, ∑到=04∑一世∈一世到v一世nX一世n≤φ∑一世∈一世v一世nX一世n∀n∈ñ, ∑到=57∑一世∈一世到v一世nX一世n≤G∑一世∈一世v一世nX一世n∀n∈ñ
最后，对场景树的每个节点的债务水平施加了限制：
Gn≤C(C0+∑一世∈一世v一世0X¯一世−G¯)∀n∈ñ
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Objective Function
财务规划的目标是双重的：最大化投资策略产生的预期财富，同时控制投资组合的市场和信用风险敞口。这种权衡可以通过采用风险回报目标函数在数学上表示：
最大限度(1−一种)和[在n]−一种θC[在n]在哪里一种是用户定义的参数，用于说明风险厌恶态度和n是叶节点(n∈ñ吨)的场景树。越高的一种建议的财务计划越保守，但利润越低。(4.23) 的第一项表示终端财富的期望值，计算为
和[在n]=∑n∈ñ吨pn在n
每个节点的财富n是
在n=∑一世∈一世v一世nX一世n+和n−Gn
(4.23) 中的第二项说明了风险。特别是，我们考虑了给定置信水平下的条件风险值 (CVaR)ε（通常95%）。CVaR 衡量损失的预期价值超过风险价值 (VaR)。它是一种“连贯”的风险度量，适用于非对称分布，因此能够控制下行风险敞口。此外，它还具有很好的计算特性（Andersson et al. 2001; Artzner et al. 1999; Rockafellar and Uryasev 2002）和
承认一个简单的线性重构。在树符号中，投资组合终端财富的 CVaR 可以定义为
θC=XC+11−ε∑n∈ñ吨pn[大号n−XC]+↑在哪里X和表示相同置信水平下的 VaR。这里大号n表示节点的损失n，测量为与投资组合终端财富给定目标值的负偏差：
大号n=最大限度[0,在~n−在n]
在哪里在~n表示参考值，根据给定当前（已知）无风险利率的初始财富 l 年复合值计算：在0=(C0+∑一世∈一世v一世X¯一世−G¯), 在~n=在0和r0Fn∀n≠0.
整体目标函数可以通过一组辅助变量线性化(Gn)和约束如下：
θC=XC+11−ε∑n∈ñ吨pnGn Gn≥大号n−XC∀n∈ñ吨 Gn≥0∀n∈ñ吨
该模型规范导致了一个易于解决的大规模线性多阶段随机规划问题。任何节点的决策显式依赖于随机变量的相应假设实现，并直接影响后代节点的决策。根据场景树中节点的数量，模型可能会变得非常大，需要使用专门的解决方法。
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Scenario Generation
债券投资组合模型的实施需要定义一组扩展的随机系数（Dupačová et al. 2001; Heitsch and Rōmisch 2003; Pflug 2001）。本节我们重点讨论统计模型之间的关系
实际实施以开发案例研究和随机规划公式中包含的一组场景相关系数。
统计模型在计划期内推动债券回报0,…,吨. 在时间 0 中的所有系数(4.2),(4.3),(4.4),(4.5),(4.7), 和 (4.8) 已被估计，对于给定的初始投资组合，蒙特卡罗模拟可用于估计当前投资组合的信用风险敞口。在该应用中，采用了一种简单的随机抽样算法，用于固定的、预定义的树结构，以定义随机规划公式背后的事件树结构。
矩量法（Campbell et al. 1997）首先在(4.2)，（4.3）和（4.4）从历史数据，然后穆迪统计（穆迪投资者服务2009）用于估计自然违约概率和回收率，校准如下(4.7)，以考虑最近的市场证据和经济活动，以及 (4.8)，允许与特定类别的平均回收率有有限的偏差。
在案例研究实施中，无风险利率和信用利差过程根据树规范被建模为相关的平方根过程，对于s∈小号,吨=1,…,吨,n∈ñ吨， 在哪里Hn表示给定场景中的子节点s. 对于每个到∈到和初始状态r0和圆周率0到， 我们有
Δrn=μr(吨Hn−吨n)+σrrn吨Hn−吨n和n Δ圆周率n到=μ到(吨Hn−吨n)+σ到圆周率n到吨Hn−吨n∑一世∈到qn到一世和n一世
在(4.33),和n一世∼ñ(0,1)， 为了一世=0,1,..,7, 独立且q到一世表示相关矩阵的下三角分解中的 Choleski 系数。无风险利率和信用利差的节点实现也用于识别投资者的借款利率bn=rn+圆周率n到在动态模型实现中，其中到¯表示投资者特定评级等级。
增量传播这n一世为了安全一世已在案例研究中实施为具有零均值和波动性的纯跳转到默认过程。在这种情况下，所有相互独立的相关的异质树进程将一世跟随动态
d这n一世=bn一世dΨ一世(λ一世,n)
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考
随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。
多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。