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随机建模是金融模型的一种形式，用于帮助做出投资决策。这种类型的模型使用随机变量预测不同条件下各种结果的概率。随着现代经济学、金融学实证研究的发展，金融中的随机方法Stochastic Methods in Finance作为一种数学工具具有越来越重要的应用价值。
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统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Expected Maximum Shortfall
Starting with an initial wealth $W_{0}$ and an annual nominal guarantee of $G$, the liability at the planning horizon at time $T$ is given by
$$
W_{0}(1+G)^{T}
$$
To price the liability at time $t<T$ consider a zero-coupon Treasury bond, which pays 1 at time $T$, 1.e. $L_{T}(\omega)=1$, tor all scenarıos $\omega \in \lesssim 2$. 1 he zero-coupon Treasury bond price at time $t$ in scenario $\omega$ assuming continuous compounding is given by
$$
Z_{t}(\omega)=e^{-y_{t, T}(\omega)(T-t)}
$$
where $y_{t, T}(\omega)$ is the zero-coupon Treasury yield with maturity $T$ at time $t$ in scenario $\omega$.
This gives a formula for the value of the nominal or fixed guarantee barrier at time $t$ in scenario $\omega$ as
$$
L_{t}^{N}(\omega):=W_{0}(1+G)^{T} Z_{t}(\omega)=W_{0}(1+G)^{T} e^{-y_{t} T(\omega)(T-t)}
$$
In a minimum guaranteed return fund the objective of the fund manager is twofold; firstly to manage the investment strategies of the fund and secondly to take into account the guarantees given to all investors. Investment strategies must ensure that the guarantee for all participants of the fund is met with a high probability.
In practice the guarantor (the parent bank of the fund manager) will ensure the investor guarantee is met by forcing the purchase of the zero coupon bond of (22) when the fund is sufficiently near the barrier defined by $(23)$. Since all upside potential to investors is thus foregone, the aim of the fund manager is to fall below the barrier with acceptably small if not zero probability.
Ideally we would add a constraint limiting the probability of falling below the barrier in a VaR-type minimum guarantee constraint, i.e.
$$
P\left(\max {t \in T \text { loal }} h{t}(\omega)>0\right) \leq \alpha
$$
for $\alpha$ small. However, such scenario-based probabilistic constraints are extremely difficult to implement, as they may without further assumptions convert the convex large-scale optimization problem into a non-convex one. We therefore use the following two convex approximations in which we trade off the risk of falling below the barrier against the return in the form of the expected sum of wealth.
Firstly, we look at the expected average shortfall (EAS) model in which the objective function is given by:
$\left{\max {\left{\begin{array}{l}x{t, a}(\omega), x_{t, \alpha}^{+}(\omega), x_{t, a}^{-}(\omega): \ a \in A, \omega \in \Omega, t \in T^{d} \cup[T]\end{array}\right.}\left{\sum_{\omega \in \Omega} \sum_{\left.t \in T^{d} \cup \mid T\right]} p(\omega)\left((1-\beta) W_{t}(\omega)-\beta \frac{h_{S}(\omega)}{\mid T^{d} \cup[T \mid}\right)\right}\right.$
$\left.-\beta\left(\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) \sum_{t \in T^{d} \cup{T]} \frac{h_{d}(\omega)}{\left|T^{w} \cup[T]\right|}\right)\right}$
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Bond Pricing
In this section we present a three-factor term structure model which we will use to price both our bond portfolio and the fund’s liability. Many interest-rate models, like the classic one-factor Vasicek (1977) and Cox, Ingersoll, and Ross (1985) class of models and even more recent multi-factor models like Anderson and Lund (1997), concentrate on modeling just the short-term rate.
However for the minimum guaranteed retum funds we have to deal with a longterm liability and bonds of varying maturities. We therefore must capture the dynamics of the whole term structure. This has been achieved by using the economic factor model described below in Section 3.1. In Section $3.2$ we describe the pricing of coupon-bearing bonds and Section $3.3$ investigates the consequences of rolling the bonds on an annual basis.
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Yield Curve Model
To capture the dynamics of the whole term structure, we will use a Gaussian economic factor model (EFM) (see Campbell $(2000)$ and also Nelson and Siegel (1987)) whose evolution under the risk-neutral measure $Q$ is determined by the stochastic differential equations
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{d X} \mathbf{X}{t}=\left(\mu{X}-\lambda_{X} X_{t}\right) d t+\sigma_{X} \mathbf{d} \mathbf{W}{t}^{X} \ &\mathbf{d Y { t }}=\left(\mu_{Y}-\lambda_{Y} Y_{t}\right) d t+\sigma_{Y} \mathbf{d} \mathbf{W}{t}^{Y} \ &\mathbf{d R}{t}=k\left(X_{t}+Y_{t}-R_{t}\right) d t+\sigma_{R} \mathbf{d W}{t}^{R} \end{aligned} $$ where the $d W$ terms are correlated. The three unobservable Gaussian factors $\mathbf{R}, \mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$ represent respectively a short rate, a long rate and (minus) the slope between an instantaneous short rate and the long rate. Solving these equations the following formula for the yield at time $t$ with time to maturity equal to $T-t$ is obtained (for a derivation, see Medova et $a l ., 2005$ ) $$ y{t, T}=\frac{A(t, T) R_{t}+B(t, T) X_{t}+C(t, T) Y_{t}+D(t, T)}{T}
$$
where
$$
\begin{aligned}
&B(t, T):=\frac{k}{k-\lambda_{X}}\left{\frac{1}{\lambda_{X}}\left(1-e^{-\lambda x(T-t)}\right)-\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-t)}\right)\right} \
&C(t, T):=\frac{k}{k-\lambda_{Y}}\left{\frac{1}{\lambda_{Y}}\left(1-e^{-\lambda_{Y}(T-t)}\right)-\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-t)}\right)\right}
\end{aligned}
$$
$D(t, T):=\left(T-t-\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-t)}\right)\right)\left(\frac{\mu_{X}}{\lambda_{X}}+\frac{\mu_{Y}}{\lambda_{Y}}\right)-\frac{\mu_{X}}{\lambda_{X}} B(t, T)-\frac{\mu_{Y}}{\lambda_{Y}} C(t, T)$
$-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3}\left{\frac{m_{X_{i}}}{2 \lambda_{X}}\left(1-e^{-2 \lambda x(T-t)}\right)+\frac{m_{Y_{i}}}{2 \lambda_{Y}}\left(1-e^{-2 \lambda \lambda_{Y}(T-t)}\right)\right.$
$+\frac{n_{i}^{2}}{2 k}\left(1-e^{-2 k(T-t)}\right)+p_{i}^{2}(T-t)+\frac{2 m X_{i} m_{Y_{i}}}{\lambda_{X}+\lambda_{Y}}\left(1-e^{-(\lambda x+\lambda y)(T-t)}\right)$
$+\frac{2 m_{X_{i}} n_{i}}{\lambda_{X}+k}\left(1-e^{-\left(\lambda \lambda_{X}+k\right)(T-t)}\right)+\frac{2 m_{X_{i}} p_{i}}{\lambda_{X}}\left(1-e^{-\lambda_{X}(T-t)}\right)$
$+\frac{2 m_{Y_{i}} n_{i}}{\lambda Y+k}\left(1-e^{-(\lambda \gamma+k)(T-t)}\right)+\frac{2 m_{Y_{j}} p_{i}}{\lambda Y}\left(1-e^{-\lambda \gamma(T-t)}\right)$
$\left.+\frac{2 n_{i} p_{i}}{k}\left(1-e^{-k(T-t)}\right)\right}$
and
$m_{X_{i}}:=-\frac{k \sigma_{X_{i}}}{\left.\lambda x(k-\lambda)^{\prime}\right)}$
$m_{Y_{i}}:=-\frac{k \sigma_{Y_{i}}}{\lambda \gamma(k-\lambda y)}$
$n_{i}:=\frac{\sigma_{X_{i}}}{k-\lambda x}+\frac{\sigma \gamma_{i}}{k-\lambda_{Y}}-\frac{\sigma_{R_{i}}}{k}$
$p_{i}:=-\left(m X_{i}+m Y_{i}+n_{i}\right)$.
Bond pricing must be effected under the risk-neutral measure $Q$. However, for the model to be used for forward simulation the set of stochastic differential equations must be adjusted to capture the model dynamics under the real-world or market measure $P$. We therefore have to model the market prices of risk which take us from the risk-neutral measure $Q$ to the real-world measure $P$.
Under the market measure $P$ we adjust the drift term by adding the risk premium given by the market price of risk $\gamma$ in terms of the quantity of risk. The effect of this is a change in the long-term mean, e.g. for the factor $\mathbf{X}$ the long-term mean now equals $\frac{\mu x+\gamma x \sigma x}{\lambda x}$. It is generally assumed in a Gaussian world that the quantity of risk is given by the volatility of each factor.
金融中的随机方法代写
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Expected Maximum Shortfall
从最初的财富开始在0和每年的名义担保G, 计划范围内的负债吨是（谁）给的
在0(1+G)吨
为负债定价吨<吨考虑一个零息国债，它一次支付 1吨, 1.e.大号吨(ω)=1, 适用于所有场景ω∈≲2. 1 他当时的零息国债价格吨在情景中ω假设连续复利由下式给出
从吨(ω)=和−是吨,吨(ω)(吨−吨)
在哪里是吨,吨(ω)是到期的零息国债收益率吨有时吨在情景中ω.
这给出了当时名义或固定担保障碍值的公式吨在情景中ω作为
大号吨ñ(ω):=在0(1+G)吨从吨(ω)=在0(1+G)吨和−是吨吨(ω)(吨−吨)
在最低保证回报基金中，基金经理的目标是双重的；首先管理基金的投资策略，其次考虑给予所有投资者的保证。投资策略必须确保以高概率满足对基金所有参与者的保证。
在实践中，担保人（基金管理人的母银行）将通过在基金充分接近由(23). 由于投资者的所有上行潜力都因此被放弃，基金经理的目标是以可接受的小概率（如果不是零概率）跌破该障碍。
理想情况下，我们会在 VaR 类型的最小保证约束中添加一个限制跌破壁垒概率的约束，即
磷(最大限度吨∈吨 经许可 H吨(ω)>0)≤一种
为了一种小的。然而，这种基于场景的概率约束极难实现，因为它们可能在没有进一步假设的情况下将凸大规模优化问题转换为非凸优化问题。因此，我们使用以下两个凸近似值，在这些近似值中，我们以预期财富总和的形式来权衡跌破壁垒的风险与回报。
首先，我们看一下预期平均短缺 (EAS) 模型，其中目标函数由下式给出：
$\left{\max {\left{X吨,一种(ω),X吨,一种+(ω),X吨,一种−(ω): 一种∈一种,ω∈Ω,吨∈吨d∪[吨]\right.}\left{\sum_{\omega \in \Omega} \sum_{\left.t \in T^{d} \cup \mid T\right]} p(\omega)\left((1 -\beta) W_{t}(\omega)-\beta \frac{h_{S}(\omega)}{\mid T^{d} \cup[T \mid}\right)\right}\right .\left.-\beta\left(\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) \sum_{t \in T^{d} \cup{T]} \frac{h_{d}(\欧米茄)}{\left|T^{w} \cup[T]\right|}\right)\right}$
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Bond Pricing
在本节中，我们将介绍一个三因素期限结构模型，我们将使用该模型对我们的债券投资组合和基金负债进行定价。许多利率模型，如经典的单因子 Vasicek (1977) 和 Cox、Ingersoll 和 Ross (1985) 类模型，甚至更近期的多因子模型，如 Anderson 和 Lund (1997)，只专注于建模短期利率。
然而，对于最低保证回报基金，我们必须处理长期负债和不同期限的债券。因此，我们必须捕捉整个期限结构的动态。这是通过使用下面第 3.1 节中描述的经济因素模型来实现的。在部分3.2我们描述了附息债券的定价和部分3.3调查每年滚动债券的后果。
统计代写|金融中的随机方法作业代写Stochastic Methods in Finance代考|Yield Curve Model
为了捕捉整个期限结构的动态，我们将使用高斯经济因素模型 (EFM)（参见 Campbell(2000)以及 Nelson 和 Siegel (1987)) 在风险中性度量下的演变问由随机微分方程确定
dXX吨=(μX−λXX吨)d吨+σXd在吨X d是吨=(μ是−λ是是吨)d吨+σ是d在吨是 dR吨=到(X吨+是吨−R吨)d吨+σRd在吨R在哪里d在项是相关的。三个不可观测的高斯因子R,X和是分别表示短期利率、长期利率和（减去）瞬时短期利率和长期利率之间的斜率。求解这些方程，得到以下时间产量的公式吨到期时间等于吨−吨获得（关于推导，参见 Medova et一种一世.,2005)是吨,吨=一种(吨,吨)R吨+乙(吨,吨)X吨+C(吨,吨)是吨+D(吨,吨)吨
在哪里
\begin{aligned} &B(t, T):=\frac{k}{k-\lambda_{X}}\left{\frac{1}{\lambda_{X}}\left(1-e^{ -\lambda x(Tt)}\right)-\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(Tt)}\right)\right} \ &C(t, T):=\ frac{k}{k-\lambda_{Y}}\left{\frac{1}{\lambda_{Y}}\left(1-e^{-\lambda_{Y}(Tt)}\right)- \frac{1}{k}\left(1-e^{-k(Tt)}\right)\right} \end{对齐}\begin{aligned} &B(t, T):=\frac{k}{k-\lambda_{X}}\left{\frac{1}{\lambda_{X}}\left(1-e^{ -\lambda x(Tt)}\right)-\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(Tt)}\right)\right} \ &C(t, T):=\ frac{k}{k-\lambda_{Y}}\left{\frac{1}{\lambda_{Y}}\left(1-e^{-\lambda_{Y}(Tt)}\right)- \frac{1}{k}\left(1-e^{-k(Tt)}\right)\right} \end{对齐}
D(吨,吨):=(吨−吨−1到(1−和−到(吨−吨)))(μXλX+μ是λ是)−μXλX乙(吨,吨)−μ是λ是C(吨,吨)
-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3}\left{\frac{m_{X_{i}}}{2 \lambda_{X}}\left(1-e^{ -2 \lambda x(Tt)}\right)+\frac{m_{Y_{i}}}{2 \lambda_{Y}}\left(1-e^{-2 \lambda \lambda_{Y}( Tt)}\right)\right.$ $+\frac{n_{i}^{2}}{2 k}\left(1-e^{-2 k(Tt)}\right)+p_{i }^{2}(Tt)+\frac{2 m X_{i} m_{Y_{i}}}{\lambda_{X}+\lambda_{Y}}\left(1-e^{-(\ lambda x+\lambda y)(Tt)}\right)$ $+\frac{2 m_{X_{i}} n_{i}}{\lambda_{X}+k}\left(1-e^{- \left(\lambda \lambda_{X}+k\right)(Tt)}\right)+\frac{2 m_{X_{i}} p_{i}}{\lambda_{X}}\left(1 -e^{-\lambda_{X}(Tt)}\right)$ $+\frac{2 m_{Y_{i}} n_{i}}{\lambda Y+k}\left(1-e^ {-(\lambda \gamma+k)(Tt)}\right)+\frac{2 m_{Y_{j}} p_{i}}{\lambda Y}\left(1-e^{-\lambda \gamma(Tt)}\right)$ $\left.+\frac{2 n_{i} p_{i}}{k}\left(1-e^{-k(Tt)}\right)\right }-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3}\left{\frac{m_{X_{i}}}{2 \lambda_{X}}\left(1-e^{ -2 \lambda x(Tt)}\right)+\frac{m_{Y_{i}}}{2 \lambda_{Y}}\left(1-e^{-2 \lambda \lambda_{Y}( Tt)}\right)\right.$ $+\frac{n_{i}^{2}}{2 k}\left(1-e^{-2 k(Tt)}\right)+p_{i }^{2}(Tt)+\frac{2 m X_{i} m_{Y_{i}}}{\lambda_{X}+\lambda_{Y}}\left(1-e^{-(\ lambda x+\lambda y)(Tt)}\right)$ $+\frac{2 m_{X_{i}} n_{i}}{\lambda_{X}+k}\left(1-e^{- \left(\lambda \lambda_{X}+k\right)(Tt)}\right)+\frac{2 m_{X_{i}} p_{i}}{\lambda_{X}}\left(1 -e^{-\lambda_{X}(Tt)}\right)$ $+\frac{2 m_{Y_{i}} n_{i}}{\lambda Y+k}\left(1-e^ {-(\lambda \gamma+k)(Tt)}\right)+\frac{2 m_{Y_{j}} p_{i}}{\lambda Y}\left(1-e^{-\lambda \gamma(Tt)}\right)$ $\left.+\frac{2 n_{i} p_{i}}{k}\left(1-e^{-k(Tt)}\right)\right }
和
米X一世:=−到σX一世λX(到−λ)′)
米是一世:=−到σ是一世λC(到−λ是)
n一世:=σX一世到−λX+σC一世到−λ是−σR一世到
p一世:=−(米X一世+米是一世+n一世).
债券定价必须在风险中性措施下进行问. 然而，对于用于正向模拟的模型，必须调整随机微分方程组以捕捉现实世界或市场测量下的模型动态磷. 因此，我们必须对风险的市场价格进行建模，从而使我们脱离风险中性度量问到现实世界的衡量标准磷.
在市场衡量下磷我们通过添加由市场风险价格给出的风险溢价来调整漂移项C从风险数量上看。其影响是长期平均值的变化，例如对于因子X现在的长期平均值等于μX+CXσXλX. 在高斯世界中，通常假设风险的数量由每个因素的波动性给出。
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。
多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。