统计代写|金融统计代写financial statistics代考| Geometric Random Walks

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金融统计学是研究金融现象数量方面的方法论学科,金融现象是经济现象的一个组成部分。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|金融统计代写financial statistics代考| Geometric Random Walks

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|Geometric Random Walks

The essential idea underlying the random walk for real processes is the assumption of mutually independent increments of the order of magnitude for each point in time. However, economic time series in particular do not satisfy the latter assumption. Seasonal fluctuations of monthly sales figures for example are in absolute terms significantly greater if the yearly average sales figure is high. By contrast, the relative or percentage changes are stable over time and do not depend on the

current level of $X_{t}$. Analogously to the random walk with i.i.d. absolute increments $Z_{t}=X_{t}-X_{t-1}$, a geometric random walk $\left{X_{t} ; t \geq 0\right}$ is assumed to have i.i.d. relative increments
$$
R_{t}=\frac{X_{t}}{X_{l-1}}, \quad t=1,2, \ldots
$$
For example, a geometric binomial random walk is given by
$$
X_{t}=R_{l} \cdot X_{t-1}=X_{0} \cdot \Pi_{k=1}^{t} R_{k}
$$
where $X_{0}, R_{1}, R_{2}, \ldots$ are mutually independent and for $u>1, d<1$ : $$ \mathrm{P}\left(R_{k}=u\right)=p, \mathrm{P}\left(R_{k}=d\right)=1-p . $$ Given the independence assumption and $\mathrm{E}\left[R_{k}\right]=(u-d) p+d$ it follows from Eq. (4.5) that $\mathrm{E}\left[X_{t}\right]$ increases or decreases exponentially as the case may be $\mathrm{E}\left[R_{k}\right]>1$ or $\mathrm{E}\left[R_{k}\right]<1$ :
$$
\mathrm{E}\left[X_{t}\right]=\mathrm{E}\left[X_{0}\right] \cdot\left(\mathrm{E}\left[R_{1}\right]\right)^{t}=\mathrm{E}\left[X_{0}\right] \cdot{(u-d) p+d}^{t} .
$$
If $E\left[R_{k}\right]=1$ the process is on average stable, which is the case for
$$
p=\frac{1-d}{u-d} .
$$
For a recombining process, i.e. $d=\frac{1}{u}$, this relationship simplifies to
$$
p=\frac{1}{u+1} .
$$
Taking logarithms in Eq. (4.5) yields:
$$
\log X_{t}=\log X_{0}+\sum_{k=1}^{t} \log R_{k}
$$

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|Binomial Models with State Dependent Increments

Binomial processes and more general random walks model the stock price at best locally. They proceed from the assumption that the distribution of the increments $Z_{l}=X_{l}-X_{t-1}$ is the same for each value $X_{l}$, regardless of whether the stock price is substantially greater or smaller than $X_{0}$. Absolute increments $X_{t}-X_{t-1}=$ $\left(R_{t}-1\right) X_{l-1}$ of a geometric random walk depend on the level of $X_{l-1}$. Thus, geometric random walks are processes which do not have independent absolute increments. Unfortunately, when modelling the stock price dynamics globally, the latter processes are too simple to explain the impact of the current price level on the future stock price evolution. A class of processes which take this effect into account are binomial processes with state dependent (and possibly time dependent) increments:
$$
\begin{gathered}
X_{t}=X_{t-1}+Z_{t}, \quad t=1,2, \ldots \
\mathrm{P}\left(Z_{t}=u\right)=p\left(X_{t-1}, t\right), \quad \mathrm{P}\left(Z_{t}=-d\right)=1-p\left(X_{t-1}, t\right)
\end{gathered}
$$
Since the distribution of $Z_{t}$ depends on the state $X_{t-1}$ and possibly on time $t$, increments are neither independent nor identically distributed. The deterministic functions $p(x, t)$ associate a probability to each possible value of the process at time $t$ and to each $t$. Stochastic processes $\left{X_{t} ; t \geq 0\right}$ which are constructed as in (4.6) are still markovian but without having independent increments.

Accordingly, geometric binomial processes with state dependent relative increments can be defined (for $u>1, d<1$ ):
$$
\begin{gathered}
X_{t}=R_{t} \cdot X_{t-1} \
\mathrm{P}\left(R_{t}=u\right)=p\left(X_{t-1}, t\right), \mathrm{P}\left(R_{t}=d\right)=1-p\left(X_{t-1}, t\right)
\end{gathered}
$$
Processes as defined in (4.6) and (4.7) are mainly of theoretic interest, since without further assumptions it is rather difficult to estimate the probabilities $p(x, t)$ from observed stock prices. But generalized binomial models (as well as the trinomial models) can be used to solve differential equations numerically, as the BlackScholes equation for American options for example.

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Exercise $4.1$ Consider an ordinary random walk $X_{I}=\sum_{k=1}^{t} Z_{k}$ for $t=1,2, \ldots$, $X_{0}=0$, where $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ are i.i.d. with $\mathrm{P}\left(Z_{i}=1\right)=p$ and $\mathrm{P}\left(Z_{i}=-1\right)=1-p$. Calculate
(a) $\mathrm{P}\left(X_{I}>0\right)$
(b) $\mathrm{P}\left(X_{I}>0\right)$
(c) $\mathrm{P}\left(Z_{2}=1 \mid X_{3}=1\right)$
Exercise 4.2 Consider an ordinary random walk $X_{l}=\sum_{k=1}^{t} Z_{k}$ for $t=1,2, \ldots$, $X_{0}=0$, where $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ are i.i.d. with $\mathrm{P}\left(Z_{i}=1\right)=p$ and $\mathrm{P}\left(Z_{i}=-1\right)=1-p$. Let $\tau=\min \left{t:\left|X_{l}\right|>1\right}$ be a random variable denoting the first time $t$ when $\left|X_{t}\right|>1$. Calculate $\mathrm{E}[\tau]$.

Exercise 4.3 Consider an ordinary random walk $X_{L}=\sum_{k=1}^{l} Z_{k}$ for $t=1,2, \ldots$, $X_{0}=0$, where $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ are i.i.d. with $\mathrm{P}\left(Z_{i}=1\right)=p$ and $\mathrm{P}\left(Z_{i}=-1\right)=$ $1-p$. Consider also a process $M_{t}=\max {s \leq I} X{s}$. Calculate $\mathrm{P}\left(X_{3}=M_{3}\right)$ and $\mathrm{P}\left(M_{4}>M_{3}\right)$.

Exercise 4.4 Let $X_{t}=\sum_{k=1}^{t} Z_{k}$ be a general random walk for $t=1,2, \ldots$, $X_{0}=0$, and $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ are i.i.d. with $\operatorname{Var}\left(Z_{i}=1\right)$. Calculate $\operatorname{Cor}\left(X_{s}, X_{t}\right)$.

Exercise 4.5 Let $X_{t}=\sum_{k=1}^{t} Z_{k}$ be a general random walk for $t=1,2, \ldots$, $X_{0}=0$, and $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ are i.i.d. and symmetric random variables. Show that
$$
\mathrm{P}\left(\max {i \leq t}\left|X{i}\right|>a\right) \leq 2 \mathrm{P}\left(\left|X_{t}\right|>a\right)
$$
Exercise 4.6 It is a well known fact that the kernel density estimate $\hat{f_{h}}(x)=$ $n^{-1} \sum_{i=1}^{n} K_{h}\left(x-X_{i}\right)$ is biased. Therefore the comparison of a kernel density estimate with the analytical form of the true e.g. normal, density can be misleading. One has rather to compare the hypothetical density with the expected value $\mathrm{E}{\hat{f}{h}}(x)$ density given as $g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} K_{h}(x-u) f(u) d u$ where $f(u)$ is the true density. Illustrate this fact with a standard normal distribution. Plot the true density $f, a$ kernel density estimate and bias corrected density $g$.

Exercise 4.7 Consider a binomial process $X_{l}=\sum_{k=1}^{t} Z_{k}$ for $t=1,2, \ldots$, $X_{0}=0$, with state dependent increments. Let $\mathrm{P}\left(Z_{l}=1\right)=p\left(X_{l-1}\right)=$ $1 /\left(2^{\left|X_{t-1}\right|+1}\right)$ if $X_{l-1} \geq=0$ and $\mathrm{P}\left(Z_{l}=1\right)=p\left(X_{t-1}\right)=1-1 /\left(2^{\left|X_{t-1}\right|+1}\right)$ otherwise. To complete the setting $\mathrm{P}\left(Z_{l}=-1\right)=1-p\left(X_{l-1}\right)$. Calculate the distribution of $X_{t}$ for the first five steps.

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金融统计代写

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真实过程随机游走的基本思想是假设每个时间点相互独立的数量级增量。然而,经济时间序列尤其不满足后一个假设。例如,如果年平均销售数字很高,则月销售数字的季节性波动在绝对值上会显着增加。相比之下,相对或百分比变化随着时间的推移是稳定的,不依赖于

目前的水平X吨. 类似于具有 iid 绝对增量的随机游走从吨=X吨−X吨−1, 几何随机游走\左{X_{t} ; t \geq 0\右}\左{X_{t} ; t \geq 0\右}假设有 iid 相对增量
R吨=X吨Xl−1,吨=1,2,…
例如,几何二项式随机游走由下式给出
X吨=Rl⋅X吨−1=X0⋅圆周率ķ=1吨Rķ
在哪里X0,R1,R2,…是相互独立的并且对于在>1,d<1 :磷(Rķ=在)=p,磷(Rķ=d)=1−p.给定独立性假设和和[Rķ]=(在−d)p+d它遵循方程式。(4.5) 那和[X吨]视情况呈指数增加或减少和[Rķ]>1或者和[Rķ]<1 :
和[X吨]=和[X0]⋅(和[R1])吨=和[X0]⋅(在−d)p+d吨.
如果和[Rķ]=1该过程平均而言是稳定的,对于
p=1−d在−d.
对于重组过程,即d=1在, 这种关系简化为
p=1在+1.
在等式中取对数。(4.5) 产量:
日志⁡X吨=日志⁡X0+∑ķ=1吨日志⁡Rķ

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二项式过程和更一般的随机游走在本地模拟股票价格。他们从假设增量的分布出发从l=Xl−X吨−1每个值都相同Xl,无论股票价格是大大高于还是低于X0. 绝对增量X吨−X吨−1= (R吨−1)Xl−1几何随机游走的水平取决于Xl−1. 因此,几何随机游走是没有独立绝对增量的过程。不幸的是,在对全球股票价格动态进行建模时,后者的过程过于简单,无法解释当前价格水平对未来股票价格演变的影响。考虑到这种影响的一类过程是具有状态相关(并且可能与时间相关)增量的二项式过程:
X吨=X吨−1+从吨,吨=1,2,… 磷(从吨=在)=p(X吨−1,吨),磷(从吨=−d)=1−p(X吨−1,吨)
由于分布从吨取决于国家X吨−1并且可能准时吨, 增量既不是独立的也不是同分布的。确定性函数p(X,吨)在某个时间将概率与过程的每个可能值相关联吨并且对每个吨. 随机过程\左{X_{t} ; t \geq 0\右}\左{X_{t} ; t \geq 0\右}在 (4.6) 中构造的仍然是马尔可夫但没有独立的增量。

因此,可以定义具有状态相关相对增量的几何二项式过程(对于在>1,d<1 ):
X吨=R吨⋅X吨−1 磷(R吨=在)=p(X吨−1,吨),磷(R吨=d)=1−p(X吨−1,吨)
(4.6) 和 (4.7) 中定义的过程主要具有理论意义,因为没有进一步的假设,很难估计概率p(X,吨)从观察到的股票价格。但广义二项式模型(以及三项式模型)可用于数值求解微分方程,例如美式期权的 BlackScholes 方程。

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锻炼4.1考虑一个普通的随机游走X一世=∑ķ=1吨从ķ为了吨=1,2,…, X0=0, 在哪里从1,从2,…与磷(从一世=1)=p和磷(从一世=−1)=1−p. 计算
(一)磷(X一世>0)
(二)磷(X一世>0)
(C)磷(从2=1∣X3=1)
练习 4.2 考虑一个普通的随机游走Xl=∑ķ=1吨从ķ为了吨=1,2,…,X0=0, 在哪里从1,从2,…与磷(从一世=1)=p和磷(从一世=−1)=1−p. 让\tau=\min \left{t:\left|X_{l}\right|>1\right}\tau=\min \left{t:\left|X_{l}\right|>1\right}是表示第一次的随机变量吨什么时候|X吨|>1. 计算和[τ].

练习 4.3 考虑一个普通的随机游走X大号=∑ķ=1l从ķ为了吨=1,2,…, X0=0, 在哪里从1,从2,…与磷(从一世=1)=p和磷(从一世=−1)= 1−p. 还考虑一个过程 $M_{t}=\max {s \leq I} X {s}.C一种lC在l一种吨和\mathrm{P}\left(X_{3}=M_{3}\right)一种nd\mathrm{P}\left(M_{4}>M_{3}\right)$。

练习 4.4 让X吨=∑ķ=1吨从ķ是一个一般的随机游走吨=1,2,…,X0=0, 和从1,从2,…与曾是⁡(从一世=1). 计算心电图⁡(Xs,X吨).

练习 4.5 让X吨=∑ķ=1吨从ķ是一个一般的随机游走吨=1,2,…,X0=0, 和从1,从2,…是独立同分布和对称随机变量。证明
$$
\mathrm{P}\left(\max {i \leq t}\left|X {i}\right|>a\right) \leq 2 \mathrm{P}\left(\left|X_ {t}\right|>a\right)
$$
练习 4.6 众所周知,核密度估计FH^(X)= n−1∑一世=1nķH(X−X一世)是有偏见的。因此,核密度估计与真实(例如正态)密度的分析形式的比较可能会产生误导。人们宁愿将假设密度与期望值进行比较 $\mathrm{E} {\hat{f} {h}}(x)d和ns一世吨是G一世在和n一种sg(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} K_{h}(xu) f(u) du在H和r和f(u)一世s吨H和吨r在和d和ns一世吨是.一世ll在s吨r一种吨和吨H一世sF一种C吨在一世吨H一种s吨一种nd一种rdn这r米一种ld一世s吨r一世b在吨一世这n.磷l这吨吨H和吨r在和d和ns一世吨是F Aķ和rn和ld和ns一世吨是和s吨一世米一种吨和一种ndb一世一种sC这rr和C吨和dd和ns一世吨是克$。

练习 4.7 考虑一个二项式过程Xl=∑ķ=1吨从ķ为了吨=1,2,…, X0=0,具有状态相关的增量。让磷(从l=1)=p(Xl−1)= 1/(2|X吨−1|+1)如果Xl−1≥=0和磷(从l=1)=p(X吨−1)=1−1/(2|X吨−1|+1)除此以外。完成设置磷(从l=−1)=1−p(Xl−1). 计算分布X吨前五个步骤。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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