统计代写|金融统计代写financial statistics代考| Stochastic Processes in Discrete Time

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金融统计学是研究金融现象数量方面的方法论学科,金融现象是经济现象的一个组成部分。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|金融统计代写financial statistics代考| Stochastic Processes in Discrete Time

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|Binomial Processes

One of the simplest stochastic processes is an ordinary random walk, a process whose increments $Z_{l}=X_{l}-X_{l-1}$ from time $t-1$ to time $t$ take exclusively the values $+1$ or $-1$. Additionally, we assume the increments to be i.i.d. and independent of the starting value $X_{0}$. Hence, the ordinary random walk can be written as:
$$
X_{l}=X_{0}+\sum_{k=1}^{l} Z_{k} \quad, t=1,2, \ldots
$$
$X_{0}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ independent and
$$
\mathrm{P}\left(Z_{k}=1\right)=p \quad, \quad \mathrm{P}\left(Z_{k}=-1\right)=1-p \quad \text { for all } k .
$$
Letting the process go up by $u$ and go down by $d$, instead, we obtain a more general class of binomial processes:
$$
\mathrm{P}\left(Z_{k}=u\right)=p, \quad \mathrm{P}\left(Z_{k}=-d\right)=1-p \quad \text { for all } k,
$$

where $u$ and $d$ are constant ( $u=$ up, $d=$ down).
Linear interpolation of the points $\left(t, X_{l}\right)$ reflects the time evolution of the process and is called a path of an ordinary random walk. Starting in $X_{0}=a$, the process moves on the grid of points $\left(t, b_{t}\right), t=0,1,2, \ldots, b_{t}=a-t, a-t+1, \ldots, a+t$. Up to time $t, X_{L}$ can grow at most up to $a+t$ (if $Z_{1}=\ldots=Z_{l}=1$ ) or can fall at least to $a-t$ (if $Z_{1}=\ldots=Z_{l}=-1$ ). Three paths of an ordinary random walk are shown in Figs. $4.1(p=0.5), 4.2(p=0.4)$ and $4.3(p=0.6)$.

For generalized binomial processes the grid of possible paths is more complicated. The values which the process $X_{l}$ starting in $a$ can possibly take up to time $t$ are given by
$$
b_{t}=a+n \cdot u-m \cdot d, \text { where } n, m \geq 0, \quad n+m=t .
$$
If, from time 0 to time $t$, the process goes up $n$ times and goes down $m$ times then $X_{t}=a+n \cdot u-m \cdot d$. That is, $n$ of $t$ increments $Z_{1}, \ldots, Z_{t}$ takes the value $u$, and $m$ increments take the value $-d$. The grid of possible paths is also called a binomial tree.

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|Trinomial Processes

In contrast to binomial processes, a trinomial process allows a quantity to stay constant within a given period of time. In the latter case, the increments are described by:
$$
\mathrm{P}\left(Z_{k}=u\right)=p, \mathrm{P}\left(Z_{k}=-d\right)=q, \mathrm{P}\left(Z_{k}=0\right)=r=1-p-q,
$$
and the process $X_{L}$ is again given by:
$$
X_{l}=X_{0}+\sum_{k=1}^{t} Z_{k}
$$
where $X_{0}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ are mutually independent. To solve the Black-Scholes equation, some algorithms use trinomial schemes with time and state dependent probabilities $p, q$ and $r$. Figure $4.5$ shows five simulated paths of a trinomial process with $u=d=1$ and $p=q=0.25$.

Fig. 4.5 Five paths of a trinomial process with $p=q=0.25 .(2 \sigma)$-Intervals around the trend (which is zero) are given as well

Q SFETrinomp
The exact distribution of $X_{t}$ cannot be derived from the binomial distribution but for the trinomial process a similar relations hold:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}\left[X_{l}\right] &=\mathrm{E}\left[X_{0}\right]+t \cdot \mathrm{E}\left[Z_{1}\right]=\mathrm{E}\left[X_{0}\right]+t \cdot(p u-q d) \
\operatorname{Var}\left(X_{l}\right) &=\operatorname{Var}\left(X_{0}\right)+t \cdot \operatorname{Var}\left(Z_{1}\right), \text { where } \
\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right) &=p(1-p) u^{2}+q(1-q) d^{2}+2 p q u d
\end{aligned}
$$
For large $t, X_{l}$ is approximately $\mathrm{N}\left{\mathrm{E}\left[X_{l}\right], \operatorname{Var}\left(X_{l}\right)\right}$-distributed.

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|General Random Walks

Binomial and trinomial processes are simple examples for general random walks, i.e. stochastic processes $\left{X_{l} ; t \geq 0\right}$ satisfying:
$$
X_{t}=X_{0}+\sum_{k=1}^{t} Z_{k}, \quad t=1,2, \ldots
$$
where $X_{0}$ is independent of $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ which are i.i.d. The increments have a distribution of a real valued random variable. $Z_{k}$ can take a finite or countably infinite number of values; but it is also possible for $Z_{k}$ to take values out of a continuous set.

As an example, consider a Gaussian random walk with $X_{0}=0$, where the finitely many $X_{1}, \ldots, X_{l}$ are jointly normally distributed. Such a random walk can be constructed by assuming identically, independently and normally distributed increments. By the properties of the normal distribution, it follows that $X_{l}$ is $\mathrm{N}\left(\mu t, \sigma^{2} t\right)$-distributed for each $t$. If $X_{0}=0$ and $\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)$ is finite, it holds approximately for all random walks for $t$ large enough:
$$
\mathcal{L}\left(X_{t}\right) \approx \mathrm{N}\left(t \cdot \mathrm{E}\left[Z_{1}\right], t \cdot \operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)\right)
$$
This result follows directly from the central limit theorem for i.i.d. random variables.
Random walks are processes with independent increments. That means, the increment $Z_{t+1}$ of the process from time $t$ to time $t+1$ is independent of the past values $X_{0}, \ldots, X_{t}$ up to time $t$. In general, it holds for any $s>0$ that the increment of the process from time $t$ to time $t+s$
$$
X_{t+s}-X_{t}=Z_{t+1}+\ldots+Z_{t+s}
$$
is independent of $X_{0}, \ldots, X_{t}$. It follows that the best prediction, in terms of mean squared error, for $X_{t+1}$ given $X_{0}, \ldots, X_{t}$ is just $X_{t}+\mathrm{E}\left[Z_{t+1}\right]$. As long as the price of only one stock is considered, this prediction rule works quite well. As already as 100 years ago, Bachelier postulated (assuming $\mathrm{E}\left[Z_{k}\right]=0$ for all $k$ ): “The best prediction for the stock price of tomorrow is the price of today.”

Processes with independent increments are also Markov-processes. In other words, the future evolution of the process in time $t$ depends exclusively on $X_{L}$, and the value of $X_{t}$ is independent of the past values $X_{0}, \ldots, X_{t-1}$. If the increments $Z_{k}$ and the starting value $X_{0}$, and hence all $X_{t}$, can take a finite or countably infinite number of values, then the Markov-property is formally expressed by:
$$
\begin{gathered}
\mathrm{P}\left(a_{t+1}<X_{t+1}<b_{t+1} \mid X_{l}=c, a_{t-1}<X_{t-1}<b_{t-1}, \ldots, a_{0}<X_{0}<b_{0}\right) \
=\mathrm{P}\left(a_{t+1}<X_{t+1}<b_{t+1} \mid X_{t}=c\right)
\end{gathered}
$$
If $X_{t}=c$ is known, additional information about $X_{0}, \ldots, X_{l-1}$ does not influence the opinion about the range in which $X_{I}$ will probably fall.

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金融统计代写

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|Binomial Processes

最简单的随机过程之一是普通的随机游走,它的增量为从l=Xl−Xl−1从时间吨−1到时间吨只取值+1或者−1. 此外,我们假设增量是 iid 并且独立于起始值X0. 因此,普通的随机游走可以写成:
Xl=X0+∑ķ=1l从ķ,吨=1,2,…
X0,从1,从2,…独立和
磷(从ķ=1)=p,磷(从ķ=−1)=1−p 对全部 ķ.
让进程上升在然后往下走d,相反,我们获得了一类更一般的二项式过程:
磷(从ķ=在)=p,磷(从ķ=−d)=1−p 对全部 ķ,

在哪里在和d是常数(在=向上,d=向下)。
点的线性插值(吨,Xl)反映过程的时间演化,称为普通随机游走路径。开始于X0=一种, 过程在点的网格上移动(吨,b吨),吨=0,1,2,…,b吨=一种−吨,一种−吨+1,…,一种+吨. 及时吨,X大号最多可以长到一种+吨(如果从1=…=从l=1) 或至少可以下降到一种−吨(如果从1=…=从l=−1)。普通随机游走的三个路径如图 1 和图 3 所示。4.1(p=0.5),4.2(p=0.4)和4.3(p=0.6).

对于广义二项式过程,可能路径的网格更为复杂。过程中的价值观Xl开始于一种可能需要很长时间吨由
b吨=一种+n⋅在−米⋅d, 在哪里 n,米≥0,n+米=吨.
如果,从时间 0 到时间吨, 进程上升n次和下降米次次X吨=一种+n⋅在−米⋅d. 那是,n的吨增量从1,…,从吨取值在, 和米增量取值−d. 可能路径的网格也称为二叉树。

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|Trinomial Processes

与二项式过程相比,三项式过程允许一个量在给定的时间段内保持不变。在后一种情况下,增量由以下方式描述:
磷(从ķ=在)=p,磷(从ķ=−d)=q,磷(从ķ=0)=r=1−p−q,
和过程X大号再次给出:
Xl=X0+∑ķ=1吨从ķ
在哪里X0,从1,从2,…是相互独立的。为了求解 Black-Scholes 方程,一些算法使用具有时间和状态相关概率的三项式方案p,q和r. 数字4.5显示了三项式过程的五个模拟路径在=d=1和p=q=0.25.

图 4.5 三项式过程的五条路径p=q=0.25.(2σ)- 还给出了趋势周围的区间(为零)

Q SFETrinomp
的精确分布X吨不能从二项分布推导出,但对于三项过程,类似的关系成立:
和[Xl]=和[X0]+吨⋅和[从1]=和[X0]+吨⋅(p在−qd) 曾是⁡(Xl)=曾是⁡(X0)+吨⋅曾是⁡(从1), 在哪里  曾是⁡(从1)=p(1−p)在2+q(1−q)d2+2pq在d
对于大吨,Xl大约是\mathrm{N}\left{\mathrm{E}\left[X_{l}\right], \operatorname{Var}\left(X_{l}\right)\right}\mathrm{N}\left{\mathrm{E}\left[X_{l}\right], \operatorname{Var}\left(X_{l}\right)\right}-分散式。

统计代写|金融统计代写financial statistics代考|General Random Walks

二项式和三项式过程是一般随机游走的简单示例,即随机过程\左{X_{l} ; t \geq 0\右}\左{X_{l} ; t \geq 0\右}满足:
X吨=X0+∑ķ=1吨从ķ,吨=1,2,…
在哪里X0独立于从1,从2,…这是 iid 增量具有实值随机变量的分布。从ķ可以取有限或可数无限个值;但也有可能从ķ从连续集合中取出值。

例如,考虑一个高斯随机游走X0=0,其中有限多X1,…,Xl是联合正态分布的。这种随机游走可以通过假设相同、独立和正态分布的增量来构建。根据正态分布的性质,可以得出Xl是ñ(μ吨,σ2吨)- 分配给每个人吨. 如果X0=0和曾是⁡(从1)是有限的,它大约适用于所有随机游走吨足够大:
大号(X吨)≈ñ(吨⋅和[从1],吨⋅曾是⁡(从1))
这个结果直接来自独立同分布随机变量的中心极限定理。
随机游走是具有独立增量的过程。也就是说,增量从吨+1从时间的过程吨到时间吨+1独立于过去的值X0,…,X吨及时吨. 一般来说,它适用于任何s>0过程随着时间的增加吨到时间吨+s
X吨+s−X吨=从吨+1+…+从吨+s
独立于X0,…,X吨. 因此,就均方误差而言,最佳预测为X吨+1给定X0,…,X吨只是X吨+和[从吨+1]. 只要只考虑一只股票的价格,这个预测规则就很有效。早在 100 年前,Bachelier 就假设(假设和[从ķ]=0对全部ķ):“对明天股票价格的最佳预测是今天的价格。”

具有独立增量的过程也是马尔可夫过程。换言之,该过程在时间上的未来演变吨完全取决于X大号,以及X吨独立于过去的值X0,…,X吨−1. 如果增量从ķ和起始值X0,因此所有X吨, 可以取有限或可数无限个值,则马尔可夫性质正式表示为:
磷(一种吨+1<X吨+1<b吨+1∣Xl=C,一种吨−1<X吨−1<b吨−1,…,一种0<X0<b0) =磷(一种吨+1<X吨+1<b吨+1∣X吨=C)
如果X吨=C已知,有关的附加信息X0,…,Xl−1不影响关于范围的意见X一世可能会跌倒。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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