统计代写|金融统计代写Mathematics with Statistics for Finance代考|VARIANCE AND STANDARD DEVIATION

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金融统计描述了应用数学和数学模型来解决金融问题。它有时被称为定量金融,金融工程,和计算金融。

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  • Advanced Probability Theory 高等楖率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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统计代写|金融统计代写Mathematics with Statistics for Finance代考|VARIANCE AND STANDARD DEVIATION

The variance of a random variable measures how noisy or unpredictable that random variable is. Variance is defined as the expected value of the difference between the variable and its mean squared:
$$
\sigma^{2}=E\left[(X-\mu)^{2}\right]
$$
where $\sigma^{2}$ is the variance of the random variable $X$ with mean $\mu$.
The square root of variance, typically denoted by $\sigma$, is called standard deviation. In finance we often refer to standard deviation as volatility. This is analogous to referring to the mean as the average. Standard deviation is a mathematically precise term, whereas volatility is a more general concept.In the previous example, we were calculating the population variance and standard deviation. $A l l$ of the possible outcomes for the derivative were known.

To calculate the sample variance of a random variable $X$ based on $n$ observations, $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, we can use the following formula:
$$
E\left[\sigma_{x}^{2}\right]=\hat{\sigma}{x}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum{i=1}^{n}\left(x_{i}-\hat{\mu}{x}\right)^{2} $$ where $\hat{\mu}{x}$ is the sample mean from Equation 3.2. Given that we have $n$ data points, it might seem odd that we are dividing the sum by $(n-1)$ and not $n$. The reason has to do with the fact that $\hat{\mu}{x}$ itself is an estimate of the true mean, which also contains a fraction of each $x{i}$. We leave the proof for a problem at the end of the chapter, but it turns out that dividing by $(n-1)$, not $n$, produces an unbiased estimate of $\sigma^{2}$. If the mean is known or we are calculating the population variance, then we divide by $n$. If instead the mean is also being estimated, then we divide by $n-1$.

Equation $3.18$ can easily be rearranged as follows (we leave the proof of this for an exercise, too):
$$
\sigma^{2}=E\left[X^{2}\right]-\mu^{2}=E\left[X^{2}\right]-E[X]^{2}
$$
Note that variance can be nonzero only if $E\left[X^{2}\right] \neq E[X]^{2}$.
When writing computer programs, this last version of the variance formula is often useful, since it allows you to calculate the mean and the variance in the same loop. Also, in finance it is often convenient to assume that the mean of a random variable is close to zero. For example, based on theory, we might expect the spread between two equity indexes to have a mean of zero in the long run. In this case, the variance is simply the mean of the squared returns.

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It is often convenient to work with variables where the mean is zero and the standard deviation is one. From the preceding section it is not difficult to prove that, given a random variable $X$ with mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$, we can define a second random variable $Y$ :
$$
Y=\frac{X-\mu}{\sigma}
$$
such that $Y$ will have a mean of zero and a standard deviation of one. We say that $X$ has been standardized, or that $Y$ is a standard random variable. In practice, if we have a data set and we want to standardize it, we first compute the sample mean and the standard deviation. Then, for each data point, we subtract the mean and divide by the standard deviation.

The inverse transformation can also be very useful when it comes to creating computer simulations. Simulations often begin with standardized variables, which need to be transformed into variables with a specific mean and standard deviation. In this case, we simply take the output from the standardized variable, multiply by the desired standard deviation, and then add the desired mean. The order is important. Adding a constant to a random variable will not change the standard deviation, but multiplying a non-meanzero variable by a constant will change the mean.

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Up until now we have mostly been looking at statistics that summarize one variable. In risk management, we often want to describe the relationship between two random variables. For example, is there a relationship between the returns of an equity and the returns of a market index?

Covariance is analogous to variance, but instead of looking at the deviation from the mean of one variable, we are going to look at the relationship between the deviations of two variables:
$$
\sigma_{X Y}=E\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]
$$
where $\sigma_{X Y}$ is the covariance between two random variables, $X$ and $Y$, with means $\mu_{X}$ and $\mu_{Y}$, respectively. As you can see from the definition, variance is just a special case of covariance. Variance is the covariance of a variable with itself.

If $X$ tends to be above $\mu_{X}$ when $Y$ is above $\mu_{Y}$ (both deviations are positive), and $X$ tends to be below $\mu_{X}$ when $Y$ is below $\mu_{Y}$ (both deviations are negative), then the covariance will be positive (a positive number multiplied by a positive number is positive; likewise, for two negative numbers). If the opposite is true and the deviations tend to be of opposite sign, then the covariance will be negative. If the deviations have no discernible relationship, then the covariance will be zero.

Earlier in this chapter, we cautioned that the expectations operator is not generally multiplicative. This fact turns out to be closely related to the concept of covariance. Just as we rewrote our variance equation earlier, we can rewrite Equation $3.25$ as follows:
$$
\sigma_{X Y}=E\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]=E[X Y]-\mu_{X} \mu_{Y}=E[X Y]-E[X] E[Y]
$$
In the special case where the covariance between $X$ and $Y$ is zero, the expected value of $X Y$ is equal to the expected value of $X$ multiplied by the expected value of $Y$ :
$$
\sigma_{X Y}=0 \Rightarrow E[X Y]=E[X] E[Y]
$$
If the covariance is anything other than zero, then the two sides of this equation cannot be equal. Unless we know that the covariance between two variables is zero, we cannot assume that the expectations operator is multiplicative.

In order to calculate the covariance between two random variables, $X$ and $Y$, assuming the means of both variables are known, we can use the following formula:
$$
\hat{\sigma}{X, Y}=\frac{1}{n} \sum{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu_{X}\right)\left(y_{i}-\mu_{Y}\right)
$$
If the means are unknown and must also be estimated, we replace $n$ with $(n-1)$ :
$$
\hat{\sigma}{X, Y}=\frac{1}{n-1} \sum{i=1}^{n}\left(x_{i}-\hat{\mu}{X}\right)\left(y{i}-\hat{\mu}{Y}\right) $$ If we replaced $y{i}$ in these formulas with $x_{i}$, calculating the covariance of $X$ with itself, the resulting equations would be the same as the equations for calculating variance from the previous section.

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金融统计代写

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随机变量的方差衡量该随机变量的噪声或不可预测程度。方差定义为变量与其均方之差的期望值:
σ2=和[(X−μ)2]
在哪里σ2是随机变量的方差X平均μ.
方差的平方根,通常表示为σ,称为标准差。在金融领域,我们经常将标准差称为波动率。这类似于将平均值称为平均值。标准差是一个数学上精确的术语,而波动性是一个更一般的概念。在前面的例子中,我们计算了总体方差和标准差。一种ll衍生产品的可能结果是已知的。

计算随机变量的样本方差X基于n观察,X1,X2,…,Xn,我们可以使用以下公式:
和[σX2]=σ^X2=1n−1∑一世=1n(X一世−μ^X)2在哪里μ^X是来自公式 3.2 的样本均值。鉴于我们有n数据点,我们将总和除以(n−1)并不是n. 原因与以下事实有关μ^X本身是对真实均值的估计,其中还包含每个均值的一小部分X一世. 我们将一个问题的证明留​​在本章末尾,但事实证明除以(n−1), 不是n, 产生一个无偏估计σ2. 如果均值已知或者我们正在计算总体方差,那么我们除以n. 相反,如果平均值也在估计,那么我们除以n−1.

方程3.18可以很容易地重新排列如下(我们也将这个证明留给练习):
σ2=和[X2]−μ2=和[X2]−和[X]2
请注意,只有当和[X2]≠和[X]2.
在编写计算机程序时,最后一个版本的方差公式通常很有用,因为它允许您在同一循环中计算均值和方差。此外,在金融领域,假设随机变量的平均值接近于零通常很方便。例如,根据理论,我们可能预计两个股票指数之间的价差在长期内的平均值为零。在这种情况下,方差只是收益平方的平均值。

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使用平均值为零且标准差为 1 的变量通常很方便。从上一节不难证明,给定一个随机变量X平均μ和标准差σ,我们可以定义第二个随机变量是 :
是=X−μσ
这样是平均值为零,标准差为一。我们说X已经标准化,或者是是标准随机变量。在实践中,如果我们有一个数据集并且想要对其进行标准化,我们首先计算样本均值和标准差。然后,对于每个数据点,我们减去平均值并除以标准差。

在创建计算机模拟时,逆变换也非常有用。模拟通常从标准化变量开始,需要将其转换为具有特定均值和标准差的变量。在这种情况下,我们只需从标准化变量中获取输出,乘以所需的标准差,然后加上所需的均值。顺序很重要。将常数添加到随机变量不会改变标准差,但将非均值零变量乘以常数会改变均值。

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到目前为止,我们主要关注的是总结一个变量的统计数据。在风险管理中,我们经常要描述两个随机变量之间的关系。例如,股票收益与市场指数收益之间是否存在关系?

协方差类似于方差,但不是查看与一个变量均值的偏差,而是查看两个变量的偏差之间的关系:
σX是=和[(X−μX)(是−μ是)]
在哪里σX是是两个随机变量之间的协方差,X和是, 均值μX和μ是, 分别。从定义中可以看出,方差只是协方差的一种特例。方差是变量与其自身的协方差。

如果X往往高于μX什么时候是在上面μ是(两个偏差都是正的),和X往往低于μX什么时候是在下面μ是(两个偏差都是负数),那么协方差将为正数(正数乘以正数是正数;同样,对于两个负数)。如果相反的情况是正确的并且偏差往往是相反的符号,那么协方差将为负。如果偏差没有可辨别的关系,则协方差将为零。

在本章前面,我们警告过期望运算符通常不是乘法的。事实证明,这一事实与协方差的概念密切相关。就像我们之前重写方差方程一样,我们可以重写方程3.25如下:
σX是=和[(X−μX)(是−μ是)]=和[X是]−μXμ是=和[X是]−和[X]和[是]
在特殊情况下,之间的协方差X和是为零,期望值为X是等于期望值X乘以期望值是 :
σX是=0⇒和[X是]=和[X]和[是]
如果协方差不为零,则该等式的两侧不能相等。除非我们知道两个变量之间的协方差为零,否则我们不能假设期望算子是乘法的。

为了计算两个随机变量之间的协方差,X和是,假设两个变量的均值已知,我们可以使用以下公式:
σ^X,是=1n∑一世=1n(X一世−μX)(是一世−μ是)
如果方法未知并且还必须估计,我们替换n和(n−1) :
σ^X,是=1n−1∑一世=1n(X一世−μ^X)(是一世−μ^是)如果我们更换是一世在这些公式中X一世, 计算协方差X就其本身而言,得到的方程与上一节计算方差的方程相同。

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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