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随机信号处理是一种将信号视为随机过程的方法，利用其统计特性来执行信号处理任务。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Independence
Given a probability space $(\Omega, F, P)$, two events $F$ and $G$ are defined to be independent if $P(F \cap G)=P(F) P(G)$. A collection of events $\left{F_{i} ; i=\right.$ $0,1, \ldots, k-1}$ is said to be independent or mutually independent if for any distinct subcollection $\left{F_{I_{i}} ; i=0,1, \ldots, m-1\right}, l_{m} \leq k$, we have that
$$
P\left(\prod_{i=0}^{m-1} F_{l_{i}}\right)=\prod_{i=0}^{m-1} P\left(F_{l_{i}}\right) .
$$
In words: the probability of the intersection of any subcollection of the given events equals the product of the probabilities of the separate events. Unfortunately it is not enough to simply require that $P\left(\bigcap_{i=0}^{k-1} F_{i}\right)=\prod_{i=0}^{k-1} P\left(F_{i}\right)$
as this does not imply a similar result for all possible subcollections of events, which is what will be needed. For example, consider the following case where $P(F \cap G \cap H)=P(F) P(G) P(H)$ for three events $F$, $G$, and $H$, yet it is not true that $P(F \cap G)=P(F) P(G)$
$$
\begin{aligned}
P(F) &=P(G)=P(H)=\frac{1}{3} \
P(F \cap G \cap H) &=\frac{1}{27}=P(F) P(G) P(H) \
P(F \cap G) &=P(G \cap H)=P(F \cap H)=\frac{1}{27} \neq P(F) P(G) .
\end{aligned}
$$
The example places zero probability on the overlap $F \cap G$ except where it also overlaps $H$, i.e., $P\left(F \cap G \cap H^{c}\right)=0$. Thus in this case $P(F \cap G \cap H)=$ $P(F) P(G) P(H)=1 / 27$, but $P(F \cap G)=1 / 27 \neq P(F) P(G)=1 / 9$.
The concept of independence in the probabilistic sense we have defined relates easily to the intuitive idea of independence of physical events. For example, if a fair die is rolled twice, one would expect the second roll to be unrelated to the first roll because there is no physical connection between the individual outcomes. Independence in the probabilistic sense is reflected in this experiment. The probability of any given outcome for either of the individual rolls is $1 / 6$. The probability of any given pair of outcomes is $(1 / 6)^{2}=1 / 36$ – the addition of a second outcome diminishes the overall probability by exactly the probability of the individual event, viz., $1 / 6$. Note that the probabilities are not added – the probability of two successive outcomes cannot reasonably be greater than the probability of either of the outcomes alone. Do not, however, confuse the concept of independence with the concept of disjoint or mutually exclusive events. If you roll the die once, the event the roll is a one is not independent of the event the roll is a six. Given one event, the other cannot happen they are neither physically nor probabilistically independent. These are mutually exclusive events.
统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Elementary Conditional Probability
Intuitively, independence of two events means that the occurrence of one event should not affect the occurrence of the other. For example, the knowledge of the outcome of the first roll of a die should not change the probabilities for the outcome of the second roll of the die if the die has no memory. To be more precise, the notion of conditional probability is required. Consider the following motivation. Suppose that $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is a probability space and that an observer is told that an event $G$ has already occurred. The
observer thus has a posteriori knowledge of the experiment. The observer is then asked to calculate the probability of another event $F$ given this information. We will denote this probability of $F$ given $G$ by $P(F \mid G)$. Thus instead of the a priori or unconditional probability $P(F)$, the observer must compute the a posteriori or conditional probability $P(F \mid G)$, read as “the probability that event $F$ occurs given that the event $G$ occurred.” For a fixed $G$ the observer should be able to find $P(F \mid G)$ for all events $F$, thus the observer is in fact being asked to describe a new probability measure, say $P_{G}$, on $(\Omega, \mathcal{F})$. How should this be defined? Intuition will lead to a useful definition and this definition will indeed provide a useful interpretation of independence.
First, since the observer has been told that $G$ has occurred and hence $\omega \in G$, clearly the new probability measure $P_{G}$ must assign zero probability to the set of all $\omega$ outside of $G$, that is, we should have
$$
P\left(G^{c} \mid G\right)=0
$$
or, equivalently,
$$
P(G \mid G)=1 .
$$
Eq. (2.91) plus the axioms of probability in turn imply that
$$
P(F \mid G)=P\left(F \cap\left(G \cup G^{c}\right) \mid G\right)=P(F \cap G \mid G) .
$$
Second, there is no reason to suspect that the relative probabilities within $G$ should change because of the conditioning. For example, if an event $F \subset G$ is twice as probable as an event $H \subset G$ with respect to $P$, then the same should be true with respect to $P_{G}$. For arbitrary events $F$ and $H$, the events $F \cap G$ and $H \cap G$ are both in $G$, and hence this preservation of relative probability implies that
$$
\frac{P(F \cap G \mid G)}{P(H \cap G \mid G)}=\frac{P(F \cap G)}{P(H \cap G)} .
$$
But if we take $H=\Omega$ in this formula and use (2.92)-(2.93), we have that
$$
P(F \mid G)=P(F \cap G \mid G)=\frac{P(F \cap G)}{P(G)},
$$
which is in fact the formula we now use to define the conditional probability of the event $F$ given the event $G$. The conditional probability can be interpreted as “cutting down” the original probability space to a probability space with the smaller sample space $G$ and with probabilities equal to the renormalized probabilities of the intersection of events with the given event $G$ on the original space.
统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Problems
- Suppose that you have a set function $P$ defined for all subsets $F \subset \Omega$ of a sample space $\Omega$ and suppose that you know that this set function satisfies (2.7-2.9). Show that for arbitrary (not necessarily disjoint) events.
$$
P(F \cup G)=P(F)+P(G)-P(F \cap G) .
$$ - Describe the sigma-field of subsets of $\Re$ generated by the points or singleton sets. Does this sigma-field contain intervals of the form $(a, b)$ for $b>a$ ?
- Given a finite subset $A$ of the real line $\Re$, prove that the power set of $A$ and $\mathcal{B}(A)$ are the same. Repeat for a countably infinite subset of $\Re$.
- Given that the discrete sample space $\Omega$ has $n$ elements, show that the power set of $\Omega$ consists of $2^{n}$ elements.
- ${ }^{*}$ Let $\Omega=\Re$, the real line, and consider the collection $\mathcal{F}$ of subsets of $\Re$ defined as all sets of the form
$$
\bigcup_{i=0}^{k}\left(a_{i}, b_{i}\right] \cup \bigcup_{j=0}^{m}\left(c_{j}, d_{j}\right]^{e}
$$
for all possible choices of nonnegative integers $k$ and $m$ and all possible choices of real numbers $a_{i}<b_{i}, c_{i}<d_{i}$. If $k$ or $m$ is 0 , then the respective unions are defined to be empty so that the empty set itself has the form given. In other words, $\mathcal{F}$ contains all possible finite unions of half-open intervals of this form and complements of such half-open intervals. Every set of this form is in $\mathcal{F}$ and every set in $\mathcal{F}$ has this form. Prove that $\mathcal{F}$ is a field of subsets of $\Omega$. Does $\mathcal{F}$ contain the points? For example, is the singleton set ${0}$ in $\mathcal{F}$ ? Is $\mathcal{F}$ a sigma-field? - Let $\Omega=[0, \infty)$ be a sample space and let $\mathcal{F}$ be the sigma-field of subsets of $\Omega$ generated by all sets of the form $(n, n+1)$ for $n=1,2, \ldots$
信号处理代写
统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Independence
给定一个概率空间(Ω,F,磷), 两个事件F和G被定义为独立的，如果磷(F∩G)=磷(F)磷(G). 事件集合\左{F_{i} ; i=\right.$ $0,1, \ldots, k-1}\左{F_{i} ; i=\right.$ $0,1, \ldots, k-1}如果对于任何不同的子集合，则称它们是独立的或相互独立的\left{F_{I_{i}} ; i=0,1, \ldots, m-1\right}, l_{m} \leq k\left{F_{I_{i}} ; i=0,1, \ldots, m-1\right}, l_{m} \leq k, 我们有
磷(∏一世=0米−1Fl一世)=∏一世=0米−1磷(Fl一世).
换句话说：给定事件的任何子集合的交集的概率等于单独事件的概率的乘积。不幸的是，仅仅要求它是不够的磷(⋂一世=0ķ−1F一世)=∏一世=0ķ−1磷(F一世)
因为这并不意味着所有可能的事件子集合都有类似的结果，而这正是我们所需要的。例如，考虑以下情况磷(F∩G∩H)=磷(F)磷(G)磷(H)三个事件F, G， 和H，但事实并非如此磷(F∩G)=磷(F)磷(G)
磷(F)=磷(G)=磷(H)=13 磷(F∩G∩H)=127=磷(F)磷(G)磷(H) 磷(F∩G)=磷(G∩H)=磷(F∩H)=127≠磷(F)磷(G).
该示例在重叠上放置零概率F∩G除了它也重叠的地方H， IE，磷(F∩G∩HC)=0. 因此在这种情况下磷(F∩G∩H)= 磷(F)磷(G)磷(H)=1/27， 但磷(F∩G)=1/27≠磷(F)磷(G)=1/9.
我们定义的概率意义上的独立性概念很容易与物理事件独立性的直观概念相关。例如，如果一个公平骰子掷了两次，人们会认为第二次掷骰与第一次掷骰无关，因为各个结果之间没有物理联系。本实验反映了概率意义上的独立性。对于任何一个单独的掷骰，任何给定结果的概率是1/6. 任何给定结果对的概率是(1/6)2=1/36– 添加第二个结果会通过单个事件的概率精确地降低整体概率，即，1/6. 请注意，没有添加概率 – 两个连续结果的概率不能合理地大于任何一个结果的概率。但是，不要将独立的概念与不相交或相互排斥的事件的概念混为一谈。如果您掷骰子一次，则掷骰为 1 的事件与掷骰为 6 的事件无关。给定一个事件，另一个事件不可能发生，它们既不是物理独立的，也不是概率独立的。这些是相互排斥的事件。
统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Elementary Conditional Probability
直观地说，两个事件的独立性意味着一个事件的发生不应该影响另一个事件的发生。例如，如果骰子没有记忆，则知道第一次掷骰子的结果不应该改变第二次掷骰子的结果的概率。更准确地说，需要条件概率的概念。考虑以下动机。假设(Ω,F,磷)是一个概率空间，观察者被告知一个事件G已经发生了。这
因此，观察者对实验有后验知识。然后要求观察者计算另一个事件的概率F鉴于此信息。我们将表示这个概率F给定G经过磷(F∣G). 因此，而不是先验或无条件概率磷(F)，观察者必须计算后验概率或条件概率磷(F∣G)，读作“该事件的概率F鉴于该事件发生G发生了。” 对于一个固定G观察者应该能够找到磷(F∣G)对于所有事件F，因此实际上要求观察者描述一种新的概率测度，例如磷G， 在(Ω,F). 这应该如何定义？直觉会导致一个有用的定义，而这个定义确实会为独立性提供一个有用的解释。
首先，因为观察者被告知G已经发生，因此ω∈G，显然是新的概率测度磷G必须将零概率分配给所有的集合ω在外面G，也就是说，我们应该有
磷(GC∣G)=0
或者，等效地，
磷(G∣G)=1.
方程。(2.91) 加上概率公理反过来意味着
磷(F∣G)=磷(F∩(G∪GC)∣G)=磷(F∩G∣G).
其次，没有理由怀疑内部的相对概率G应该因为空调而改变。例如，如果一个事件F⊂G是事件的两倍H⊂G关于磷, 那么对于磷G. 对于任意事件F和H， 事件F∩G和H∩G都在G，因此这种相对概率的保留意味着
磷(F∩G∣G)磷(H∩G∣G)=磷(F∩G)磷(H∩G).
但如果我们采取H=Ω在这个公式中并使用 (2.92)-(2.93)，我们有
磷(F∣G)=磷(F∩G∣G)=磷(F∩G)磷(G),
这实际上是我们现在用来定义事件条件概率的公式F鉴于事件G. 条件概率可以解释为将原来的概率空间“切割”成样本空间更小的概率空间G并且概率等于事件与给定事件相交的重新归一化概率G在原来的空间上。
统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Problems
- 假设你有一个集合函数磷为所有子集定义F⊂Ω一个样本空间Ω并假设你知道这个集合函数满足（2.7-2.9）。证明对于任意（不一定是不相交的）事件。
磷(F∪G)=磷(F)+磷(G)−磷(F∩G). - 描述子集的 sigma-fieldℜ由点或单例集生成。这个 sigma-field 是否包含形式的间隔(一种,b)为了b>一种 ?
- 给定一个有限子集一种实线的ℜ，证明幂集一种和乙(一种)是相同的。重复一个可数无限的子集ℜ.
- 鉴于离散样本空间Ω拥有n元素，表明幂集Ω由组成2n元素。
- ∗让Ω=ℜ，实线，并考虑集合F的子集ℜ定义为所有形式的集合
⋃一世=0ķ(一种一世,b一世]∪⋃j=0米(Cj,dj]和
对于所有可能的非负整数选择ķ和米以及所有可能的实数选择一种一世<b一世,C一世<d一世. 如果ķ或者米为 0 ，则相应的联合被定义为空，因此空集本身具有给定的形式。换句话说，F包含这种形式的半开区间的所有可能的有限并集和这种半开区间的补集. 此表格的每一组都在F和每一组F有这种形式。证明F是一个子集的域Ω. 做F包含点？例如，是单例集0在F? 是F西格玛场？ - 让Ω=[0,∞)是一个样本空间，让F是子集的 sigma 域Ω由所有形式的集合生成(n,n+1)为了n=1,2,…
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。