统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Probability Mass Functions

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随机信号处理是一种将信号视为随机过程的方法,利用其统计特性来执行信号处理任务。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Probability Mass Functions

统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Probability Mass Functions

A function $p(\omega)$ satisfying $(2.30)$ and $(2.31)$ is called a probability mass function or $p m f$. It is important to observe that the probability mass function is defined only for points in the sample space, while a probability measure is defined for events, sets which belong to an event space. Intuitively, the probability of a set is given by the sum of the probabilities of the points as given by the pmf. Obviously it is much easier to describe the probability function than the probability measure since it need only be specified for points. The axioms of probability then guarantee that the probability function can be used to compute the probability measure. Note that given one, we can always determine the other. In particular, given the pmf $p$, we can construct $P$ using (2.32). Given $P$, we can find the corresponding pmf $p$ from the formula
$$
p(\omega)=P({\omega}) .
$$
We list below several of the most common examples of pmf’s. The reader should verify that they are all indeed valid pmf’s, that is, that they satisfy (2.30) and (2.31).

Thẻ binăry pmó. $\Omega={0,1} ; p(0)=1-p p, p(1)=p$, whẻrè $p$ is à parameter in $(0,1)$.

A uniform pmf. $\Omega=\mathcal{Z}{n}={0,1, \ldots, n-1}$ and $p(k)=1 / n ; k \in \mathcal{Z}{n}$.
The binomial pmf. $\Omega=\mathcal{Z}{n+1}={0,1, \ldots, n}$ and $$ p(k)=\left(\begin{array}{c} n \ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} ; k \in \mathcal{Z}{n+1}
$$
where
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}
$$
is the binomial coefficient.
The binary pmf is a probability model for coin flipping with a biased coin or for a single sample of a binary data stream. A uniform pmf on $Z_{6}$ can model the roll of a fair die. Observe that it would not be a good model for ASCII data since, for example, the letters $t$ and $e$ and the symbol for space have a higher probability than other letters. The binomial pmf is a probability model for the number of heads in $n$ successive independent flips of a biased coin, as will later be soen.

统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Computational Examples

The various named pmf’s provide examples for computing probabilities and other expectations. Although much of this is prerequisite material, it does not hurt to collect several of the more useful tricks that arise in evaluating sums. The binary pmf is too simple to alone provide much interest, so first consider the uniform pmf on $\mathcal{Z}{n}$. This is trivially a valid pmf since it is nonnegative and sums to 1 . The probability of any set is simply $$ P(F)=\frac{1}{n} \sum 1{F}(\omega)=\frac{#(F)}{n}
$$

where $#(F)$ denotes the number of elements or points in the set $F$. The mean is given by
$$
m=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n+1}{2}
$$
a standard formula easily verified by induction, as detailed in appendix B. The second moment is given by
$$
\begin{aligned}
m^{(2)} &=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k^{2} \
&=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6}
\end{aligned}
$$
as can also be verified by induction. The variance can be found by combining (2.43), (2.42), and (2.41).

The binomial pmf is more complicated. The first issue is to prove that it sums to one and hence is a valid pmf (it is obviously nonnegative). This is accomplished by recalling the binomial theorem from high school algebra:
$$
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) a^{n} b^{n-k}
$$
and setting $a=p$ and $b=1-p$ to write
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{n} p(k) &=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n \
k
\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \
&=(p+1-p)^{n} \
&=1
\end{aligned}
$$
Finding moments is trickier here, and we shall later develop a much easier way to do this using exponential transforms. Nonetheless, it provides somẻ uiséful prácicicé tó compüté an exámplé sum, if only tó démonstraté later how much work can be avoided! Finding the mean requires evaluation of the sum
$$
\begin{aligned}
m &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{c}
n \
k
\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \
&=\sum_{k=0}^{n} \frac{n !}{(n-k) !(k-1) !} p^{k}(1-p)^{n-k} \
&=\sum_{k=1}^{n} \frac{n !}{(n-k) !(k-1) !} p^{k}(1-p)^{n-k}
\end{aligned}
$$

统计代写|随机信号处理作业代写Statistical Signal Processing代考|Multidimensional pmf ’s

While the foregoing ideas were developed for scalar sample spaces such as $\mathcal{Z}{+}$, they also apply to vector sample spaces. For example, if $A$ is a discrete space, then so is the vector space $A^{k}=\left{\right.$ all vectors $\mathrm{x}=\left(x{0}, \ldots x_{k-1}\right)$ with $\left.x_{i} \in A, i=0,1, \ldots, k-1\right}$. A common example of a pmf on vectors is the product pmf of the following example.
[2.15] The product pmf.
Let $p_{i} ; i=0,1, \ldots, k-1$, be a collection of one-dimensional pmf’s; that is, for each $i=0,1, \ldots, k-1 p_{i}(k) ; r \in A$ satisfies (2.30) and (2.31). Define the product $k=$ dimensional pmf $p$ on $A^{k}$ by
$$
p(\mathbf{x})=p\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right)=\prod_{i=0}^{k-1} p_{i}\left(x_{i}\right)
$$

As a more specific example, suppose that all of the marginal pmf’s are the same and are given by a Bernoulli pmf:
$$
p(x)=p^{x}(1-p)^{1-x} ; x=0,1 .
$$
Then the corresponding product pmf for a $k$ dimensional vector becomes
$$
\begin{aligned}
p\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right) &=\prod_{i=0}^{k-1} p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}} \
&=p^{w\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right)}(1-p)^{k-w\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right)}
\end{aligned}
$$
where $w\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right)$ is the number of ones occurring in the binary $k$-tuple $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}$, the Hamming weight of the vector.

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信号处理代写

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一个函数p(ω)令人满意的(2.30)和(2.31)称为概率质量函数或p米F. 重要的是要观察到概率质量函数仅针对样本空间中的点定义,而概率度量则针对事件定义,即属于事件空间的集合。直观地说,集合的概率由 pmf 给出的点的概率之和给出。显然,描述概率函数比描述概率度量要容易得多,因为它只需要为点指定。然后,概率公理保证概率函数可用于计算概率测度。请注意,给定一个,我们总是可以确定另一个。特别是,给定 pmfp,我们可以构造磷使用(2.32)。给定磷,我们可以找到对应的pmfp从公式
p(ω)=磷(ω).
我们在下面列出了几个最常见的 pmf 示例。读者应该验证它们确实都是有效的 pmf,也就是说,它们满足 (2.30) 和 (2.31)。

卡二进制 pmó。Ω=0,1;p(0)=1−pp,p(1)=p, 在哪里p是一个参数(0,1).

统一的 pmf。Ω=从n=0,1,…,n−1和p(ķ)=1/n;ķ∈从n.
二项式 pmf。Ω=从n+1=0,1,…,n和p(ķ)=(n ķ)pķ(1−p)n−ķ;ķ∈从n+1
在哪里
(n ķ)=n!ķ!(n−ķ)!
是二项式系数。
二进制 pmf 是一种概率模型,用于使用有偏差的硬币翻转硬币或用于二进制数据流的单个样本。一个统一的 pmf on从6可以模拟公平骰子的滚动。请注意,它不是 ASCII 数据的好模型,因为例如,字母吨和和并且空格符号比其他字母具有更高的概率。二项式 pmf 是正面数量的概率模型n有偏硬币的连续独立翻转,稍后将介绍。

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各种命名的 pmf 提供了计算概率和其他期望的示例。尽管其中大部分是必备材料,但收集一些在评估总和时出现的更有用的技巧并没有什么坏处。二进制 pmf 太简单,无法单独提供太大的兴趣,所以首先考虑统一 pmf on从n. 这通常是一个有效的 pmf,因为它是非负的并且总和为 1 。任何集合的概率很简单P(F)=\frac{1}{n} \sum 1{F}(\omega)=\frac{#(F)}{n}P(F)=\frac{1}{n} \sum 1{F}(\omega)=\frac{#(F)}{n}

在哪里#(F)#(F)表示集合中元素或点的数量F. 平均值由下式给出
米=1n∑ķ=1nķ=n+12
一个易于通过归纳验证的标准公式,详见附录 B。二阶矩由下式给出
米(2)=1n∑ķ=1nķ2 =(n+1)(2n+1)6
也可以通过归纳来验证。可以通过组合 (2.43)、(2.42) 和 (2.41) 来找到方差。

二项式 pmf 更复杂。第一个问题是证明它总和为 1,因此是一个有效的 pmf(它显然是非负的)。这是通过回忆高中代数中的二项式定理来实现的:
(一种+b)n=∑ķ=0n(n ķ)一种nbn−ķ
和设置一种=p和b=1−p来写
∑ķ=0np(ķ)=∑ķ=0n(n ķ)pķ(1−p)n−ķ =(p+1−p)n =1
在这里寻找时刻比较棘手,我们稍后将使用指数变换开发一种更简单的方法来做到这一点。尽管如此,它提供了一些有用的实践来计算一个示例和,如果只是为了稍后演示可以避免多少工作!求均值需要评估总和
米=∑ķ=0nķ(n ķ)pķ(1−p)n−ķ =∑ķ=0nn!(n−ķ)!(ķ−1)!pķ(1−p)n−ķ =∑ķ=1nn!(n−ķ)!(ķ−1)!pķ(1−p)n−ķ

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虽然上述想法是为标量样本空间开发的,例如从+,它们也适用于向量样本空间。例如,如果一种是离散空间,那么向量空间也是A^{k}=\left{\right.$ 所有向量 $\mathrm{x}=\left(x{0}, \ldots x_{k-1}\right)$ 和 $\left.x_{i } \in A, i=0,1, \ldots, k-1\right}A^{k}=\left{\right.$ 所有向量 $\mathrm{x}=\left(x{0}, \ldots x_{k-1}\right)$ 和 $\left.x_{i } \in A, i=0,1, \ldots, k-1\right}. 向量上的 pmf 的一个常见示例是以下示例的乘积 pmf。
[2.15] 产品 pmf。
让p一世;一世=0,1,…,ķ−1, 是一维 pmf 的集合;也就是说,对于每个一世=0,1,…,ķ−1p一世(ķ);r∈一种满足 (2.30) 和 (2.31)。定义产品ķ=维度pmfp在一种ķ经过
p(X)=p(X0,X1,…,Xķ−1)=∏一世=0ķ−1p一世(X一世)

作为更具体的示例,假设所有边际 pmf 都是相同的,并且由 Bernoulli pmf 给出:
p(X)=pX(1−p)1−X;X=0,1.
那么对应的产品pmf为一个ķ维向量变为
p(X0,X1,…,Xķ−1)=∏一世=0ķ−1pX一世(1−p)1−X一世 =p在(X0,X1,…,Xķ−1)(1−p)ķ−在(X0,X1,…,Xķ−1)
在哪里在(X0,X1,…,Xķ−1)是二进制文件中出现的个数ķ-元组X0,X1,…,Xķ−1,向量的汉明权重。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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