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统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Current Representations of Lie Algebras
Intuitively, if ${\mathcal{L},[*,], *$,$} is a -Lie algebra, a current algebra of \mathcal{L}$ over $\mathbb{R}^{d}$ is a vector space $\mathcal{T}$ of $\mathcal{L}$-valued functions defined on $\mathbb{R}^{d}$ and closed under the pointwise operations: $$ \varphi, \psi:=[\varphi(t), \psi(t)] ; \quad \varphi^{}(t):=\varphi(t)^{} ; \quad t \in \mathbb{R}, \varphi \in \mathcal{T} $$ For example, if $X_{1}, \ldots, X_{k}$ are generators of $\mathcal{L}$ one can fix a space $\mathcal{S}$, of complex valued test functions on $R$ and to each $\varphi \in \mathcal{S}$ and $j \in{1, \ldots, k}$ one can associate the $\mathcal{L}$-valued function on $\mathbb{R} X_{j}(\varphi)$ defined by: $$ X_{j}(\varphi)(t):=\varphi(t) X_{j} ; \quad t \in \mathbb{R} $$ Definition 6. Let $\mathcal{G}$ be a complex-Lie algebra. A (canonical) set of generators of $\mathcal{G}$ is a linear basis of $\mathcal{G}$
$$
l_{\alpha}^{+}, l_{\alpha}^{-}, l_{\beta}^{0}, \alpha \in I, \quad \beta \in I_{0}
$$
where $I_{0}, I$ are sets, satzsfyng the following conditsons:
$$
\begin{array}{ll}
\left(l_{\beta}^{0}\right)^{+}=l_{\beta}^{0} ; & \forall \beta \in I_{0} \
\left(l_{\alpha}^{+}\right)^{*}=l_{\alpha}^{-} ; & \forall \alpha \in I
\end{array}
$$
and all the central elements among the generators are of $l^{0}$-type (i.e. selfadjoint).
We will denote $c_{\alpha \beta}^{\gamma}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}, \delta\right)$ the structure constants of $\mathcal{G}$ with respect to the generators $\left(l_{\alpha}^{\varepsilon}\right)$, i.e., with $\alpha, \beta \in I \cup I_{0}, \varepsilon, e^{\prime}, \delta \in{+,-, 0}$, and, assuming summation over repeated indices:
$$
\begin{gathered}
{\left[l_{\alpha,}^{z}, l_{\beta}^{\varepsilon^{\prime}}\right]=c_{\alpha \beta}^{\gamma}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}, \delta\right) l_{\gamma}^{\delta}=} \
:=\sum_{\gamma \in I_{0}} c_{\alpha \beta}^{\gamma}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}, 0\right) l_{\gamma}^{0}+\sum_{\gamma \in I} c_{\alpha \beta}^{\gamma}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime},+\right) l_{\gamma}^{+}+\sum_{\gamma \in I} c_{\alpha \beta}^{\gamma}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime},-\right) l_{\gamma}^{-}
\end{gathered}
$$
In the following we will consider only locally finite Lie algebras, i.e. those such that, for any pair $\alpha, \beta \in I \cup I_{0}$ only a finite number of the structure constants $c_{\alpha \beta}^{\gamma}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}, \delta\right)$ is different from zero.
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Connections with Classical Independent Increment Processes
In this section we look for some necessary conditions for the solution of the problem stated in the previous section. This will naturally lead to an interesting connection with the theory of classical independent increment processes which was first noticed in Araki’s thesis [Arak60]. We refer to the monographs of K.R. Parthasarathy and K. Schmidt [PaSch72] and of Guichardet [Gui72] for a systematic exposition. In the notations of Section (18) we consider:
- a pair $\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{2}\right)\right}$ of a *-Lie algebra and a set of generators which admits a Fock representation.
- a measure space $(S, \mu)$
- a *-sub-algebra $\mathcal{C} \subseteq L_{\mathrm{C}}^{\infty}(S, \mathcal{B}, \mu)$
such that the current algebra
$$
\left{l_{\alpha}^{c}(f): \varepsilon \in{+,-, 0}, \alpha \in I \text { or } \alpha \in I_{0}, f \in \mathcal{C}\right}
$$
admits a Fock representation on some Hilbert space $\mathcal{H}$ with cyclic vector $\Phi$. We identify the elements of this current algebra with their images in this representation and we omit from the notation the symbol $\pi$ of the representation. Moreover we add the following assumptions:
(i) among the generators $\left(l_{\alpha}^{c}\right)$ there is exactly one (self-adjoint) central element, denoted $l_{0}^{0}$.
(ii) for any $f \in \mathcal{C}$ one has:
$$
l_{0}^{0}(f)=\int_{S} f d \mu
$$
where the scalar on the right hand side is identified to the corresponding multiple of the identity operator on $\mathcal{H}$. In particular the representation is weakly irreducible.
Under these conditions it is not difficult to see that the general principle that algebra implies statistics can be applied and that the vacuum mixed moments of the operators $l_{\alpha}^{\varepsilon}(f)$ are uniquely determined by the structure constants of the Lie algebra. Another important property is that, by fixing a measurable subset $I \subseteq S$ such that
$$
\mu(I)=1
$$
and denoting $\chi_{I}$ the corresponding characteristic function, the $*$-Lie algebra generated by the operators $l_{\alpha}^{\varepsilon}\left(\chi_{I}\right)$ is isomorphic to $\mathcal{G}$ and therefore it has the same vacuum statistics.
Finally the commutation relations (18.1) imply that the maps $f \mapsto l_{\alpha}^{\varepsilon}(f)$ define an independent increment process of boson type, i.e. the restriction of the vacuum state on the polynomial algebra generated by two families
$\left(l_{\alpha}^{\varepsilon}(f)\right){\varepsilon, \alpha}$ and $\left(l{\alpha}^{\varepsilon}(g)\right)_{\varepsilon, \alpha}$ with $f$ and $g$ having disjoint supports, coincides with the tensor product of the restrictions on the single algebras.
In particular, if $X(I)$ is any self-adjoint linear combination of operators of the form $l_{\alpha}^{\varepsilon}\left(\chi_{I}\right)$, then the map $I \subseteq S \mapsto X(I)$ defines an additive independent increment process on $(S, \mathcal{B}, \mu)$. Thus the law of every random variable of the form $X(I)$ will be an infinitely divisible law on $\mathbb{R}$ whenever the set $I$ can be written as a countable union of subsets of nonzero $\mu$-measure.
If $S=\mathbb{R}^{d}$ and $\mu$ is the Lebesgue measure, then any such process $X(I)$ $\left(I \subseteq \mathbb{R}^{d}\right)$ will also be translation invariant.
Combining together all the above remarks one obtains a necessary condition for the existence of the Fock representation of the current algebra of a *-Lie algebra $\mathcal{G}$ and a set of generators namely: the pair $\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{\varepsilon}\right)\right}$ must admit a Fock representation and the vacuum distribution of any self-adjoint linear combination $X$ of generators must be infinitely divisible
Since there is no reason to expect that any pair $\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{z}\right)\right}$ will have this property, this gives a probabilistic intuition of the reason why it might happen that a *-Lie algebra and a set of generators $\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{z}\right)\right}$ might admit a Fock representation without this being true for the associated current algebra.
In the following section we review some progresses made in the past few years in one important special case: the full oscillator algebra.
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|
We have seen how the developments reviewed in the previous sections naturally lead to the following problem: can we extend to the renormalized higher powers of quantum white noise what has been achieved for the second powers? To answer this question we start with the Heisenberg algebra
$$
\left[a, a^{+}\right]=1
$$
Its universally enveloping algebra is generated by the products of monomials of the form
$$
a^{n}, a^{+m}
$$
and their commutation relations are deduced from (20.1) and the derivation property of the commutator. The problem we want to study is the following: does there exist a current representation of this algebra over $\mathbb{R}^{d}$ for some $d>0$ ?
In order to define the current algebra of the full oscillator algebra, we have first to overcome the renormalization problem, illustrated in Section (14) in the case of the second powers of white noise. In fact, dealing with higher powers of white noise we meet higher powers of the $\delta$-function. A natural way out is to write
$$
\delta^{n}=\delta^{2}\left(\delta^{n-2}\right) ; \quad n \geq 2 ; \quad \delta^{0}:=1
$$
and to apply iteratively the renormalization prescription used in Section (14). This leads to the following:
Definition. The boson Fock white noise, renormalized with the prescription:
$$
\delta(t)^{l}=c^{l-1} \delta(t), c>0, l=2,3, \ldots
$$
simply called $R B F W N$ in the following, over a Hilbert space $\mathcal{H}$ with vacuum (unit) vector $\Phi$ is the locally finite *-Lie algebra canonically associated to the associative unital *-algebra of operator-valued distributions on $\mathcal{H}$ with generators
$$
b_{t}^{+n} b_{t}^{k}, \quad k, n \in \mathbb{N}, \quad t \in \mathbb{R}^{d}
$$
and relations deduced from:
$$
\begin{gathered}
{\left[b_{t}, b_{s}^{+}\right]=\delta(t-s)} \
{\left[b_{t}^{+}, b_{s}^{+}\right]=\left[b_{t}, b_{s}\right]=0} \
\left(b_{s}\right)^{*}=b_{s}^{+} \
b_{t} \Phi=0
\end{gathered}
$$
Here locally finite méans thàt the commutator of any pair of generators is a finite linear combination of generators.
随机分析代考
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Current Representations of Lie Algebras
直觉上，如果大号,[∗,],∗$,$一世s一种−大号一世和一种lG和br一种,一种C在rr和n吨一种lG和br一种这F大号超过Rd是向量空间吨的大号值函数定义在Rd并在逐点操作下关闭： $$ \varphi, \psi :=[\varphi(t), \psi(t)] ；\quad \varphi^{}(t):=\varphi(t)^{} ; \quad t \in \mathbb{R}, \varphi \in \mathcal{T}F这r和X一种米pl和,一世F$X1,…,Xķ$一种r和G和n和r一种吨这rs这F$大号$这n和C一种nF一世X一种sp一种C和$小号$,这FC这米pl和X在一种l在和d吨和s吨F在nC吨一世这ns这n$R$一种nd吨这和一种CH$披∈小号$一种nd$j∈1,…,ķ$这n和C一种n一种ss这C一世一种吨和吨H和$大号$−在一种l在和dF在nC吨一世这n这n$RXj(披)$d和F一世n和db是:X_{j}(\varphi)(t):=\varphi(t) X_{j} ; \quad t \in \mathbb{R}D和F一世n一世吨一世这n6.大号和吨$G$b和一种C这米pl和X−大号一世和一种lG和br一种.一种(C一种n这n一世C一种l)s和吨这FG和n和r一种吨这rs这F$G$一世s一种l一世n和一种rb一种s一世s这F$G$
l_{\alpha}^{+}, l_{\alpha}^{-}, l_{\beta}^{0}, \alpha \in I, \quad \beta \in I_{0}
在H和r和$一世0,一世$一种r和s和吨s,s一种吨和sF是nG吨H和F这ll这在一世nGC这nd一世吨s这ns:
(lb0)+=lb0;∀b∈一世0 (l一种+)∗=l一种−;∀一种∈一世
$$
并且生成器中的所有中心元素都是l0-类型（即自伴随）。
我们将表示C一种bC(e,e′,d)的结构常数G关于发电机(l一种e)，即，与一种,b∈一世∪一世0,e,和′,d∈+,−,0，并且，假设对重复索引求和：
[l一种,和,lbe′]=C一种bC(e,e′,d)lCd= :=∑C∈一世0C一种bC(e,e′,0)lC0+∑C∈一世C一种bC(e,e′,+)lC++∑C∈一世C一种bC(e,e′,−)lC−
下面我们将只考虑局部有限的李代数，即那些对于任何对一种,b∈一世∪一世0只有有限数量的结构常数C一种bC(e,e′,d)不同于零。
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Connections with Classical Independent Increment Processes
在本节中，我们寻找解决上一节中所述问题的一些必要条件。这自然会导致与荒木经惟的论文 [Arak60] 中首次注意到的经典独立增量过程理论产生有趣的联系。我们参考 KR Parthasarathy 和 K. Schmidt [PaSch72] 和 Guichardet [Gui72] 的专着进行系统阐述。在第 (18) 节的符号中，我们考虑：
- 一双\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{2}\right)\right}\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{2}\right)\right}*-Lie 代数和一组接受 Fock 表示的生成器。
- 测度空间(小号,μ)
- *-子代数C⊆大号C∞(小号,乙,μ)
使得当前代数
\left{l_{\alpha}^{c}(f): \varepsillon \in{+,-, 0}, \alpha \in I \text { 或 } \alpha \in I_{0}, f \in \mathcal{C}\右}\left{l_{\alpha}^{c}(f): \varepsillon \in{+,-, 0}, \alpha \in I \text { 或 } \alpha \in I_{0}, f \in \mathcal{C}\右}
承认某个希尔伯特空间上的 Fock 表示H带循环向量披. 我们在这个表示中用它们的图像来识别这个当前代数的元素，我们从符号中省略了符号圆周率的表示。此外，我们添加了以下假设：
（i）在生成器中(l一种C)有一个（自伴的）中心元素，记为l00.
(ii) 对于任何F∈C一个有：
l00(F)=∫小号Fdμ
其中右侧的标量被标识为对应的身份运算符的倍数H. 特别是表示是弱不可约的。
在这些条件下，不难看出代数蕴含统计的一般原理可以应用，算子的真空混合矩l一种e(F)由李代数的结构常数唯一确定。另一个重要的属性是，通过固定一个可测量的子集一世⊆小号这样
μ(一世)=1
并表示χ一世对应的特征函数，∗- 算子生成的李代数l一种e(χ一世)同构于G因此它具有相同的真空统计。
最后，交换关系（18.1）意味着映射F↦l一种e(F)定义一个玻色子类型的独立增量过程，即真空态对两个族生成的多项式代数的限制
$\left(l_{\alpha}^{\varepsilon}(f)\right) {\varepsilon, \alpha}一种nd\left(l {\alpha}^{\varepsilon}(g)\right)_{\varepsilon, \alpha}在一世吨HF一种ndg$ 具有不相交的支持，与单个代数限制的张量积一致。
特别是，如果X(一世)是以下形式的运算符的任何自伴线性组合l一种e(χ一世)，那么地图一世⊆小号↦X(一世)在(小号,乙,μ). 因此，形式的每个随机变量的定律X(一世)将是一个无限可分的定律R每当集合一世可以写成非零子集的可数并集μ-措施。
如果小号=Rd和μ是勒贝格测度，那么任何这样的过程X(一世) (一世⊆Rd)也将是平移不变的。
将上述所有评论结合在一起，我们得到了一个*-李代数的当前代数的 Fock 表示存在的必要条件G和一组生成器，即：对\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{\varepsilon}\right)\right}\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{\varepsilon}\right)\right}必须承认 Fock 表示和任何自伴线性组合的真空分布X的生成器必须是无限可分的
因为没有理由期望任何一对\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{z}\right)\right}\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{z}\right)\right}将有这个属性，这给出了一个概率直觉，为什么它可能会发生 *-Lie 代数和一组生成器\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{z}\right)\right}\left{\mathcal{G},\left(l_{\alpha}^{z}\right)\right}可能会承认一个 Fock 表示，但对于相关的当前代数来说这是不正确的。
在下一节中，我们将回顾过去几年在一个重要的特殊情况下取得的一些进展：全振子代数。
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|
我们已经看到前几节中回顾的发展如何自然地导致以下问题：我们可以扩展到量子白噪声的重整化更高幂吗？对于二次幂已经实现了什么？为了回答这个问题，我们从海森堡代数开始
[一种,一种+]=1
它的普遍包络代数是由以下形式的单项式的乘积生成的
一种n,一种+米
并且它们的交换关系是从(20.1)和交换子的导数性质推导出来的。我们要研究的问题是：是否存在这个代数的当前表示？Rd对于一些d>0 ?
为了定义全振子代数的当前代数，我们必须首先克服重整化问题，如第 (14) 节中在白噪声二次幂的情况下所示。事实上，在处理更高功率的白噪声时，我们会遇到更高功率的d-功能。一个自然的出路是写
dn=d2(dn−2);n≥2;d0:=1
并迭代地应用第（14）节中使用的重整化规定。这导致以下情况：
定义。玻色子福克白噪声，用处方重新归一化：
d(吨)l=Cl−1d(吨),C>0,l=2,3,…
简称R乙F在ñ下面，在希尔伯特空间上H带真空（单位）矢量披是局部有限的 *-Lie 代数，规范地关联到在H带发电机
b吨+nb吨ķ,ķ,n∈ñ,吨∈Rd
以及从以下推导的关系：
[b吨,bs+]=d(吨−s) [b吨+,bs+]=[b吨,bs]=0 (bs)∗=bs+ b吨披=0
这里局部有限意味着任何一对发电机的交换器都是发电机的有限线性组合。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。