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统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|White Noise Schr¨odinger and Heisenberg Equations
The white noise equations live on spaces of the form
$$
H=H_{S} \otimes \Gamma
$$
where the Hilbert space $\mathcal{H}_{S}$ is called the initial (or system) space, and the Hilbert space $\Gamma$ is called the noise space.
For 1 -st order white noise equations the typical $\Gamma$ is the same as for Hudson-Parthasarathy equations, i.e. a Fock space over a 1-particle space of the form $L^{2}(\mathbb{R} ; \mathcal{K})$ where $\mathcal{K}$ is another Hilbert space, called the multiplicity space (in mathematics) or polarization space (in physics). A WN Schrödinger (or Hamiltonian) equation is an equation of the form
$$
\partial_{t} U_{t}=-i H_{t} U_{t} ; \quad U_{0}=1
$$
where $H_{t}=H_{t}^{}$ is a symmetric functional of white noise and the associated Heisenberg equation (from now on we will consider only the inner case) $$ \partial_{t} X_{t}=-i\left[H_{t}, X_{t}\right] ; \quad X_{0}=X \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) $$ Since in the inner case, as explained in Section (7), the solution of the Heisenberg equation has the form $$ X_{t}=U_{t} X_{t} U_{t}^{}
$$
it will be sufficient to consider the Schrödinger equation.
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Stochastic Equations Associated to 1-st Order WN Schrödinger Equations
The simplest WN equations are the 1 -st order WN Schrödinger equations, for which $H_{t}$ has the form:
$$
H_{t}=D b_{t}^{+}+D^{+} b_{t}+T b_{t}^{+} b_{t}+C=D \otimes b_{t}^{+}+\cdots
$$
Notice that the right hand side is formally symmetric if
$$
T^{+}=T ; \quad C^{+}=C
$$
Diffusion WN equations are characterized by the condition:
$$
T=0
$$
Example.
$$
\partial_{t} U_{t}=-i H_{t} U_{t}=-i\left(D b_{t}^{+}+D^{+} b_{t}\right) U_{t}
$$
if $D=D^{+}$this becomes
$$
\partial_{l} U_{L}=-i H_{l} U_{t}=-i D\left(b_{t}^{+}+b_{l}\right) U_{t}=-i D w_{l} U_{L}
$$
in terms of Brownian motion
$$
\frac{d}{d t} U_{t}=-i D \frac{d W_{t}}{d t} U_{t}
$$
Warning: in Section (4) one might be tempted to use the naive relation
$$
\frac{d}{d t} W_{t}=w_{t} \Leftrightarrow d W_{t}=w_{t} d t
$$
and to conclude that the classical WN equation (13.2) is equivalent to the classical stochastic differential equation
$$
d U_{t}=-i D d W_{t} U_{t}
$$
but this would lead to a contradiction because it can be proved that equation (13.4), does not admit any unitary solution while WN Hamiltonian equations of the form (13.1) can be shown to admit unitary solutions.
In fact it is true that WNH equations of the form (13.1) are canonically associated to stochastic differential equations but, for the determination of this stochastic equation, the naive prescription (13.3) is not sufficient and a much subtler rule must be used. The correct answer is given by the following theorem.
Theorem 5. Let $A, C$ and $T=T^{}$ be bounded operators on the initial space $\mathcal{H}{S}$. Then the white noise Schrödinger equation $$ \partial{t} U_{t}=-i\left(A b_{t}+A^{} b_{t}^{+}+b_{t}^{+} T b_{t}+C\right) U_{t} ; U_{0}=1
$$
$\left(T=T^{} ; C=C^{}\right)$ is equivalent to the following stochastic differential equation
$$
\begin{aligned}
d U_{t}=&\left(S D d B_{t}^{+}-D^{*} d B_{t}+\frac{1}{2 \operatorname{Re}\left(\gamma_{-}\right)}(S-1) d N_{t}\right.\
&\left.+\left(-\gamma_{-} D^{+} D+i\left|\gamma_{-}\right|^{2} D^{+} T D-i C\right) d t\right) U_{t}
\end{aligned}
$$
where the unitary operator
$$
S:=\frac{1-i T}{1+i T}
$$
is the Cuyley trursform of T and:
$$
D^{+}=i A \frac{1}{1+i T}
$$
Remark. The two equations can be interpreted in the weak sense on the total domain of extended number vectors with continuous test functions (the vectors of the form $\xi_{S} \otimes n$ with $\xi_{S} \in \mathcal{H}_{S}$ and $n$ a number vector with continuous test functions).
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|The Renormalized Square of Classical WN
We have seen that the quantum decomposition of the 1 -st order classical $\mathrm{WN}$ is:
$$
w_{t}=b_{t}^{+}+b_{t}
$$
If one tries to do the square of $w_{t}$ naively, one obtains:
$$
w_{t}^{2}=\left(b_{t}^{+}+b_{t}\right)^{2}=b_{t}^{+2}+b_{t}^{2}+b_{t}^{+} b_{t}+b_{t} b_{t}^{+}=b_{t}^{+2}+b_{t}^{2}+2 b_{t}^{+} b_{t}+\delta(0)
$$
where in the last identity we have applied the commutation relations (3.3) to the case $t=s$. This application is purely formal becanse $\delta(t-s)$ is a distribution and expressions like $\delta(0)$ are meaningless. The standard procedure to overcome this problem is to subtract the diverging quantity $\delta(0)$ (additive renormalization) and to conjecture that the result i.e.:
$$
: w_{t}^{2}:=b_{t}^{+2}+b_{t}^{2}+2 b_{t}^{+} b_{t}
$$
is, up to a constant, the quantum decomposition of the square of the classical white noise.
However, even after this renormalization the right hand side of (14.2) is ill defined. The problem is that, as will be shown in the following session, expressions like $b_{t}^{+2}, b_{t}^{2}$ are not well defined even as operator valued distributions!
随机分析代考
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|White Noise Schr¨odinger and Heisenberg Equations
白噪声方程存在于形式的空间上
H=H小号⊗Γ
希尔伯特空间在哪里H小号称为初始（或系统）空间，希尔伯特空间Γ称为噪声空间。
对于一阶白噪声方程，典型的Γ与 Hudson-Parthasarathy 方程相同，即形式为 1 粒子空间上的 Fock 空间大号2(R;ķ)在哪里ķ是另一个希尔伯特空间，称为多重性空间（在数学中）或极化空间（在物理学中）。WN 薛定谔（或哈密顿）方程是以下形式的方程
∂吨在吨=−一世H吨在吨;在0=1
在哪里H吨=H吨是白噪声和相关海森堡方程的对称泛函（从现在开始，我们将只考虑内部情况）∂吨X吨=−一世[H吨,X吨];X0=X∈乙(H)由于在内情况下，如第 (7) 节所述，海森堡方程的解具有以下形式X吨=在吨X吨在吨
考虑薛定谔方程就足够了。
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Stochastic Equations Associated to 1-st Order WN Schrödinger Equations
最简单的 WN 方程是一阶 WN 薛定谔方程，其中H吨具有以下形式：
H吨=Db吨++D+b吨+吨b吨+b吨+C=D⊗b吨++⋯
请注意，如果右手边是形式上对称的
吨+=吨;C+=C
扩散 WN 方程由以下条件表征：
吨=0
例子。
∂吨在吨=−一世H吨在吨=−一世(Db吨++D+b吨)在吨
如果D=D+这变成
∂l在大号=−一世Hl在吨=−一世D(b吨++bl)在吨=−一世D在l在大号
就布朗运动而言
dd吨在吨=−一世Dd在吨d吨在吨
警告：在第 (4) 节中，人们可能会尝试使用朴素关系
dd吨在吨=在吨⇔d在吨=在吨d吨
并得出结论，经典的 WN 方程（13.2）等价于经典的随机微分方程
d在吨=−一世Dd在吨在吨
但这会导致矛盾，因为可以证明方程（13.4）不承认任何酉解，而形式（13.1）的 WN 哈密顿方程可以证明允许酉解。
事实上，形式 (13.1) 的 WNH 方程与随机微分方程有典型的关联，但是，为了确定这个随机方程，朴素的规定 (13.3) 是不够的，必须使用更微妙的规则。正确答案由以下定理给出。
定理 5. 让一种,C和吨=吨是初始空间上的有界算子H小号. 那么白噪声薛定谔方程∂吨在吨=−一世(一种b吨+一种b吨++b吨+吨b吨+C)在吨;在0=1
(吨=吨;C=C)等价于以下随机微分方程
d在吨=(小号Dd乙吨+−D∗d乙吨+12关于(C−)(小号−1)dñ吨 +(−C−D+D+一世|C−|2D+吨D−一世C)d吨)在吨
其中酉算子
小号:=1−一世吨1+一世吨
是 T 的 Cuyley trursform 并且：
D+=一世一种11+一世吨
评论。这两个方程可以在具有连续测试函数的扩展数向量的总域上进行弱解释（形式的向量X小号⊗n和X小号∈H小号和n具有连续测试功能的数字向量）。
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|The Renormalized Square of Classical WN
我们已经看到一阶经典的量子分解在ñ是：
在吨=b吨++b吨
如果一个人试图做平方在吨天真地，一个人得到：
在吨2=(b吨++b吨)2=b吨+2+b吨2+b吨+b吨+b吨b吨+=b吨+2+b吨2+2b吨+b吨+d(0)
在最后一个恒等式中，我们将交换关系（3.3）应用于案例吨=s. 此申请纯属正式，因为d(吨−s)是一个分布和表达式d(0)是没有意义的。克服这个问题的标准程序是减去发散量d(0)（加法重整化）并推测结果即：
:在吨2:=b吨+2+b吨2+2b吨+b吨
是经典白噪声平方的量子分解，直到一个常数。
然而，即使在这种重整化之后，(14.2) 的右手边也是不明确的。问题是，正如将在以下会话中展示的那样，表达式如b吨+2,b吨2即使作为运营商价值的分布也没有很好的定义！
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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