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随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统演变的噪声中存在的不确定性。
随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统进化的噪声中存在的不确定性。系统设计者以贝叶斯概率驱动的方式假设，具有已知概率分布的随机噪声会影响状态变量的演变和观察。随机控制的目的是设计受控变量的时间路径，以最小的成本执行所需的控制任务，尽管存在这种噪声，但以某种方式定义。
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统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Polynomial Chaos Expansion
The solution of Eq. (2.3.35) can be represented by a truncated polynomial chaos expansion (PCE) (Ghanem and Spanos 1991), i.e.,
$$
x_{i}(t)=\sum_{l=0}^{P} x_{i l}(t) \Psi_{l}(\xi)
$$
where $\xi$ is the $M$-dimensional row vector of Gaussian random variables; $P$ denotes the highest order of the polynomial chaos expansion; $\Psi_{l}(\xi)$ denotes the polynomial chaos with parameter of Gaussian random variables; $x_{i l}(t)$ denotes the deterministic coefficient pertaining to the polynomial chaos which is often referred to as the random mode.
Substituting Eq. (2.3.37) into Eq. (2.3.35), then yields
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n} \sum_{l=0}^{P} m_{j i} \ddot{x}{i l}(t) \Psi{l}(\xi)+\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{q} \alpha_{j i, k}\left(\sum_{l=0}^{P} \dot{x}{i l}(t) \Psi{l}(\xi)\right)^{q-k}\left(\sum_{l=0}^{P} x_{i l}(t) \Psi_{l}(\xi)\right)^{k} \
&\quad=\sum_{l=0}^{P} F_{j l}(t) \Psi_{l}(\xi)
\end{aligned}
$$
Introducing a Galerkin projection technique (Ghanem and Spanos 1991), the polynomial chaos arises to pairwise orthogonal with respect to Gaussian measure, i.e.,
$$
\left\langle\Psi_{i} \Psi_{j}\right\rangle=\left\langle\Psi_{i}^{2}\right\rangle \delta_{i j}
$$
where $\langle\cdot\rangle$ denotes the inner product; $\delta_{i j}$ denotes the Kronecker delta function with two variables, which is 1 if the variables are equal, and 0 otherwise:
$$
\delta_{i j}=\left{\begin{array}{l}
1, i=j \
0, i \neq j
\end{array}\right.
$$
Equation (2.3.38) is thus discretized into an equation set:
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n} m_{j i} \ddot{x}{i m}(t)+\sum{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{q} \sum_{l_{1}=0}^{P} \cdots \sum_{l_{q-l}=0}^{P} \sum_{l_{q-k+1}=0}^{P} \cdots \sum_{l_{q}=0}^{P} \frac{c_{l_{1} \cdots l_{q-\lambda} l_{q-\lambda+1} \cdots l_{q} m}}{\left(\Psi_{m}^{2}\right)} \
&\alpha_{j i, k} \dot{x}{i l{1}}(t) \cdots \dot{x}{i l{q-k}}(t) x_{i l_{q-k+1}}(t) \cdots x_{i l_{q}}(t)=F_{j m}(t)
\end{aligned}
$$
where $c_{l_{1} \cdots l_{q-k} l_{q-k+1} \cdots l_{q} m}=\left\langle\Psi_{l_{1}} \ldots \Psi_{l_{q-k}} \Psi_{l_{q-k+1}} \ldots \Psi_{l_{q}} \Psi_{m}\right\rangle, m=0,1,2, \ldots, P$. The coefficient $c_{l_{1} \cdots l_{4-k} l_{4-k+1} \cdots l_{q} m}$ and $\left\langle\Psi_{m}^{2}\right\rangle$ can be derived from a multiple-dimensional integral (Ghanem and Spanos 1991).
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Statistical Linearization Technique
An alternative method for random vibration analysis of nonlinear systems is the statistical linearization technique (Roberts and Spanos 1990). This method exhibits
a hypothesis that the structural response is viewed as a stationary Gaussian process, thereby the equivalence between the linearized system and the original nonlinear system is attained by minimizing their differences in the sense of mean square. The random vibration analysis of nonlinear systems can then be carried out by the pertinent theory and methods to the random vibration of linear systems.
Therefore, the nonlinear multiple-degree-of-freedom system, shown in Eq. (2.3.34), can be substituted by a linearized system with equation of motion as follows:
$$
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}(t)+\mathbf{C}{\mathrm{eq}} \dot{\mathbf{X}}(t)+\mathbf{K}{\mathrm{eq}} \mathbf{X}(t)=\mathbf{F}(\boldsymbol{\Theta}, t)
$$
where $\mathbf{C}{e q}, \mathbf{K}{\text {eq }}$ are the $n \times n$ equivalent damping and equivalent stiffness matrices, respectively.
Comparing Eqs. (2.3.34) and (2.3.45), and assuming that the linearized system and the original system have a same response, one can define the error vector between the internal forces of the two systems as follows:
$$
\mathbf{e}=\mathbf{f}(\mathbf{X}(t), \dot{\mathbf{X}}(t))-\mathbf{C}{\mathrm{eq}} \dot{\mathbf{X}}(t)-\mathbf{K}{\mathrm{eq}} \mathbf{X}(t)
$$
Minimization of the covariance matrix of the error vector, i.e.,
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial E\left[\mathbf{e e}^{\mathrm{T}}\right]}{\partial \mathbf{C}{\mathrm{eq}}}=0 \ &\frac{\partial E\left[\mathbf{e}^{\mathrm{T}}\right]}{\partial \mathbf{K}{\mathrm{eq}}}=0
\end{aligned}
$$
yields the basic equations:
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{C}{\mathrm{eq}} E\left[\dot{\mathbf{X}} \dot{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\right]+\mathbf{K}{\mathrm{eq}} E\left[\mathbf{X} \dot{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\right]=E\left[\mathbf{f}(\mathbf{X}, \dot{\mathbf{X}}) \dot{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\right] \
&\mathbf{C}{\mathrm{eq}} E\left[\dot{\mathbf{X}} \mathbf{X}^{\mathrm{T}}\right]+\mathbf{K}{\mathrm{eq}} E\left[\mathbf{X} \mathbf{X}^{\mathrm{T}}\right]=E\left[\mathbf{f}(\mathbf{X}, \dot{\mathbf{X}}) \mathbf{X}^{\mathrm{T}}\right]
\end{aligned}
$$
Given the joint probability density functions for solving the mathematical expectation of responses, shown in Eqs. (2.3.48a) and (2.3.48b), the equivalent damping and equivalent stiffness matrices can be readily attained. This treatment, however, often refers to an iteration procedure, as shown in Fig. 2.3, where the tolerant error can be set as the difference of response vectors or as the norm of the difference of mean-square response vectors between the sequential steps.
As to a single-degree-of-freedom system, the basic equations with respect to the equivalent damping and equivalent stiffness matrices are given as follows:
$$
C_{\mathrm{eq}} E\left[\dot{X}^{2}\right]+K_{\mathrm{eq}} E[X \dot{X}]=E[f(X, \dot{X}) \dot{X}]
$$
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Fokker–Planck–Kolmogorov Equation
The mean-square solution of system response under random vibration just includes the former two-order moments information of stochastic dynamical systems, which is insufficient to represent the stochastic response as a complete probabilistic density function, especially for the nonlinear system, of which the probabilistic distribution is distinguished from the normal distribution. Therefore, seeking for the probability density of stochastic dynamical system has received extensive attention. Owing to the contributions from Fokker, Planck, and Kolmogorov, the probability density evolution equation related to random excitations were established in 1930 s. This is the celebrated Fokker-Planck-Kolmogorov equation, i.e., FPK equation, in the classical random vibration theory.
Considering a random process $\mathbf{Z}(t)$, one has the Itô stochastic differential equation as follows:
$$
\mathrm{d} \mathbf{Z}(t)=\mathbf{A}(\mathbf{Z}, t) \mathrm{d} t+\mathbf{B}(\mathbf{Z}, t) \mathrm{d} \mathbf{w}(t)
$$
As for a random function $f(\mathbf{Z})$ in terms of random process $\mathbf{Z}(t)$, the Taylor series expansion is given by
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} f(\mathbf{Z}) &=\sum_{i=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial z_{i}} \mathrm{~d} z_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{\partial^{2} f}{\partial z_{i} \partial z_{j}} \mathrm{~d} z_{i} \mathrm{~d} z_{j}+\cdots \
&=\sum_{i=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}\left[A_{i} \mathrm{~d} t+\sum_{k=1}^{r} B_{i k} \mathrm{~d} w_{k}(t)\right]+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}\left[\frac{\partial^{2} f}{\partial z_{i} \partial z_{j}} \sum_{k=1}^{r} B_{i k} \mathrm{~d} w_{k}(t) \sum_{s=1}^{r} B_{j s} \mathrm{~d} w_{s}(t)\right]+\cdots
\end{aligned}
$$
Taking mathematical expectation on both sides of Eq. (2.3.53), and utilizing the product $E\left[(\mathrm{~d} w(t))^{2}\right]=W \mathrm{~d} t$, the Taylor series expansion has a truncated formulation with respect to $\mathrm{d} t$ :
$$
E[\mathrm{~d} f(\mathbf{Z})]=E\left{\left[\sum_{i=1}^{m} A_{i} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}\left(\mathbf{B} \mathbf{W B}^{\mathrm{T}}\right){i j} \frac{\partial^{2} f}{\partial z{i} \partial z_{j}}\right] \mathrm{d} t\right}
$$
where $\mathbf{W}(t)$ is the $s \times s$ symmetric, and semi-positive spectral density matrix, shown in Eq. (2.2.4). It is noted as well $E\left[\mathrm{~d} w_{k}(t)\right]=0$.
Noting the conditional probability density of $\mathbf{Z}(t)$ as $\tilde{p}{\mathbf{Z}}\left(\mathbf{z}, t \mid \mathbf{z}{0}, t_{0}\right)$, the derivative of left side of Eq.
随机控制代写
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Polynomial Chaos Expansion
方程的解决方案。(2.3.35) 可以表示为截断多项式混沌展开 (PCE) (Ghanem and Spanos 1991)，即
X一世(吨)=∑l=0磷X一世l(吨)Ψl(X)
在哪里X是个米-高斯随机变量的维行向量；磷表示多项式混沌展开的最高阶；Ψl(X)表示具有高斯随机变量参数的多项式混沌；X一世l(吨)表示与通常称为随机模式的多项式混沌有关的确定性系数。
代入方程式。（2.3.37）进入等式。(2.3.35)，然后产生
∑一世=1n∑l=0磷米j一世X¨一世l(吨)Ψl(X)+∑一世=1n∑ķ=0q一种j一世,ķ(∑l=0磷X˙一世l(吨)Ψl(X))q−ķ(∑l=0磷X一世l(吨)Ψl(X))ķ =∑l=0磷Fjl(吨)Ψl(X)
引入 Galerkin 投影技术（Ghanem 和 Spanos 1991），多项式混沌相对于高斯测度成对正交，即
⟨Ψ一世Ψj⟩=⟨Ψ一世2⟩d一世j
在哪里⟨⋅⟩表示内积；d一世j表示有两个变量的 Kronecker delta 函数，如果变量相等则为 1，否则为 0：
$$
\delta_{ij}=\left{
1,一世=j 0,一世≠j\对。
$$
方程（2.3.38）因此被离散为方程组：
∑一世=1n米j一世X¨一世米(吨)+∑一世=1n∑ķ=0q∑l1=0磷⋯∑lq−l=0磷∑lq−ķ+1=0磷⋯∑lq=0磷Cl1⋯lq−λlq−λ+1⋯lq米(Ψ米2) 一种j一世,ķX˙一世l1(吨)⋯X˙一世lq−ķ(吨)X一世lq−ķ+1(吨)⋯X一世lq(吨)=Fj米(吨)
在哪里Cl1⋯lq−ķlq−ķ+1⋯lq米=⟨Ψl1…Ψlq−ķΨlq−ķ+1…ΨlqΨ米⟩,米=0,1,2,…,磷. 系数Cl1⋯l4−ķl4−ķ+1⋯lq米和⟨Ψ米2⟩可以从多维积分导出（Ghanem 和 Spanos 1991）。
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Statistical Linearization Technique
非线性系统随机振动分析的另一种方法是统计线性化技术（Roberts 和 Spanos 1990）。该方法展示
假设结构响应被视为一个平稳的高斯过程，从而通过最小化它们在均方意义上的差异来实现线性化系统和原始非线性系统之间的等价性。非线性系统的随机振动分析可以通过线性系统随机振动的相关理论和方法进行。
因此，非线性多自由度系统，如方程式所示。（2.3.34），可以由具有如下运动方程的线性化系统代替：
米X¨(吨)+C和qX˙(吨)+ķ和qX(吨)=F(θ,吨)
在哪里C和q,ķ情商 是n×n等效阻尼和等效刚度矩阵，分别。
比较方程式。（2.3.34）和（2.3.45），并假设线性化系统和原始系统具有相同的响应，可以定义两个系统的内力之间的误差向量如下：
和=F(X(吨),X˙(吨))−C和qX˙(吨)−ķ和qX(吨)
最小化误差向量的协方差矩阵，即
∂和[和和吨]∂C和q=0 ∂和[和吨]∂ķ和q=0
产生基本方程：
C和q和[X˙X˙吨]+ķ和q和[XX˙吨]=和[F(X,X˙)X˙吨] C和q和[X˙X吨]+ķ和q和[XX吨]=和[F(X,X˙)X吨]
给定用于求解响应的数学期望的联合概率密度函数，如方程式所示。（2.3.48a）和（2.3.48b），可以很容易地获得等效阻尼和等效刚度矩阵。然而，这种处理通常指的是迭代过程，如图 2.3 所示，其中容错可以设置为响应向量的差值或连续步骤之间均方响应向量的差值的范数。
对于单自由度系统，等效阻尼矩阵和等效刚度矩阵的基本方程如下：
C和q和[X˙2]+ķ和q和[XX˙]=和[F(X,X˙)X˙]
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Fokker–Planck–Kolmogorov Equation
随机振动下系统响应的均方解只包含随机动力系统的前二阶矩信息，不足以将随机响应表示为一个完整的概率密度函数，特别是对于非线性系统，其概率分布不同于正态分布。因此，寻求随机动力系统的概率密度受到了广泛的关注。由于 Fokker、Planck 和 Kolmogorov 的贡献，在 1930 年代建立了与随机激发相关的概率密度演化方程。这就是经典随机振动理论中著名的Fokker-Planck-Kolmogorov方程，即FPK方程。
考虑随机过程从(吨)，一个有Itô随机微分方程如下：
d从(吨)=一种(从,吨)d吨+乙(从,吨)d在(吨)
至于随机函数F(从)在随机过程方面从(吨)，泰勒级数展开由下式给出
dF(从)=∑一世=1米∂F∂和一世 d和一世+12∑一世=1米∑j=1米∂2F∂和一世∂和j d和一世 d和j+⋯ =∑一世=1米∂F∂和一世[一种一世 d吨+∑ķ=1r乙一世ķ d在ķ(吨)]+12∑一世=1米∑j=1米[∂2F∂和一世∂和j∑ķ=1r乙一世ķ d在ķ(吨)∑s=1r乙js d在s(吨)]+⋯
对等式两边取数学期望。(2.3.53)，并利用产品和[( d在(吨))2]=在 d吨，泰勒级数展开式有一个关于d吨 :
E[\mathrm{~d} f(\mathbf{Z})]=E\left{\left[\sum_{i=1}^{m} A_{i} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}\left(\mathbf{B} \mathbf{WB}^ {\mathrm{T}}\right){i j} \frac{\partial^{2} f}{\partial z{i} \partial z_{j}}\right] \mathrm{d} t\right}E[\mathrm{~d} f(\mathbf{Z})]=E\left{\left[\sum_{i=1}^{m} A_{i} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}\left(\mathbf{B} \mathbf{WB}^ {\mathrm{T}}\right){i j} \frac{\partial^{2} f}{\partial z{i} \partial z_{j}}\right] \mathrm{d} t\right}
在哪里在(吨)是个s×s对称和半正光谱密度矩阵，如方程式所示。(2.2.4)。也注意到了和[ d在ķ(吨)]=0.
注意条件概率密度从(吨)作为p~从(和,吨∣和0,吨0)，等式左侧的导数。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。