### 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|ECSE506

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Lévy Stochastic Differential Equations

From now on (and throughout the rest of this book) we assume that
$$E\left[\eta^{2}(t)\right]<\infty \text { for all } t \geq 0$$
This implies that we can choose $R=\infty$ and hence replace $\bar{N}$ by $\tilde{N}$ (see Theorem 1.8).

The geometric Lévy process is an example of a Lévy diffusion, i.e., the solution of an SDF driven hy I .évy processes.

Theorem $1.19$ (Existence and Uniqueness of Solutions of Lévy SDEs) Consider the following Lévy $S D E$ in $\mathbb{R}^{n}: X(0)=x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$ and
$$\mathrm{d} X(t)=\alpha(t, X(t)) \mathrm{d} t+\sigma(t, X(t)) \mathrm{d} B(t)+\int_{\mathbb{R}^{n}} \gamma\left(t, X\left(t^{-}\right), z\right) \tilde{N}(\mathrm{~d} t, \mathrm{~d} z)$$
where $\alpha:[0, T] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \sigma:[0, T] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times m}$ and $\gamma:[0, T] \times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow$ $\mathbb{R}^{n \times \ell}$ satisfy the following conditions
(At most linear growth) There exists a constant $C_{1}<\infty$ such that
$$|\sigma(t, x)|^{2}+|\alpha(t, x)|^{2}+\int_{\mathbb{R}} \sum_{k=1}^{\ell}\left|\gamma_{k}(t, x, z)\right|^{2} \nu_{k}\left(\mathrm{~d} z_{k}\right) \leq C_{1}\left(1+|x|^{2}\right)$$
for all $x \in \mathbb{R}^{n}$
(Lipschitz continuity) There exists a constant $C_{2}<\infty$ such that
\begin{aligned} &|\sigma(t, x)-\sigma(t, y)|^{2}+|\alpha(t, x)-\alpha(t, y)|^{2} \ &\quad+\sum_{k=1}^{\ell} \int_{\mathbb{R}}\left|\gamma^{(k)}\left(t, x, z_{k}\right)-\gamma^{(k)}\left(t, y, z_{k}\right)\right|^{2} \nu_{k}\left(\mathrm{~d} z_{k}\right) \leq C_{2}|x-y|^{2}, \end{aligned}
for all $x, y \in \mathbb{R}^{n}$.

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|The Girsanov Theorem and Applications

The Girsanov theorem and the related concept of an equivalent local martingale measure (ELMM) are important in the applications of stochastic analysis to finance.

In this chapter we first give a general semimartingale discussion and then we apply it to Itô-Lévy processes. We refer to [Ka] for more details.

Let $\left(\Omega, \mathcal{F},\left{\mathcal{F}{t}\right}{t \geq 0}, P\right)$ be a filtered probability space. Let $Q$ be another probability measure on $\mathcal{F}{T}$. We say that $Q$ is equivalent to $P \mid \mathcal{F}{T}$ if $P \mid \mathcal{F}{T} \ll Q$ and $Q \ll P \mid \mathcal{F}{T}$, or, equivalently, if $P$ and $Q$ have the same zero sets in $\mathcal{F}{T}$. By the Radon-Nikodym theorem this is the case if and only if we have $$\mathrm{d} Q(\omega)=Z(T) \mathrm{d} P(\omega) \text { and } \mathrm{d} P(\omega)=Z^{-1}(T) \mathrm{d} Q(\omega) \text { on } \mathcal{F}{T}$$
for some $\mathcal{F}{T}$-measurable random variable $Z(T)>0$ a.s. $P$. In that case we also write $$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} P}=Z(T) \text { and } \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{~d} Q}=Z^{-1}(T) \text { on } \mathcal{F}{T} .$$
We first make a simple, but useful observation.
Lemma 1.26 Suppose $Q \ll P$ with $\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} P}=Z(T)$ on $\mathcal{F}{T}$. Then $$\begin{gathered} Q\left|\mathcal{F}{t} \ll P\right| \mathcal{F}{t} \text { for all } t \in[0, T] \text { and } \ Z(t):=\frac{\mathrm{d}\left(Q \mid \mathcal{F}{t}\right)}{\mathrm{d}\left(P \mid \mathcal{F}{t}\right)}=E{P}\left[Z(T) \mid \mathcal{F}_{t}\right], \quad 0 \leq t \leq T \end{gathered}$$
In particular, $Z(t)$ is a $P$-martingale.

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Lévy Stochastic Differential Equations

$$E\left[\eta^{2}(t)\right]<\infty \text { for all } t \geq 0$$

$$\mathrm{d} X(t)=\alpha(t, X(t)) \mathrm{d} t+\sigma(t, X(t)) \mathrm{d} B(t)+\int_{\mathbb{R}^{n}} \gamma\left(t, X\left(t^{-}\right), z\right) \tilde{N}(\mathrm{~d} t, \mathrm{~d} z)$$

$$|\sigma(t, x)|^{2}+|\alpha(t, x)|^{2}+\int_{\mathbb{R}} \sum_{k=1}^{\ell}\left|\gamma_{k}(t, x, z)\right|^{2} \nu_{k}\left(\mathrm{~d} z_{k}\right) \leq C_{1}\left(1+|x|^{2}\right)$$

(Lipschitz 连续性) 存在一个常数 $C_{2}<\infty$ 这样
$$|\sigma(t, x)-\sigma(t, y)|^{2}+|\alpha(t, x)-\alpha(t, y)|^{2} \quad+\sum_{k=1}^{\ell} \int_{\mathbb{R}}\left|\gamma^{(k)}\left(t, x, z_{k}\right)-\gamma^{(k)}\left(t, y, z_{k}\right)\right|^{2} \nu_{k}\left(\mathrm{~d} z_{k}\right) \leq C_{2}$$

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|The Girsanov Theorem and Applications

Girsanov 定理和等效局部鞅测度 (ELMM) 的相关概念在将随机分析应用于金融方面非常重要。

$\mathrm{~ 让 ~ l e f t ( \ O m e g a , ~ I m a t h c a l { F } , \ e f t { m a t h c a l { F Y { t } \ r i g h t}$ 测度 $\mathcal{F} T$. 我们说 $Q$ 相当于 $P \mid \mathcal{F} T$ 如果 $P \mid \mathcal{F} T \ll Q$ 和 $Q \ll P \mid \mathcal{F} T$, 或者, 等效地, 如果 $P$ 和 $Q$ 有相同的零集 $\mathcal{F} T$. 根据 Radon-Nikodym 定理，当且仅当我们有
$$\mathrm{d} Q(\omega)=Z(T) \mathrm{d} P(\omega) \text { and } \mathrm{d} P(\omega)=Z^{-1}(T) \mathrm{d} Q(\omega) \text { on } \mathcal{F} T$$

$$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} P}=Z(T) \text { and } \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{~d} Q}=Z^{-1}(T) \text { on } \mathcal{F} T \text {. }$$

$Q|\mathcal{F} t \ll P| \mathcal{F} t$ for all $t \in[0, T]$ and $Z(t):=\frac{\mathrm{d}(Q \mid \mathcal{F} t)}{\mathrm{d}(P \mid \mathcal{F} t)}=E P\left[Z(T) \mid \mathcal{F}_{t}\right], \quad 0 \leq t \leq T$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。