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随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统演变的噪声中存在的不确定性。
随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统进化的噪声中存在的不确定性。系统设计者以贝叶斯概率驱动的方式假设，具有已知概率分布的随机噪声会影响状态变量的演变和观察。随机控制的目的是设计受控变量的时间路径，以最小的成本执行所需的控制任务，尽管存在这种噪声，但以某种方式定义。
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统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Preliminary Remarks
Stochastic optimal control is a subfield of control theory, which focuses upon the stochastic systems and develops into a cross-discipline between the stochastic process theory and the optimal control theory. The associated theories and technologies with the electronics and information engineering, mechanical engineering, and aerospace engineering, were flourished since $1960 \mathrm{~s}$, and just concerned the state adjustment of systems under random disturbances such as random excitations and measurement noise. The development in the field of civil engineering began after the seventies of twentieth century. Different from the requirements of the fields of mechanical engineering and aerospace engineering, the civil engineering structures exhibit a large size and experience a complicated external excitation. They have to encounter a series of challenging issues in regard to the safety, the durability, and the comfortability. These issues become more serious in the case of hazardous actions with uncertainties inherent in the occurring time, occurring space, and occurring intensity. The conventional stochastic optimal control theory, however, originated from the random process theory assumes the white Gaussian noise as the random disturbance, which is obviously far from the hazardous actions of engineering structures. Therefore, it is necessary to explore a logical theory and pertinent methods for the stochastic optimal control of civil engineering structures which circumvents the dilemma encountered by the conventional stochastic optimal control theory.
This chapter aims at addressing the theoretical principles relevant to the succeeding chapters in this book. The remaining sections included in this chapter include the classical stochastic optimal control, the random vibration of structures, and its advances that underlies the solution methods for controlled stochastic dynamical systems, the dynamic reliability of structures that underlies the design basis for probabilistic criteria of stochastic optimal control of structures, and the modeling of random dynamic excitations that underlies the uncertainty quantification and simulation of hazardous actions of engineering structures. Through integrating the involved sections, the principle for the theory and methods of stochastic optimal control of structures are provided.
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Classical Stochastic Optimal Control
The stochastic optimal control aims at attaining the optimal control law that promotes the stochastic system to an expected state through minimizing a certain cost function by the celebrated optimal control schemes. It is well recognized that the pioneering work on the optimal control theory is the proposal of calculus of variations. In history, Pierre and Fermat introduced firstly the so-called Fermat’s least action principle to explore the minimum path of ray propagating through the optical media in 1662. In 1755, Lagrange introduced the delta calculus, and then Euler proposed the elementary definition of variation method. In $1930 \mathrm{~s}$, the Hamilton-Jacobi equation was derived in the framework of the variation method owing to Hamilton and Jacobi’s contributions. Till the mid-twentieth century, the classical variation theory was completely established. The research of modern optimal control theory began from the late period of World War II. Its theoretical milestones consist of the maximum principle proposed by Pontryagin in 1956 , the dynamic programming proposed by Bellman in 1957 , the state-space method, and linear filtering theory developed by Kalman in 1960 (Yong and Zhou 1999). In early of 1960 s, owing to the developments of the stochastic maximum principle (Kushner 1962) and the stochastic dynamic programming (Florentin 1961 ), the research of stochastic optimal control theory was marked as the beginning.
In state space, the equation of motion of a controlled stochastic dynamical system can be written as
$$
\dot{\mathbf{Z}}(t)=\mathbf{g}[\mathbf{Z}(t), \mathbf{U}(t), \mathbf{w}(t), t], \mathbf{Z}\left(t_{0}\right)=\mathbf{Z}_{0}
$$
The output equation of the system is given by
$$
\hat{\mathbf{Z}}(t)=\mathbf{h}[\mathbf{Z}(t), \mathbf{U}(t), \mathbf{w}(t), t]
$$
The measure equation of the system is then given by
$$
\mathbf{Y}(t)=\mathbf{j}[\hat{\mathbf{Z}}(t), \mathbf{n}(t), t]
$$
where $\mathbf{Z}(t)$ is the $2 n$-dimensional column vector denoting system state; $\hat{\mathbf{Z}}(t)$ is the $m$ dimensional vector denoting system output; $\mathbf{U}(t)$ is the $r$-dimensional vector denoting control force; $\mathbf{w}(t)$ is the $s$-dimensional vector denoting random excitations; $\mathbf{n}(t)$ is the $m$-dimensional vector denoting measurement noise; $\mathbf{Y}(t)$ is the $m$-dimensional measured vector denoting system state; $\mathbf{g}(\cdot)$ is the $2 n$-dimensional functional vector denoting system state evolution; $\mathbf{h}(\cdot), \mathbf{j}(\cdot)$ are the $m$-dimensional functional vectors denoting the output and measurement of systems, respectively, which both rely upon the number of sensors.
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Spectral Transfer Matrix Method
A linear stochastic dynamical system is considered as follows:
$$
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}(t)+\mathbf{C} \dot{\mathbf{X}}(t)+\mathbf{K X}(t)=\mathbf{F}(\boldsymbol{\Theta}, t)
$$
where $\mathbf{M}, \mathbf{C}$, and $\mathbf{K}$ are the $n \times n$ mass, damping, and stiffness matrices, respectively; $\ddot{\mathbf{X}}(t), \dot{\mathbf{X}}(t), \mathbf{X}(t)$ are the $n$-dimensional column vectors denoting system acceleration, velocity, and displacement, respectively; $\mathbf{F}(\boldsymbol{\Theta}, t)$ is the $n$-dimensional column vector denoting random excitations, and $\boldsymbol{\Theta}$ is an $n_{\boldsymbol{\Theta} \text {-dimensional vector denoting random }}$ parameters of system which exhibits the joint probability density function $p_{\boldsymbol{\Theta}}(\boldsymbol{\theta})$.
Defining the $n \times n$ unit impulse response function matrices $\mathbf{h}(t)$, where the component $h_{i j}(t)$ denotes the response of the $i$ th degree in the case that the unit impulse acts on the $j$ th degree of the system, one can attain the system response $\mathbf{h}{j}(t)$ from the equation of motion as follows: $$ \mathbf{M} \ddot{\mathbf{h}}{j}(t)+\mathbf{C} \dot{\mathbf{h}}{j}(t)+\mathbf{K h}{j}(t)=\mathbf{I}{j} \delta(\boldsymbol{\Theta}, t) $$ where $\mathbf{I}{j}=(\underbrace{0,0, \ldots, 0,1}_{j}, 0, \ldots, 0)^{\mathrm{T}}$ is $n$-dimensional column vectors denoting the location of the unit impulse $\delta(\boldsymbol{\Theta}, t)$ acting on the $j$ th degree of the system.
随机控制代写
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Preliminary Remarks
随机最优控制是控制理论的一个子领域，主要研究随机系统，发展成为随机过程理论和最优控制理论之间的交叉学科。与电子与信息工程、机械工程、航空航天工程相关的理论与技术，自此蓬勃发展。1960 s, 只关注系统在随机激励和测量噪声等随机扰动下的状态调整。土木工程领域的发展始于二十世纪七十年代以后。与机械工程和航空航天工程领域的要求不同，土木工程结构呈现出大尺寸并经历复杂的外部激励。他们不得不在安全性、耐用性和舒适性方面遇到一系列具有挑战性的问题。这些问题在发生时间、发生空间和发生强度具有固有不确定性的危险动作的情况下变得更加严重。然而，传统的随机最优控制理论，源于随机过程理论的高斯白噪声假设为随机扰动，这显然与工程结构的危险作用相去甚远。因此，有必要探索土木工程结构随机最优控制的逻辑理论和相关方法，以规避传统随机最优控制理论所面临的困境。
本章旨在阐述与本书后续章节相关的理论原则。本章的其余部分包括经典随机最优控制、结构的随机振动及其作为受控随机动力系统求解方法基础的进展、作为随机最优概率标准设计基础的结构的动态可靠性结构的控制，以及随机动态激励的建模，这是不确定性量化和工程结构危险动作模拟的基础。通过对相关章节的整合，给出了结构随机最优控制的理论和方法的原理。
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Classical Stochastic Optimal Control
随机最优控制旨在通过著名的最优控制方案通过最小化某个成本函数来获得将随机系统提升到预期状态的最优控制律。众所周知，最优控制理论的开创性工作是变分法的提出。历史上，皮埃尔和费马在 1662 年首先引入了所谓的费马最小作用原理来探索光线在光学介质中传播的最小路径。1755 年，拉格朗日引入了 delta 微积分，随后欧拉提出了变分法的基本定义. 在1930 s，由于 Hamilton 和 Jacobi 的贡献，Hamilton-Jacobi 方程是在变分法的框架下推导出来的。直到二十世纪中叶，经典变分理论才完全成立。现代最优控制理论的研究始于二战后期。其理论里程碑包括 1956 年 Pontryagin 提出的最大原理、1957 年 Bellman 提出的动态规划、状态空间方法和 Kalman 1960 年提出的线性滤波理论（Yong and Zhou 1999）。1960年代初，由于随机极大值原理（Kushner 1962）和随机动态规划（Florentin 1961）的发展，随机最优控制理论的研究被标记为开端。
在状态空间中，受控随机动力系统的运动方程可以写为
从˙(吨)=G[从(吨),在(吨),在(吨),吨],从(吨0)=从0
系统的输出方程由下式给出
从^(吨)=H[从(吨),在(吨),在(吨),吨]
系统的测量方程由下式给出
是(吨)=j[从^(吨),n(吨),吨]
在哪里从(吨)是个2n- 表示系统状态的维列向量；从^(吨)是个米表示系统输出的维向量；在(吨)是个r-表示控制力的维向量；在(吨)是个s表示随机激励的维向量；n(吨)是个米- 表示测量噪声的维向量；是(吨)是个米表示系统状态的维测量向量；G(⋅)是个2n表示系统状态演化的维函数向量；H(⋅),j(⋅)是米维函数向量分别表示系统的输出和测量，它们都依赖于传感器的数量。
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Spectral Transfer Matrix Method
线性随机动力系统被认为如下：
米X¨(吨)+CX˙(吨)+ķX(吨)=F(θ,吨)
在哪里米,C， 和ķ是n×n分别为质量、阻尼和刚度矩阵；X¨(吨),X˙(吨),X(吨)是n分别表示系统加速度、速度和位移的维列向量；F(θ,吨)是个n表示随机激励的维列向量，以及θ是一个nθ表示随机的维向量 具有联合概率密度函数的系统参数pθ(θ).
定义n×n单位脉冲响应函数矩阵H(吨), 其中组件H一世j(吨)表示的响应一世在单位冲量作用于j系统的th度，可以达到系统响应Hj(吨)从运动方程如下：
米H¨j(吨)+CH˙j(吨)+ķHj(吨)=一世jd(θ,吨)在哪里一世j=(0,0,…,0,1⏟j,0,…,0)吨是n表示单位脉冲位置的维列向量d(θ,吨)作用于j系统的度数。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。