### 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The average present value

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The average present value

EXERCISE 5.4. The average present value of the total claim amount is computed by conditioning on the value of $N(t)$. We proceed as follows: $E[P(t)]=E E[P(t) \mid N(t)]=E E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} X_{i} e^{-\delta s_{i}} \mid N(t)\right]$ $=E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} E\left(X_{i}\right) E\left(e^{-\delta s_{i}}\right)\right]$. The claim arrival times $S_{1}, \ldots, S_{N(t)}$ are order statistics from a uniform distribution on $[0, t]$ and we can write $S_{i}=t U_{(i)}$ where $U_{(i)}$ is the $i$ th order statistic from the standard uniform distribution. We continue $E[P(t)]=E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} E\left(X_{i}\right) E\left(e^{\left.-\delta t U_{(i)}\right)}\right]=E\left(X_{1}\right) E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} E\left(e^{-\delta t U_{i}}\right)\right]\right.$ $=E\left(X_{1}\right) E(N(t)) E\left(e^{-\delta t U_{1}}\right)=E\left(X_{1}\right) \lambda \int_{0}^{1} e^{-\delta t u} d u=E\left(X_{1}\right)\left(\frac{\lambda}{\delta}\right)\left(1-e^{-\delta t}\right)$
EXERCISE 5.5. (a) Random variables $Y_{i}^{\prime}$ s are iid $\sim$ Poisson $(\beta)$. Therefore, $\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \sim$ Poisson $(\beta n)$. We write $P(X(t)=x)=P\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_{i}=x\right)=\sum_{n=0}^{\infty} P\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}=\right.$ $x \mid N(t)=n) P(N(t)=n)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\beta n)^{x}}{x !} e^{-\beta n} \frac{(\lambda t)^{n}}{n !} e^{-\lambda t}=\frac{\beta^{x}}{x !} e^{-\lambda t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{x}(\lambda t)^{n}}{n !} e^{-\beta n} .$
(b) $E(X(t))=\lambda t E\left(Y_{1}\right)=\lambda t \beta, \operatorname{Var}(X(t))=\lambda t E Y_{1}^{2}=\lambda t\left(\beta+\beta^{2}\right)$.

(c) $P(X(t)=0)=\frac{\beta^{0}}{0 !} e^{-\lambda t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{0}(\lambda t)^{n}}{n !} e^{-\beta n}=e^{-\lambda t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\lambda t e^{-\beta}\right)^{n}}{n !}=e^{-\lambda t+\lambda t e^{-\beta}}=e^{-\lambda t\left(1-e^{-\beta}\right)}$.
The ratio between the variance and mean is $\frac{\operatorname{Var}(X(t))}{E(X(t))}=1+\beta$, thus, $\beta$ can be estimated as $\hat{\beta}=\frac{\operatorname{Var}(X(t))}{\hat{E}(X(t))}-1$. Also, $\ln P(X(t)=0)=\ln P(0)=-\lambda t\left(1-e^{-\beta}\right)$. Hence, we can estimate $\lambda$ by $\hat{\lambda}–\frac{\ln P(0)}{t\left(1-e^{-\beta}\right)} .$

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The total dollar amount

EXERCISE 5.6. (a) The total dollar amount can be modeled by a compound Poisson process $X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)} Y_{i}$ where $N(t)$ is the process governing the number of cars that come to the gas station up to time $t$, and $Y_{i}$ is the dollar amount that the $i$ th car driver pays. We are given that $N(t) \sim$ Poisson $(\lambda t)$, and $Y_{i} \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \beta)$ with mean $E\left(Y_{i}\right)=\alpha \beta$, and variance $\operatorname{Var}\left(Y_{i}\right)=\alpha \beta^{2}$.
(b) Denote by $T_{i} \sim \operatorname{Exp}\left(\operatorname{mean}=\frac{1}{\lambda}\right)$ the interarrival times between car arrivals. The method of method of moments estimators of $\alpha$ and $\beta$ are $\hat{\alpha}=\frac{n P^{2}}{\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}-n P^{2}}$ and $\hat{\beta}=\frac{q}{\hat{\alpha}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}-n P^{2}}{n \gamma}$. They solve the system of two equations: $\bar{Y}=\hat{E}\left(Y_{1}\right)=\hat{a} \hat{\beta}$ and $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}=\hat{E}\left(Y_{1}^{2}\right)=\hat{V} a r\left(Y_{1}\right)+$ $\left(\hat{E}\left(Y_{1}\right)\right)^{2}=\hat{\alpha} \hat{\beta}^{2}+(\hat{\alpha} \hat{\beta})^{2}=\hat{\beta} \bar{Y}+\bar{Y}^{2}$
(a) The code below produces numeric values of the estimators and plots histograms with fitted curvcs.

###### computing lag

gas. data\$ArrivalTime. lag<- c (0, head (gas.data\$ArrivalTime, -1))

###### computing interarrival times

interarrival.time<- gas. data\$ArrivalTime-gas. data\$ArrivalTime. lag

###### estimating lambda of Poisson arrival

print (lambda. hat<- $1 /$ mean (interarrival.time))
$0.6029832$
print (1/lambda. hat)

1. 658421
There are, on average, $0.6029832$ car arrivals every minute. The average wait time between two arrivals is $1.658421$ minutes.
###### overlaying histogram and fitted exponential density curve

hist (interarrival. time, freq=FALSE, col=”purple”)
$x<-\operatorname{seq}(0,8, b y=0.01)$
$y<-\operatorname{dexp}(x$, lambda, hat $)$
lines (x, y, lty=1, col=”light green”, lwd=3)

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|EXERCISE

EXERCISE 6.1. (a) $\operatorname{Cov}(N(s), N(t)-N(s))=E[N(s) N(t-s)]-E[N(s)] E[N(t-s)]=$ $E E[N(s) N(t-s) \mid \Lambda]-E E[N(s) \mid \Lambda] \cdot E E[N(t-s) \mid \Lambda]=E[(\Lambda s)(\Lambda)(t-s)]-E[\Lambda s] E[\Lambda(t-$ $s)]=s(t-s) E\left(\Lambda^{2}\right)-s(t-s)(E(\Lambda))^{2}=s(t-s) \operatorname{Var}(\Lambda)$.
(b) $\operatorname{Cov}(N(s), N(t))=E[N(s) N(t)]-E[N(s)] E[N(t)]=E E[N(s)(N(t)-N(s)+N(s)) \mid \Lambda]-$ $E[N(s)] E[N(t)]=E E[N(s) N(t-s) \mid \Lambda]+E E\left[(N(s))^{2} \mid \Lambda\right]-E E[N(s) \mid \Lambda] \cdot E E[N(t) \mid \Lambda]=$ $E[(\Lambda s)(\Lambda)(t-s)]+E\left[\Lambda s+(\Lambda s)^{2}\right]-E(\Lambda s) E(\Lambda t)=s(t-s) E\left(\Lambda^{2}\right)+s E(\Lambda)+s^{2} E\left(\Lambda^{2}\right)-$ $s t(E(\Lambda))^{2}=s t E\left(\Lambda^{2}\right)-s t(E(\Lambda))^{2}+s E(\Lambda)=s t \operatorname{Var}(\Lambda)+s E(\Lambda) .$
EXERCISE 6.2. (a) $F_{\Lambda \mid N(t)}(\lambda \mid n)=P(\Lambda \leq \lambda \mid N(t)=n)=\frac{P(N(t)=n, \Lambda \leq \lambda)}{P(N(t)=n)}$
$$=\frac{\int_{0}^{\lambda} P(N(t)=n \mid \Lambda=u) f_{\Lambda}(u) d u}{\int_{0}^{\infty} P(N(t)=n \mid \Lambda=u) f_{\Lambda}(u) d u}=\frac{\int_{0}^{\lambda(u t)^{n}} \frac{n !}{n !} e^{-u t} f_{\Lambda}(u) d u}{\int_{0}^{\infty} \frac{\left.(u t)^{n}\right)^{n}}{n !} e^{-u t} f_{\Lambda}(u) d u}=\frac{\int_{0}^{\lambda} u^{n} e^{-u t} f_{\Lambda}(u) d u}{\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u t} f_{\Lambda}(u) d u} .$$
(b) $f_{\Lambda \mid N(t)}(\lambda \mid n)=F_{\Lambda \mid N(t)}^{\prime}(\lambda \mid n)=\frac{\lambda^{n} e^{-\lambda t} f_{\Lambda}(\lambda)}{\int_{0}^{\infty} \lambda^{n} e^{-\lambda t} f_{\Lambda}(\lambda) d \lambda}$.
(c) $E[\Lambda \mid N(t)=n]=\int_{0}^{\infty} \lambda f_{\Lambda \mid N(t)}(\lambda \mid n) d \lambda=\frac{\int_{0}^{\infty} \lambda^{n+1} e^{-\lambda t} f_{\Lambda}(\lambda) d \lambda}{\int_{0}^{\infty} \lambda^{n} e^{-\lambda t} f_{\Lambda}(\lambda) d \lambda}$.
EXERCISE 6.3. (a) Denote by ${N(t), t \geq 0}$ the process of visitor arrival. We know that $N(t) \sim$ Poisson $(\Lambda t)$ where $P(\Lambda=4)=0.46, P(\Lambda=2)=0.24$, and $P(\Lambda=3)=0.30$.
The mean and variance of $N(t)$ are $E(N(t))=t E(\Lambda)=t((4)(0.46)+(2)(0.24)+(3)(0.30))=$ $3.22 t$, and $\operatorname{Var}(N(t))=t^{2} \operatorname{Var}(\Lambda)+t E(\Lambda)=t^{2}\left((4)^{2}(0.46)+(2)^{2}(0.24)+(3)^{2}(0.30)-\right.$ $\left.(3.22)^{2}\right)+3.22 t=0.6516 t^{2}+3.22 t$.
(b) The code below simulates 5 trajectories of the process with 200 visitors each.

###### specifying parameters

$p<-c(0.46,0.24,0.30)$
lambda<- c $(4,2,3)$
nvisitors<- 200
time<- data.frame ()
$\mathbb{N}<-$ data . frame ()

###### specifying seed

set.seed (109088)

###### creating loop to simulate trajectories

for $(j$ in 1:5)

###### selecting rate

Lambda<- lambda [sample $(1: 3,1$, prob=p) ]

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The average present value

(二)和(X(吨))=λ吨和(是1)=λ吨b,曾是⁡(X(吨))=λ吨和是12=λ吨(b+b2).

（C）磷(X(吨)=0)=b00!和−λ吨∑n=0∞n0(λ吨)nn!和−bn=和−λ吨∑n=0∞(λ吨和−b)nn!=和−λ吨+λ吨和−b=和−λ吨(1−和−b).

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The total dollar amount

(b) 表示为吨一世∼经验⁡(意思是=1λ)汽车到达之间的间隔时间。矩估计方法的方法一种和b是一种^=n磷2∑一世=1n是一世2−n磷2和b^=q一种^=∑一世=1n是一世2−n磷2nC. 他们解决了两个方程组：是¯=和^(是1)=一种^b^和1n∑一世=1n是一世2=和^(是12)=在^一种r(是1)+ (和^(是1))2=一种^b^2+(一种^b^)2=b^是¯+是¯2
(a) 下面的代码生成估计量的数值并绘制带有拟合曲线的直方图。

###### 计算到达间隔时间

interarrival.time<-gas。数据$ArrivalTime-gas。数据$到达时间。落后

###### 估计泊松到达的 lambda

0.6029832

1. 658421
平均而言，0.6029832每分钟都有汽车到达。两次到达之间的平均等待时间为1.658421分钟。
###### 叠加直方图和拟合指数密度曲线

hist (interarrival. time, freq=FALSE, col=”purple”)
X<−序列⁡(0,8,b是=0.01)

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|EXERCISE

(二)这⁡(ñ(s),ñ(吨))=和[ñ(s)ñ(吨)]−和[ñ(s)]和[ñ(吨)]=和和[ñ(s)(ñ(吨)−ñ(s)+ñ(s))∣Λ]− 和[ñ(s)]和[ñ(吨)]=和和[ñ(s)ñ(吨−s)∣Λ]+和和[(ñ(s))2∣Λ]−和和[ñ(s)∣Λ]⋅和和[ñ(吨)∣Λ]= 和[(Λs)(Λ)(吨−s)]+和[Λs+(Λs)2]−和(Λs)和(Λ吨)=s(吨−s)和(Λ2)+s和(Λ)+s2和(Λ2)− s吨(和(Λ))2=s吨和(Λ2)−s吨(和(Λ))2+s和(Λ)=s吨曾是⁡(Λ)+s和(Λ).

=∫0λ磷(ñ(吨)=n∣Λ=在)FΛ(在)d在∫0∞磷(ñ(吨)=n∣Λ=在)FΛ(在)d在=∫0λ(在吨)nn!n!和−在吨FΛ(在)d在∫0∞(在吨)n)nn!和−在吨FΛ(在)d在=∫0λ在n和−在吨FΛ(在)d在∫0∞在n和−在吨FΛ(在)d在.
(二)FΛ∣ñ(吨)(λ∣n)=FΛ∣ñ(吨)′(λ∣n)=λn和−λ吨FΛ(λ)∫0∞λn和−λ吨FΛ(λ)dλ.
（C）和[Λ∣ñ(吨)=n]=∫0∞λFΛ∣ñ(吨)(λ∣n)dλ=∫0∞λn+1和−λ吨FΛ(λ)dλ∫0∞λn和−λ吨FΛ(λ)dλ.

(b) 下面的代码模拟了过程的 5 个轨迹，每个轨迹有 200 个访问者。

###### 指定参数

p<−C(0.46,0.24,0.30)
λ<- c(4,2,3)
nvisitors<- 200

ñ<−数据 。框架 （）

###### 指定种子

set.seed (109088)

###### 选择率

λ<- λ [样本(1:3,1,概率=p)]

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。