统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考| Renewal Theory

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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。

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统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考| Renewal Theory

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Introduction

Let $X_{n}, n=1,2, \ldots$, be the nonnegative i.i.d r.v.s with $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}, n \geq 1$, $S_{0}=0 . F$ is the common d.f. of $X$ and assume $P\left(X_{n}=0\right)<1$. Define $N(t)=$ $\sup \left{n \mid S_{n} \leq t\right}$. The process ${N(t), t \geq 0}$ is called the Renewal Process.

To fix our ideas $X_{i}$ can be taken to represent the life time of the machines being replaced. The first machine is installed at time $t=0$ and is replaced instantaneously at time $t=X_{1}$. The replaced machine is again replaced at time $t=X_{1}+X_{2}$, and so on. If we write $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$, the partial sum $S_{n}$ can be interpreted to be the time at which the nth replacement is made. $N(t)$ is the largest value of $n$ for which $S_{n} \leq t$. In other words $N(t)$ is the number of renewals that would have occurred at time $t$. The Renewal Theory, in a sense, is a special case of a Random Walk with absorbing barrier. We are sampling the $X_{i}$ until $S_{n}$ shoots the barrier at time $t$ and $N(t)+1$ is the sample size when we stop. Hence the Renewal Theory is also linked with Sequential Analysis in statistics.
${N(t), t \in(0, \infty)}$ is called the Renewal Counting Process. We can also write $N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right} .$

We want to find $P[N(t)=n]$ given $F$. To compute this we proceed as follows:
$$
\begin{aligned}
P\left[S_{2} \leq t\right] &=\int_{0}^{\infty} F(t-u) d F(u) \
&=\int_{0}^{t} F(t-u) d F(u) \
&=F^{*} F(t)=F^{(2)}(t), \ldots \
P\left[S_{n} \leq t\right] &=F^{(n)}(t)=\int_{0}^{t} F^{(n-1)}(t-u) d F(u), n \geq 1
\end{aligned}
$$
Define $\quad F^{(0)}(t)=\left{\begin{array}{l}0 \text { if } t<0 \\ 1 \text { if } t \geq 0 .\end{array}\right.$ Now $P[N(t)=n]=P\left[S_{1} \leq t, S_{2} \leq t, \ldots, S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\right]$ $=P\left[S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\right]$ (by nonnegativeness of $X_{1}$ )

$=P\left[S_{n} \leq t, S_{n}+X_{n+1}>t\right]$
$=P\left[t-X_{n+1}<S_{n} \leq t\right]$
$=\int_{0}^{\infty} P\left[t-X_{n+1}<S_{n} \leq t \mid u<X_{n+1} \leq u+d u\right] d F(u)$
$=\int_{0}^{\infty} P\left[t-u<S_{n} \leq t \mid u<X_{n+1} \leq u+d u\right] d F(u)$
$=\int_{0}^{\infty} P\left[t-u<S_{n} \leq t\right] d F(u)\left(\right.$ since $S_{n}$ is independent of $\left.X_{n+1}\right)$
$=\int_{0}^{\infty}\left{F^{(n)}(t)-F^{(n)}(t-u)\right} d F(u)$
$=\int_{0}^{\infty} F^{(n)}(t) d F(u)-\int_{0}^{\infty} F^{(n)}(t-u) d F(u)$
$=F^{(n)}(t)-\int_{0}^{t} F^{(n)}(t-u) d F(u)$

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Renewal Equation

Theorem 4.1
(a) $P[N(t)=n]=F^{(n)}(t)-F^{(n+1)}(t)$
(b) $H(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)$
(c) $H(t)=F(t)+\int_{0}^{t} H(t-u) d F(u)$, the so-called integral equation of Renewal Theory (Renewal equation).
(d) ${N(t), t \in[0, \infty)}$ is completely determined by $H(t)$.
$\operatorname{Proof}(\mathrm{b})$
$$
\begin{aligned}
H(t) &=\sum_{n=0}^{\infty} n P[N(t)=n] \
&=P[N(t)=1]+2 P[N(t)=2]+\ldots \
&=F^{(1)}(t)-F^{(2)}(t)+2 F^{(2)}(t)-2 F^{(3)}(t)+\ldots \
&=F^{(1)}(t)+F^{(2)}(t)+F^{(3)}(t)+\ldots
\end{aligned}
$$
$=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)$ provided the series is convergent.
(convergence of the series will be proved in Exercise 4.5)
(c) $H(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)=F^{(1)}(t)+\sum_{n=2}^{\infty} F^{(n)}(t)$

$$
\begin{aligned}
&=F(t)+\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n+1)}(t)=F(t)+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{t} F^{(n)}(t-u) d F(u) \
&=F(t)+\int_{0}^{t} \sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t-u) d F(u) \text { (by Fubini Theorem) } \
&=F(t)+\int_{0}^{t} H(t-u) d F(u)
\end{aligned}
$$
(d) $H(t)=F(t)+\int_{0}^{t} H(t-u) d F(u)=F(t)+H^{} F(u)$ where $$ is the convolution operator.
Taking Laplace transform on both sides
$$
\mathscr{L}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} d H(t)=\mathscr{F}(s)+\mathscr{2}(s) \mathscr{F}(s)
$$
or $\mathscr{F}(s)=\frac{\mathscr{L}(s)}{1+\mathscr{L}(s)}$, where $\mathscr{F}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} d F(t)$ and $\mathscr{L}^{\prime}(s)=\frac{\mathscr{F}(s)}{1-G^{\top}(s)}(\operatorname{Re}(s)>0)$. This shows that $H(t)$ and $F(x)$ can be determined uniquely one from the other, since Laplace transform determines a non-decreasing (specially a d.f.) function uniquely. Hence $N(t)$ is completely determined by $H(t)$.
Now $N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right}$ and $E N(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)$ if $E N(t)<\infty$.
The next theorem will prove that all moments of $N(t)$ is finite.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Renewal Theorems

  1. Elementary Renewal Theorem (Feller 1941)
    $$
    \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{H(t)}{t}= \begin{cases}1 / \mu & \text { if } 0<\mu=E(x)<\infty \ 0 & \text { if } \mu=\infty\end{cases}
    $$
  2. Blackwell’s Renewal Theorem (1948)
    $\lim {t \rightarrow \infty} \frac{H(t+h)-H(t)}{h}=1 / \mu$ for fixed $h>0$ and $X{1}$ is a continuous random variable.
    $\lim {t \rightarrow \infty} P$ [renewal at $\left.n d\right] \rightarrow \frac{d}{\mu}$ where $X{i}$ is a lattice type discrete r.v. and $d$ is the period of the lattice.

Definition $4.2$ A random variable $X$ is said to have lattice distribution if $P[X=c+n d]>0$ where $c$ and $d(>0)$ are real constants and $n=\pm 1, \pm 2, \ldots$ 3. Key Renewal Theorem (W.L. Smith, 1953)

If $Q(t) \geq 0$ and non increasing and $\int_{0}^{\infty} Q(t) d t<\infty$ then $\lim {t \rightarrow \infty} \int{0}^{t} Q(t-x) d H(x)=\frac{1}{\mu} \int_{0}^{\infty} Q(t) d t$ whenever $X$ is not arithmatic. A weaker version of the Elementary Renewal Theorem is the following due to J.L. Doob (1948) and is known as Doob’s Renewal Theorem $$ \lim {t \rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t}=\frac{1}{\mu} \text { a.s. } $$ Proof Assume that $X{1}, X_{2}, \ldots$ and i.i.d. with $0<\mu<\infty$. and for all $0<\varepsilon<\mu$, $(\mu-\varepsilon) n \leq S_{n} \leq(\mu+\varepsilon) n$ for all large $n$. $$ n t1$. Replace $t$ by $n t$ to get
$$
n t \geq S_{N(t n)} \geq(\mu-\varepsilon) N(t n) \text { for all large } n \text {. }
$$
From (4.6) and (4.7) $\frac{t}{\mu+\varepsilon}<\frac{N(t n)+1}{n} \leq \frac{t}{\mu-\varepsilon}+\frac{1}{n}$ for $t>0$ and large $n$. Hence $\frac{N(t n)}{n} \rightarrow \frac{t}{\mu}$ a.s. as $n \rightarrow \infty$ and $t>0$,
i.e. $\frac{N(t n)}{t n} \rightarrow \frac{t}{\mu}$ as $t \rightarrow \infty$. Putting $n t=t^{*}$ we get the result.
Proof of Elementary Renewal Theorem
Assume $0<\mu<\infty$. Hence, there exists $\lambda>0$ such that $P\left(X_{n} \geq \lambda\right)>0$ for all $n=1,2, \ldots$
Define
$$
X_{n}^{\prime}=\left{\begin{array}{l}
\lambda \text { if } x_{n} \geq \lambda \
0 \text { otherwise }
\end{array}\right.
$$
(truncated r.v.)
Then $X_{n}^{\prime}$ are i.i.d. r.v.s and $X_{n}^{\prime} \leq X_{n}$ a.s. for all $n=1,2, \ldots$.
Define $S_{n}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}^{\prime}$ and $N^{\prime}(t)=\max \left{K: S_{k}^{\prime} \leq t\right}$.

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贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Introduction

让Xn,n=1,2,…, 是非负独立同分布 rvs小号n=X1+…+Xn,n≥1, 小号0=0.F是的共同 dfX并假设磷(Xn=0)<1. 定义ñ(吨)= \sup \left{n \mid S_{n} \leq t\right}\sup \left{n \mid S_{n} \leq t\right}. 过程ñ(吨),吨≥0被称为更新过程。

修正我们的想法X一世可以用来表示被更换机器的使用寿命。第一台机器安装时间吨=0并在时间瞬间被替换吨=X1. 被更换的机器在时间再次被更换吨=X1+X2, 等等。如果我们写小号n=X1+…+Xn, 部分和小号n可以解释为进行第 n 次替换的时间。ñ(吨)是最大值n为此小号n≤吨. 换句话说ñ(吨)是当时可能发生的续订次数吨. 从某种意义上说,更新理论是具有吸收障碍的随机游走的特例。我们正在抽样X一世直到小号n及时射门吨和ñ(吨)+1是我们停止时的样本量。因此,更新理论也与统计学中的顺序分析联系在一起。
ñ(吨),吨∈(0,∞)称为更新计数过程。我们也可以写N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right} 。N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right} 。

我们想找到磷[ñ(吨)=n]给定F. 为了计算这个,我们进行如下:
磷[小号2≤吨]=∫0∞F(吨−在)dF(在) =∫0吨F(吨−在)dF(在) =F∗F(吨)=F(2)(吨),… 磷[小号n≤吨]=F(n)(吨)=∫0吨F(n−1)(吨−在)dF(在),n≥1
定义 $\quad F^{(0)}(t)=\left{0 如果 吨<01 如果 吨≥0.\对。ñ这在P[N(t)=n]=P\left[S_{1} \leq t, S_{2} \leq t, \ldots, S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\对]=P\left[S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\right](b是n这nn和G一种吨一世在和n和ss这FX_{1}$)

=磷[小号n≤吨,小号n+Xn+1>吨]
=磷[吨−Xn+1<小号n≤吨]
=∫0∞磷[吨−Xn+1<小号n≤吨∣在<Xn+1≤在+d在]dF(在)
=∫0∞磷[吨−在<小号n≤吨∣在<Xn+1≤在+d在]dF(在)
=∫0∞磷[吨−在<小号n≤吨]dF(在)(自从小号n独立于Xn+1)
=\int_{0}^{\infty}\left{F^{(n)}(t)-F^{(n)}(tu)\right} d F(u)=\int_{0}^{\infty}\left{F^{(n)}(t)-F^{(n)}(tu)\right} d F(u)
=∫0∞F(n)(吨)dF(在)−∫0∞F(n)(吨−在)dF(在)
=F(n)(吨)−∫0吨F(n)(吨−在)dF(在)

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定理 4.1
(a)磷[ñ(吨)=n]=F(n)(吨)−F(n+1)(吨)
(二)H(吨)=∑n=1∞F(n)(吨)
(C)H(吨)=F(吨)+∫0吨H(吨−在)dF(在),即更新论的所谓积分方程(Renewal equation)。
(d)ñ(吨),吨∈[0,∞)完全由H(吨).
证明⁡(b)
H(吨)=∑n=0∞n磷[ñ(吨)=n] =磷[ñ(吨)=1]+2磷[ñ(吨)=2]+… =F(1)(吨)−F(2)(吨)+2F(2)(吨)−2F(3)(吨)+… =F(1)(吨)+F(2)(吨)+F(3)(吨)+…
=∑n=1∞F(n)(吨)假设级数是收敛的。
(级数的收敛性将在练习 4.5 中证明)
(c)H(吨)=∑n=1∞F(n)(吨)=F(1)(吨)+∑n=2∞F(n)(吨)=F(吨)+∑n=1∞F(n+1)(吨)=F(吨)+∑n=1∞∫0吨F(n)(吨−在)dF(在) =F(吨)+∫0吨∑n=1∞F(n)(吨−在)dF(在) (由富比尼定理)  =F(吨)+∫0吨H(吨−在)dF(在)
(d)H(吨)=F(吨)+∫0吨H(吨−在)dF(在)=F(吨)+HF(在)在哪里一世s吨H和C这n在这l在吨一世这n这p和r一种吨这r.吨一种ķ一世nG大号一种pl一种C和吨r一种nsF这r米这nb这吨Hs一世d和s
\mathscr{L}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} d H(t)=\mathscr{F}(s)+\mathscr{2}(s) \mathscr {F}(s)
$$
或F(s)=大号(s)1+大号(s), 在哪里F(s)=∫0∞和−s吨dF(吨)和大号′(s)=F(s)1−G⊤(s)(关于⁡(s)>0). 这表明H(吨)和F(X)可以彼此唯一确定,因为拉普拉斯变换唯一确定非递减(特别是 df)函数。因此ñ(吨)完全由H(吨).
现在N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right}N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right}和和ñ(吨)=∑n=1∞F(n)(吨)如果和ñ(吨)<∞.
下一个定理将证明所有矩ñ(吨)是有限的。

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  1. 基本更新定理 (Feller 1941)
    林吨→∞H(吨)吨={1/μ 如果 0<μ=和(X)<∞ 0 如果 μ=∞
  2. 布莱克威尔的更新定理 (1948)
    林吨→∞H(吨+H)−H(吨)H=1/μ对于固定H>0和X1是一个连续随机变量。
    林吨→∞磷[更新时间nd]→dμ在哪里X一世是格型离散 rv 和d是格子的周期。

定义4.2随机变量X据说有格子分布,如果磷[X=C+nd]>0在哪里C和d(>0)是实常数和n=±1,±2,…3. 关键更新定理 (WL Smith, 1953)

如果问(吨)≥0和不增加和∫0∞问(吨)d吨<∞然后林吨→∞∫0吨问(吨−X)dH(X)=1μ∫0∞问(吨)d吨每当X不是算术的。由于 JL Doob (1948),基本更新定理的较弱版本如下,被称为 Doob 更新定理林吨→∞ñ(吨)吨=1μ 作为 证明假设X1,X2,…和 iid0<μ<∞. 并为所有人0<e<μ, (μ−e)n≤小号n≤(μ+e)n对于所有大n.n吨1$.R和pl一种C和$吨$b是$n吨$吨这G和吨
nt \geq S_{N(tn)} \geq(\mu-\varepsilon) N(tn) \text { 对于所有大 } n \text {。}
Fr这米(4.6)一种nd(4.7)$吨μ+e<ñ(吨n)+1n≤吨μ−e+1n$F这r$吨>0$一种ndl一种rG和$n$.H和nC和$ñ(吨n)n→吨μ$一种.s.一种s$n→∞$一种nd$吨>0$,一世.和.$ñ(吨n)吨n→吨μ$一种s$吨→∞$.磷在吨吨一世nG$n吨=吨∗$在和G和吨吨H和r和s在l吨.磷r这这F这F和l和米和n吨一种r是R和n和在一种l吨H和这r和米一种ss在米和$0<μ<∞$.H和nC和,吨H和r和和X一世s吨s$λ>0$s在CH吨H一种吨$磷(Xn≥λ)>0$F这r一种ll$n=1,2,…$D和F一世n和
X_{n}^{\素数}=\左{λ 如果 Xn≥λ 0 除此以外 \对。
$$
(截断的 rv)
然后Xn′是 iidrvs 和Xn′≤Xn至于所有n=1,2,….
定义小号n′=∑ķ=1nXķ′和N^{\prime}(t)=\max \left{K: S_{k}^{\prime} \leq t\right}N^{\prime}(t)=\max \left{K: S_{k}^{\prime} \leq t\right}.

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来,Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比,Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用,因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”,也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多,跨学科范围广,所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题,StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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STATA代写机器学习/统计学习代写
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