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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。
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统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Special chains
If the Markov Chain is infinite, the number of equations given by $\pi(P-I)=0$ will be infinite involving an infinite number of unknowns. In some particular cases we can solve these equations. The following examples will illustrate this point.
Example $2.5 \quad$ Birth and-Death Chain (Non-Homogeneous Random Walk) Consider a birth and death chain on ${0,1,2, \ldots, d}$ or a set of non-negative integers i.e. where $d=\infty$. Assume that the chain is irreducible i.e. $p_{j}>0$ and $q_{j}>0$ in case $0 \leq j \leq d$ (i.e. when $d$ is finite) $p_{j}>0$ for $0 \leq j<\infty$ and $q_{j}>0$ for $0<j<\infty$ if $d$ is infinite. Consider the transition matrix
$$
X=\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots\right)=\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots\right)\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \
q_{1} & 0 & p_{1} & 0 & \cdots \
0 & q_{2} & 0 & p_{2} & \ldots \
& \cdots & \cdots & &
\end{array}\right)
$$
or $X=X P$. Let $x_{0} \neq 0$. Then
$$
\begin{aligned}
&x_{0}=x_{1} q_{1}, \
&x_{1}=x_{0}+x_{2} q_{2}, \
&x_{3}=x_{2} p_{2}+x_{4} q_{4}, \
&x_{4}=\ldots \
&\ldots \
&y_{i}=\frac{x_{i}}{x_{0}}, y_{0}=1, i=1,2,3, \ldots
\end{aligned}
$$
Define
Then
$$
\begin{aligned}
&y_{1}=1 / q_{1}, y_{1}=1+y_{2} q_{2} \text { or } y_{2}=\frac{y_{1}-1}{q_{2}}=\frac{1-q_{1}}{q_{1} q_{2}}=\frac{p_{1}}{q_{1} q_{2}} \
&y_{3}=\frac{p_{1} p_{2}}{q_{1} q_{2} q_{3}}, \ldots, y_{n}=\frac{p_{1} p_{2} \ldots p_{n-1}}{q_{1} q_{2} \ldots q_{n}}>0 \quad \text { for all } n=1,2, \ldots
\end{aligned}
$$
(by assumption that all $p, q$ ‘s are $>0$ ).
By Theorems $2.9$ and $2.11$, the non-homogeneous random walk is positive recurrent if $0<\sum_{0}^{\infty} x_{i}<\infty$ i.e. $\sum_{1}^{\infty} y_{i}<\infty$ i.e. iff $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{1} p_{2} \cdots p_{n-1}}{q_{1} q_{2} \cdots q_{n}}<\infty $$ Note that $\sum_{0}^{\infty} y_{i}=\sum_{0}^{\infty} x_{i} / x_{0}=1 / x_{0}$, since $\sum_{0}^{\infty} y_{i}=1$. Therefore $x_{n}=y_{r} x_{0}=y_{n} / \sum_{0}^{\infty} y_{i}$ gives the stationary distribution provided $\sum_{0}^{\infty} y_{\mathrm{i}}<\infty \cdot x_{0}$ still has to be determined. Now $$ 1=x_{0}+\sum_{i=1}^{\infty} x_{i}=x_{0}+\sum_{i=1}^{\infty} x_{0} y_{i} \Rightarrow x_{0}=\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{\infty} y_{i}} $$ and so $x_{0}>0$, iff $\sum_{i=1}^{\infty} y_{i}<\infty$ i.e. iff $\sum_{i=1}^{\infty} y_{i}<\infty\left(\right.$ since $\left.y_{0}=1\right)$.
In fact if $\sum_{i} y_{i}=\infty$, the solution to $(2.18)$ is either identically zero or has infinite sum $\left(\sum_{i} x_{i}=\infty\right)$ and hence has no stationary distribution.
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Foster type theorems
The following theorems, associated with Foster, give criteria for transient and recurrent chains in terms of solution of certain equations. Assume that the M.C. is irreducible.
Theorem 2.11 (Foster, 1953) Let the Markov chain be irreducible. Assume that there exists $x_{k}, k \in S$ such that $x_{k}=\sum_{k \in S} x_{i} p_{i k}$ and $0<\sum_{k \in S}\left|x_{k}\right|<\infty$. Then the Markov Chain is positive recurrent (this is a sort of converse of Theorem $2.9$ ). Proof Since $y_{k}=\frac{1}{\sum_{k \in S}\left|x_{k}\right|}>0, \sum_{k \in S} y_{k}=1$.
Without loss of generality $\left{x_{k}, k \in S\right}$ is a stationary distribution of a M.C. Then
$$
x_{k}=\sum_{k \in S} x_{i} p_{i k}^{(n)} \text { for all } n=1,2, \ldots
$$
Suppose that there is no positive state.
Since the M.C. is irreducible, then all the states are either transient or null. In that case $p_{i k}^{(n)} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$ for all $i, k \in S$. By Lebesgue Dominated Convergence Theorem, taking $n \rightarrow \infty$ in (2.19)
$$
x_{k}=\sum_{i \in S}\left(x_{i}\right) .0=0 \text { for all } k \in S
$$
But $0<\sum_{k \in S} x_{k}<\infty$ is a contradiction to $(2.20)$.
Hence, there is at least one positive recurrent state. Since M.C. is irreducible, by Solidarity Theorem the M.C. must be positive recurrent. Conclusion An ireducible aperiodic M.C. has a stationary distribution iff all states are positive recurrent.
Theorem 2.11(a) If the M.C. is positive recurrent the system of equations $x_{i}=\sum_{j=0}^{\infty} x_{j} p_{j i}$ has a solution such that $0<\sum_{j=0}^{\infty} x_{j}<\infty$.
(Proof may be found in Karlin and Taylor’s book.)
Theorem 2.12 The M.C. is transient iff $x_{i}=\sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_{j}$ has a solution for $i \neq 0$, which is bounded and non-constant i.e. all $x_{i}$ ‘s are not equal.
Theorem $2.13$ The M.C. is positive recurrent if $x_{i} \geq \sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_{j}$ has a solution such that $x_{i} \rightarrow \infty$ as $i \rightarrow \infty$ (see Chung’s book on Markov Chains with Stationary Transition Probabilities).
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Theorems Regarding Finite Markov Chain
Theorem 2(a). In a M.C. with a finite number of states, there is no null state and not all states can be transient.
Proof Suppose the chain has $N<\infty$ states. If all states are transient, then letting $n \rightarrow \infty$ in the relation $\sum_{j=0}^{N} p_{i j}^{(n)}=1$ we get $0=1$ (since by Theorem $2.8$, $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=0$ for each $j$, which is absured and hence not all states in a finite M.C. are transient. Consider the subchain $C_{1}$ formed by a closed set of null recurrent states. Then $\sum_{j \in C_{1}} p_{i j}^{(n)}=\alpha$ (say) $>0$. Letting $n \rightarrow \infty, 0=\alpha>0$ which is also absurd. So there cannot be any null recurrent state in a finite M.C.
Theorem 2(b). An irreducible M.C. having a finite number of states is positive recurrent.
Proof By previous theorem, there is no null recurrent state and not all states are
transient. Suppose there is one transient state. Then all states are transient by Solidarity Theorem. Hence, all states are positive recurrent.
Exercise $2.6$ If a finite M.C. is irreducible, aperiodic and has doubly stochastic transition matrix, then show that $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=1 / k$, where $k$ is the number of states in the chain.
Solution If $j$ is a positive recurrent state in an aperiodic irreducible chain then $p_{i j}^{(n)} \rightarrow \pi_{j}>0($ by Theorem $2.9)$
Hence $1=\sum_{i=1}^{k} p_{i j}^{(n)}$ for all $j$ and $n \geq 1$,
Therefore $k \pi_{j}=1 \Rightarrow \pi_{j}=\frac{1}{k}$.
贝叶斯网络代写
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Special chains
如果马尔可夫链是无限的，则方程数由下式给出圆周率(磷−一世)=0将是无限的，涉及无限数量的未知数。在某些特定情况下，我们可以求解这些方程。下面的例子将说明这一点。
例子2.5生死链（非同质随机游走） 考虑一个生死链0,1,2,…,d或一组非负整数，即其中d=∞. 假设链是不可约的，即pj>0和qj>0如果0≤j≤d（即当d是有限的）pj>0为了0≤j<∞和qj>0为了0<j<∞如果d是无限的。考虑转移矩阵X=(X0,X1,X2,…)=(X0,X1,X2,…)(0100⋯ q10p10⋯ 0q20p2… ⋯⋯)
或者X=X磷. 让X0≠0. 然后
X0=X1q1, X1=X0+X2q2, X3=X2p2+X4q4, X4=… … 是一世=X一世X0,是0=1,一世=1,2,3,…
然后定义
是1=1/q1,是1=1+是2q2 或者 是2=是1−1q2=1−q1q1q2=p1q1q2 是3=p1p2q1q2q3,…,是n=p1p2…pn−1q1q2…qn>0 对全部 n=1,2,…
（假设所有p,q是>0）。
按定理2.9和2.11，非齐次随机游走是正循环的，如果0<∑0∞X一世<∞IE∑1∞是一世<∞即当且∑n=1∞p1p2⋯pn−1q1q2⋯qn<∞注意∑0∞是一世=∑0∞X一世/X0=1/X0， 自从∑0∞是一世=1. 所以Xn=是rX0=是n/∑0∞是一世给出所提供的平稳分布∑0∞是一世<∞⋅X0仍需确定。现在1=X0+∑一世=1∞X一世=X0+∑一世=1∞X0是一世⇒X0=11+∑一世=1∞是一世所以X0>0, 当且∑一世=1∞是一世<∞即当且∑一世=1∞是一世<∞(自从是0=1).
事实上如果∑一世是一世=∞, 的解决方案(2.18)要么完全为零，要么具有无限和(∑一世X一世=∞)因此没有平稳分布。
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Foster type theorems
以下与 Foster 相关的定理根据某些方程的解给出了瞬态链和循环链的标准。假设 MC 是不可约的。
定理 2.11 (Foster, 1953) 设马尔可夫链不可约。假设存在Xķ,ķ∈小号这样Xķ=∑ķ∈小号X一世p一世ķ和0<∑ķ∈小号|Xķ|<∞. 那么马尔可夫链是正循环的（这是定理的一种逆2.9）。证明自是ķ=1∑ķ∈小号|Xķ|>0,∑ķ∈小号是ķ=1.
不失一般性\left{x_{k}, k \in S\right}\left{x_{k}, k \in S\right}是一个 MC 的平稳分布Xķ=∑ķ∈小号X一世p一世ķ(n) 对全部 n=1,2,…
假设没有积极的状态。
由于 MC 是不可约的，那么所有状态要么是瞬态的，要么是空的。在这种情况下p一世ķ(n)→0作为n→∞对全部一世,ķ∈小号. 由勒贝格支配收敛定理，取n→∞在 (2.19)
Xķ=∑一世∈小号(X一世).0=0 对全部 ķ∈小号
但0<∑ķ∈小号Xķ<∞是矛盾的(2.20).
因此，至少存在一种积极的复发状态。由于 MC 是不可约的，根据团结定理，MC 必须是正循环的。结论当所有状态都为正循环时，一个不可约非周期MC具有平稳分布。
定理 2.11(a) 如果 MC 是正循环方程组X一世=∑j=0∞Xjpj一世有这样的解决方案0<∑j=0∞Xj<∞.
（证明可以在 Karlin 和 Taylor 的书中找到。）
定理 2.12 MC 是瞬态 iffX一世=∑j=0∞p一世jXj有一个解决方案一世≠0，它是有界且非常量的，即所有X一世的不相等。
定理2.13如果 MC 是正复发的X一世≥∑j=0∞p一世jXj有这样的解决方案X一世→∞作为一世→∞（参见 Chung 关于具有平稳转移概率的马尔可夫链的书）。
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Theorems Regarding Finite Markov Chain
定理 2(a)。在具有有限数量状态的 MC 中，没有零状态，并且并非所有状态都可以是瞬态的。
证明假设链有ñ<∞状态。如果所有状态都是瞬态的，那么让n→∞在关系中∑j=0ñp一世j(n)=1我们得到0=1（由于定理2.8, 林n→∞p一世j(n)=0对于每个j，这是不可靠的，因此并非有限 MC 中的所有状态都是瞬态的。考虑子链C1由一组封闭的零循环状态组成。然后∑j∈C1p一世j(n)=一种（说）>0. 让n→∞,0=一种>0这也是荒谬的。
所以在有限 MC定理 2(b)中不可能有任何零循环状态。具有有限个状态的不可约 MC 是正循环的。
证明 根据前面的定理，不存在零循环状态并且并非所有状态都是
短暂的。假设存在一种瞬态。然后根据团结定理，所有状态都是瞬态的。因此，所有状态都是正循环的。
锻炼2.6如果有限 MC 是不可约的、非周期性的并且具有双重随机转移矩阵，则证明林n→∞p一世j(n)=1/ķ， 在哪里ķ是链中的状态数。
解决方案 如果j是非周期不可约链中的正循环状态，则p一世j(n)→圆周率j>0(由定理2.9)
因此1=∑一世=1ķp一世j(n)对全部j和n≥1,
因此ķ圆周率j=1⇒圆周率j=1ķ.
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考
随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。