统计代写|非参数统计代写Nonparametric Statistics代考|Power of Tests for Unordered Alternatives

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非参数统计Nonparametric Statistics指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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统计代写|非参数统计代写Nonparametric Statistics代考|Power of Tests for Unordered Alternatives

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A much easier path to power involves analogy with (2.22): Approximate the alternative distribution using the null variance structure. This results in the non-central chi-square approximation using (1.4).

Because the Mann-Whitney and Wilcoxon statistics differ only by an additive constant, the Kruskal-Wallis test may be re-expressed as
$$
\left{\sum_{k=1}^{K}\left(T_{k}-M_{k}\left(N-M_{k}\right) \kappa^{\circ}\right)^{2} / M_{k}\right} /\left[\psi^{2}(N+1) N\right] .
$$
Here $\kappa^{\circ}=1 / 2$; this is the null value of $\kappa_{k l}$, and the null hypothesis specifies that this does not depend on $k$ or $l$, and $\psi=1 / \sqrt{12}$, a multiplicative constant arising in the variance of the Mann-Whitney-Wilcoxon statistic. Many of the following equations follow from (4.25); furthermore, (4.25) also approximately describes other statistics to be considered later, and analogous consequences may be drawn for these statistics as well, with a different value for $\psi$. Hence the additional complication of leaving a variable in (4.25) whose value is known will be justified by using consequences of (4.25) later without deriving them again. Here,
$$
T_{k}=\sum_{j=1}^{M_{k}} \sum_{l=1, l \neq k}^{K} \sum_{i=1}^{M_{1}} I\left(X_{k j}>X_{l i}\right),
$$
the Mann-Whitney statistic for testing whether group $k$ differs from all of the other groups, with all of the other groups collapsed.

The variance matrix for rank sums comprising $W_{H}$ is singular (that is, it does not have an inverse), and the argument justifying (1.4) relied on the presence of an inverse. The argument of $\S 4.2 .2$ calculated the appropriate quadratic form, dropping one of the categories to obtain an invertible variance matrix, and then showed that this quadratic form is the same as that generating $t$. The same argument shows that the appropriate non-centrality parameter is
$$
\xi=\left{\sum_{k=1}^{K}\left(\mathrm{E}{A}\left[T{k}\right]-M_{k}\left(N-M_{k}\right)(1 / 2)\right)^{2} / M_{k}\right} /\left[\psi^{2}(N+1) N\right],
$$

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where $U_{i j}$ is the Mann-Whitney-Wilcoxon statistic for testing groups $i$ vs. $j$. Reject the null hypothesis when $J$ is large. This statistic may be expressed as $\sum_{k=1}^{K} c_{k} \bar{R}{k}$. plus a constant, for some $c{k}$ satisfying (4.5); that is, $J$ may be defined as a contrast of the rank means, and the approach of this subsection may be viewed as the analog of the parametric approach of $\S 4.1 .1$.

Critical values for $J$ can be calibrated using a Gaussian approximation. Under the null hypothesis, the expectation of $J$ is
$$
\mathrm{E}{0}[J]=\sum{i<j} M_{i} M_{j} / 2=N^{2} / 4-\sum_{i} M_{i}^{2} / 4
$$
and the variance is
$$
\operatorname{Var}{0}[J]=\frac{1}{12} \sum{i=2}^{K} \operatorname{Var}{0}\left[U{i}\right]=\frac{1}{12} \sum_{i=2}^{K} M_{i} m_{i-1}\left(m_{i}+1\right)
$$
here $U_{i}$ is the Mann-Whitney statistic for testing group $i$ vs. all preceding groups combined, and $m_{i}=\sum_{j=1}^{i} M_{j}$. The second equality in (4.20) follows from independence of the values $U_{i}$ (Terpstra, 1952). A simpler expression for this variance is
$$
\operatorname{Var}{0}[J]=\frac{1}{72}\left[N(N+1)(2 N+1)-\sum{i=1}^{K} M_{i}\left(M_{i}+1\right)\left(2 M_{i}+1\right)\right] \text {. }
$$
This test might be corrected for ties, and has certain other desirable properties (Terpstra, 1952).

Jonckheere (1954), apparently independently, suggested a statistic that is twice $J$, centered to have zero expectation, and calculated the variance, skewness, and kurtosis. The resulting test is generally called the Jonckheere-Terpstra test.

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Consider first the one-sided Jonckheere-Terpstra test of level $\alpha$. Let $T_{J}=$ $J / N^{2}$. In this case, the subscript $J$ represents a label, and not an index.
Denote the critical value by $t_{J}^{\circ}$, satisfying $\mathrm{P}{\theta^{\circ}}\left[T{J} \geq t_{J}^{\circ}\right]=1-\alpha$.
As in (4.23), reduce the alternative hypothesis to a single dimension by letting the alternative parameter vector be a fixed vector times a multiplier $\Delta$. The power function $\varpi_{J, n}(\Delta)=\mathrm{P}{\theta^{A}}\left[T{J} \geq t_{J}^{0}\right]$ satisfies $(2.15),(2.19)$, and (2.21), and hence the efficiency tools for one-dimensional hypotheses developed in $\S 2.4 .2$ may be used. Expressing $\mu_{J}(\Delta)$ as a Taylor series with constant and linear terms,
$$
\mu_{J}(\Delta) \approx \sum_{i=1}^{K-1} \sum_{j=i+1}^{K} \lambda_{i} \lambda_{j}\left(\kappa^{\circ}+\kappa^{\prime}\left[\theta_{j}^{A}-\theta_{i}^{A}\right]\right)
$$
for $\lambda_{i}=M_{i} / N$, where again $\kappa^{\circ}$ is the common value of $\kappa_{j k}$ under the null hypothesis, and $\kappa^{\prime}$ is the derivative of the probability in (3.25), as a function of the location shift between two groups, evaluated at the null hypothesis, and calculated for various examples in $\S 3.8$.2. Hence
$$
\mu_{J}^{\prime}(0)=\sum_{i=1}^{K-1} \sum_{j=i+1}^{K} \lambda_{i} \lambda_{j} \kappa^{\prime}\left[\theta_{j}^{\dagger}-\theta_{i}^{\dagger}\right]
$$
Recall that $\kappa_{i j}$ depended on two group indices $i$ and $j$ only because the locations were potentially shifted relative to one another; the value $\kappa^{\circ}$ and its derivative $\kappa^{\prime}$ are evaluated at the null hypothesis of equality of distributions, and hence do not depend on the indices. Furthermore, from (4.21), $\operatorname{Var}\left[T_{J}\right] \approx \frac{1}{36}\left[1-\sum_{k=1}^{K} \lambda_{k}^{3}\right] / N$. Consider the simple case in which $\lambda_{k}=1 / K$ for all $k$, and in which $\theta_{j}^{\dagger}-\theta_{i}^{\dagger}=(j-i)$. Then $\mu_{J}^{\prime}(0)=\kappa^{\prime}\left(K^{2}-1\right) / 6 K$, $\operatorname{Var}\left[T_{J}\right] \approx \frac{1}{36}\left[1-1 / K^{2}\right] / N$, and
$$
e_{J}=\kappa^{\prime} \frac{\left(K^{2}-1\right) / 6 K}{\sqrt{\frac{1}{36}\left[1-1 / K^{2}\right]}}=\frac{\kappa^{\prime}\left(K^{2}-1\right)}{\sqrt{K^{2}-1}}=\kappa^{\prime} \sqrt{K^{2}-1}
$$

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多元统计分析代写

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一个更容易获得权力的途径涉及与 (2.22) 的类比:使用零方差结构近似替代分布。这导致使用(1.4)的非中心卡方近似。

由于 Mann-Whitney 和 Wilcoxon 统计量仅相差一个附加常数,因此 Kruskal-Wallis 检验可以重新表示为
\left{\sum_{k=1}^{K}\left(T_{k}-M_{k}\left(N-M_{k}\right) \kappa^{\circ}\right)^{ 2} / M_{k}\right} /\left[\psi^{2}(N+1) N\right] 。\left{\sum_{k=1}^{K}\left(T_{k}-M_{k}\left(N-M_{k}\right) \kappa^{\circ}\right)^{ 2} / M_{k}\right} /\left[\psi^{2}(N+1) N\right] 。
这里ķ∘=1/2; 这是的空值ķ到一世,并且原假设指定这不依赖于到要么一世, 和ψ=1/12,Mann-Whitney-Wilcoxon 统计量的方差中出现的乘法常数。以下许多等式都来自(4.25);此外,(4.25) 还近似描述了稍后要考虑的其他统计数据,并且这些统计数据也可以得出类似的结果,不同的值ψ. 因此,在 (4.25) 中保留一个其值已知的变量的额外复杂性将通过稍后使用 (4.25) 的结果来证明,而无需再次推导它们。这里,
吨到=∑j=1米到∑一世=1,一世≠到到∑一世=1米1一世(X到j>X一世一世),
用于检验是否组的 Mann-Whitney 统计量到与所有其他组不同,所有其他组都已折叠。

秩和的方差矩阵包括在H是单数的(也就是说,它没有逆),并且证明(1.4)的论证依赖于逆的存在。的论点§§4.2.2计算出合适的二次型,去掉其中一个类别,得到一个可逆方差矩阵,然后证明这个二次型和生成吨. 相同的论点表明适当的非中心性参数是
\xi=\left{\sum_{k=1}^{K}\left(\mathrm{E}{A}\left[T{k}\right]-M_{k}\left(N-M_{ k}\right)(1 / 2)\right)^{2} / M_{k}\right} /\left[\psi^{2}(N+1) N\right],\xi=\left{\sum_{k=1}^{K}\left(\mathrm{E}{A}\left[T{k}\right]-M_{k}\left(N-M_{ k}\right)(1 / 2)\right)^{2} / M_{k}\right} /\left[\psi^{2}(N+1) N\right],

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在哪里ü一世j是测试组的 Mann-Whitney-Wilcoxon 统计量一世对比j. 拒绝原假设Ĵ很大。这个统计量可以表示为 $\sum_{k=1}^{K} c_{k} \bar{R} {k}.p一世你s一种C○ns吨一种n吨,F○rs○米和c {k}s一种吨一世sF和一世nG(4.5);吨H一种吨一世s,Ĵ米一种和b和d和F一世n和d一种s一种C○n吨r一种s吨○F吨H和r一种n到米和一种ns,一种nd吨H和一种ppr○一种CH○F吨H一世ss你bs和C吨一世○n米一种和b和v一世和在和d一种s吨H和一种n一种一世○G○F吨H和p一种r一种米和吨r一世C一种ppr○一种CH○F\S 4.1 .1$。

临界值Ĵ可以使用高斯近似进行校准。在原假设下,期望Ĵ是
和0[Ĵ]=∑一世<j米一世米j/2=ñ2/4−∑一世米一世2/4
方差是
在哪里⁡0[Ĵ]=112∑一世=2到在哪里⁡0[ü一世]=112∑一世=2到米一世米一世−1(米一世+1)
这里ü一世是测试组的 Mann-Whitney 统计量一世与所有前面的组相结合,和米一世=∑j=1一世米j. (4.20) 中的第二个等式来自值的独立性ü一世(特普斯特拉,1952 年)。这个方差的一个更简单的表达式是
在哪里⁡0[Ĵ]=172[ñ(ñ+1)(2ñ+1)−∑一世=1到米一世(米一世+1)(2米一世+1)]. 
该测试可能会针对关系进行校正,并具有某些其他理想的属性(Terpstra,1952)。

Jonckheere (1954) 显然独立地提出了一个统计量是两倍Ĵ,以零期望为中心,并计算方差、偏度和峰度。结果测试通常称为 Jonckheere-Terpstra 测试。

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首先考虑水平的单边 Jonckheere-Terpstra 检验一种. 让吨Ĵ= Ĵ/ñ2. 在这种情况下,下标Ĵ表示标签,而不是索引。
将临界值表示为吨Ĵ∘, 满足磷θ∘[吨Ĵ≥吨Ĵ∘]=1−一种.
如 (4.23) 所示,通过让备择参数向量为固定向量乘以乘数,将备择假设简化为一维Δ. 幂函数ϖĴ,n(Δ)=磷θ一种[吨Ĵ≥吨Ĵ0]满足(2.15),(2.19), 和 (2.21), 因此一维假设的效率工具在§§2.4.2可能用过了。表达μĴ(Δ)作为具有常数项和线性项的泰勒级数,
μĴ(Δ)≈∑一世=1到−1∑j=一世+1到λ一世λj(ķ∘+ķ′[θj一种−θ一世一种])
为了λ一世=米一世/ñ, 又在哪里ķ∘是的共同价值ķj到在原假设下,并且ķ′是 (3.25) 中概率的导数,作为两组之间位置偏移的函数,在原假设下进行评估,并针对§§3.8.2. 因此
μĴ′(0)=∑一世=1到−1∑j=一世+1到λ一世λjķ′[θj†−θ一世†]
回想起那个ķ一世j取决于两组指数一世和j只是因为这些位置可能相对于彼此移动;价值ķ∘及其衍生物ķ′在分布相等的原假设下进行评估,因此不依赖于指数。此外,从(4.21),在哪里⁡[吨Ĵ]≈136[1−∑到=1到λ到3]/ñ. 考虑一个简单的情况,其中λ到=1/到对所有人到, 其中θj†−θ一世†=(j−一世). 然后μĴ′(0)=ķ′(到2−1)/6到,在哪里⁡[吨Ĵ]≈136[1−1/到2]/ñ, 和
和Ĵ=ķ′(到2−1)/6到136[1−1/到2]=ķ′(到2−1)到2−1=ķ′到2−1

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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