统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考| Conditional Independence

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考| Conditional Independence

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Independence

The reason that a Bayesian network can represent a joint distribution with fewer independent parameters than would normally be required is due to the conditional independence assumptions encoded in its graphical structure. ${ }^{17}$ Conditional independence is a generalization of the notion of independence introduced in section 2.3-1. Variables $X$ and $Y$ are conditionally independent given $Z$ if and only if $P(X, Y \mid Z)=P(X \mid Z) P(Y \mid Z)$. The assertion that $X$ and $Y$ are conditionally independent given $Z$ is written $(X \perp Y \mid Z$ ). It is possible to show from this definition that $(X \perp Y \mid Z)$ if and only if $P(X \mid Z)=P(X \mid Y, Z)$. Given $Z$, information about $Y$ provides no additional information about $X$, and vice versa. Example $2.6$ provides an example.

We can use a set of rules to determine whether the structure of a Bayesian network implies that two variables must be conditionally independent given a set of other evidence variables. ${ }^{18}$ Suppose we want to check whether $(A \perp B \mid \mathcal{C})$ is implied by the network structure, where $\mathcal{C}$ is a set of evidence variables. We have

to check all possible undirected paths from $A$ to $B$ for what is called $d$-separation. A path between $A$ and $B$ is d-separated by $\mathcal{C}$ if any of the following are true:

  1. The path contains a chain of nodes, $X \rightarrow Y \rightarrow Z$, such that $Y$ is in $\mathcal{C}$.
  2. The path contains a fork, $X \leftarrow Y \rightarrow Z$, such that $Y$ is in $\mathcal{C}$.
  3. The path contains an inverted fork (also called a $v$-structure), $X \rightarrow Y \leftarrow Z$, such that $Y$ is not in $\mathcal{C}$ and no descendant of $Y$ is in $\mathcal{C}$. Example $2.7$ provides some intuition for this rule.

We say that $A$ and $B$ are d-separated by $\mathcal{C}$ if all paths between $A$ and $B$ are $\mathrm{d}-$ separated by $\mathcal{C}$. This d-separation implies that $(A \perp B \mid \mathcal{C}) .{ }^{19}$ Example $2.8$ demonstrates this process for checking whether a graph implies a particular conditional independence assumption.

Sometimes the term Markoo blanket ${ }^{20}$ of a node $X$ is used to refer to the minimal set of nodes that, if their values were known, makes $X$ conditionally independent of all other nodes. A Markov blanket of a particular node turns out to consist of its parents, its children, and the other parents of its children.

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Summary

Representing uncertainty as a probability distribution is motivated by a set of axioms related to the comparison of the plausibility of different statements.
There are many different families of both discrete and continuous probability distributions.Continuous probability distributions can be represented by density functions.

Probability distribution families can be combined together in mixtures to result in more flexible distributions.

Joint distributions are distributions over multiple variables.

Conditional distributions are distributions over one or more variables given values of evidence variables.

A Bayesian network is defined by a graphical structure and a set of conditional distributions.

Depending on the structure of the Bayesian network, we can represent joint distributions with fewer parameters due to conditional independence assumptions.

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Exercises

Exercise 2.1. Consider a continuous random variable $X$ that follows the exponential distribution parameterized by $\lambda$ with density $p(x \mid \lambda)=\lambda \exp (-\lambda x)$ with nonnegative support. Compute the cumulative distribution function of $X$.

Solution: We start with the definition of the cumulative distribution function. Since the support of the distribution is lower-bounded by $x=0$, there is no probability mass in the interval $(-\infty, 0)$, allowing us to adjust the lower bound of the integral to 0 . After computing the integral, wẻ obtain cdf $X(x)$ :
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{cdf}{X}(x)=\int{-\infty}^{x} p\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} \
&\operatorname{cdf}{X}(x)=\int{0}^{x} \lambda e^{-\lambda x^{\prime}} \mathrm{d} x^{\prime} \
&\operatorname{cdf}{X}(x)=-\left.e^{-\lambda x^{\prime}}\right|{0} ^{x} \
&\operatorname{cdf}_{X}(x)=1-e^{-\lambda x}
\end{aligned}
$$
Exercise 2.2. For the density function in figure 2.6, what are the five components of the mixture? (There are multiple valid solutions.)

Solution: One solution is $\mathcal{U}([-10,-10],[-5,10]), \mathcal{U}([-5,0],[0,10]), \mathcal{U}([-5,-10],[0,0])$, $\mathcal{U}([0,-10],[10,5])$, and $\mathcal{U}([0,5],[10,10])$.

Exercise 2.3. Given the following table representation of $P(X, Y, Z)$, generate an equivalent compact decision tree representation.

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统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Independence

贝叶斯网络可以用比通常需要的更少的独立参数表示联合分布的原因是由于其图形结构中编码的条件独立性假设。17条件独立是对 2.3-1 节中引入的独立概念的概括。变量X和是是有条件独立给定的从当且仅当磷(X,是∣从)=磷(X∣从)磷(是∣从). 断言X和是是有条件独立给定的从写着(X⊥是∣从)。从这个定义可以证明(X⊥是∣从)当且仅当磷(X∣从)=磷(X∣是,从). 给定从, 相关信息是没有提供关于X,反之亦然。例子2.6提供了一个例子。

我们可以使用一组规则来确定贝叶斯网络的结构是否意味着在给定一组其他证据变量的情况下两个变量必须条件独立。18假设我们要检查是否(一种⊥乙∣C)由网络结构隐含,其中C是一组证据变量。我们有

检查所有可能的无向路径一种到乙对于所谓的d-分离。之间的路径一种和乙由 d 分隔C如果以下任何一项为真:

  1. 路径包含一系列节点,X→是→从, 这样是在C.
  2. 路径包含一个叉子,X←是→从, 这样是在C.
  3. 该路径包含一个倒叉(也称为在-结构体),X→是←从, 这样是不在C并且没有后代是在C. 例子2.7为这条规则提供了一些直觉。

我们说一种和乙由 d 分隔C如果之间的所有路径一种和乙是d−由C. 这种 d-分离意味着(一种⊥乙∣C).19例子2.8演示了检查图是否暗示特定条件独立性假设的过程。

有时术语 Markoo 毯子20一个节点的X用于指代最小的节点集,如果它们的值已知,则使X有条件地独立于所有其他节点。一个特定节点的马尔可夫毯最终由它的父母、它的孩子和它的孩子的其他父母组成。

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Summary

将不确定性表示为概率分布是由一组与比较不同陈述的合理性相关的公理推动的。
离散和连续概率分布有许多不同的族。连续概率分布可以用密度函数表示。

概率分布族可以混合在一起,以产生更灵活的分布。

联合分布是多个变量的分布。

条件分布是给定证据变量值的一个或多个变量的分布。

贝叶斯网络由图形结构和一组条件分布定义。

根据贝叶斯网络的结构,由于条件独立假设,我们可以用更少的参数表示联合分布。

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Exercises

练习 2.1。考虑一个连续随机变量X遵循参数化的指数分布λ有密度p(X∣λ)=λ经验⁡(−λX)在非负支持下。计算累积分布函数X.

解:我们从累积分布函数的定义开始。由于分布的支持下界为X=0,区间内没有概率质量(−∞,0),允许我们将积分的下限调整为 0 。计算积分后,wẻ得到cdfX(X) :
cdf⁡X(X)=∫−∞Xp(X′)dX′ cdf⁡X(X)=∫0Xλ和−λX′dX′ cdf⁡X(X)=−和−λX′|0X cdfX⁡(X)=1−和−λX
练习 2.2。对于图 2.6 中的密度函数,混合物的五种成分是什么?(有多种有效的解决方案。)

解决方案:一种解决方案是在([−10,−10],[−5,10]),在([−5,0],[0,10]),在([−5,−10],[0,0]), 在([0,−10],[10,5]), 和在([0,5],[10,10]).

练习 2.3。给定下表表示磷(X,是,从),生成等效的紧凑决策树表示。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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