统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Distributions

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Distributions

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Distributions

The previous section introduced the idea of independence, which can help reduce the number of parameters used to define a joint distribution. However, as was mentioned, independence can be too strong of an assumption. This section will introduce the idea of conditional independence, which can help reduce the number of independent parameters without making assumptions that are as strong. Before discussing conditional independence, we will first introduce the notion of a conditional distribution, which is a distribution over a variable given the value of one or more others.

The definition of conditional probability states that
$$
P(x \mid y)=\frac{P(x, y)}{P(y)}
$$
where $P(x \mid y)$ is read as “probability of $x$ given $y$.” In some contexts, it is common to refer to $y$ as evidence.

Since a conditional probability distribution is a probability distribution over one or more variables given some evidence, we know that
$$
\sum_{x} P(x \mid y)=1
$$
for a discrete $X$. If $X$ is continuous, it integrates to 1 .
We can incorporate the definition of conditional probability into equation (2.18) to obtain a slightly different form of the law of total probability:
$$
P(x)=\sum_{y} P(x \mid y) P(y)
$$
for a discrete distribution.
Another useful relationship that follows from the definition of conditional probability is Bayes’ rule: ${ }^{12}$
$$
P(x \mid y)=\frac{P(y \mid x) P(x)}{P(y)}
$$
If we have a representation of a conditional distribution $P(y \mid x)$, we can apply Bayes’s rule to swap the $y$ and $x$ to obtain the conditional distribution $P(x \mid y)$.
We will now discuss a variety of ways to represent conditional probability distributions over discrete and continuous variables.

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Discrete Conditional Models

A conditional probability distribution over discrete variables can be represented using a table. In fact, we can use the same discrete factor representation that we used in section $2.3 .1$ for joint distributions. Table $2.3$ shows an example of a table representing $P(X \mid Y, Z)$ with all binary variables. In contrast with a joint table (e.g, table $2.1$ ), the column containing the probabilities need not sum to 1. However, if we sum over the probabilities that are consistent with what we are conditioning on, we must get 1 . For example, conditioning on $y^{0}$ and $z^{0}$ (the evidence), we have
$$
P\left(x^{0} \mid y^{0}, z^{0}\right)+P\left(x^{1} \mid y^{0}, z^{0}\right)=0.08+0.92=1
$$ Conditional probability tables can become quite large. If we were to create a table like table $2.3$ where all variables can take on $m$ values and we are conditioning on $n$ variables, there would be $m^{n+1}$ rows. However, since the $m$ values of the variable we are not conditioning on must sum to 1 , there are only $(m-1) m^{n}$ independent parameters. There is still an exponential growth in the number of variables on which we condition. When there are many repeated values in the conditional probability table, a decision tree (introduced in section 2.3.1) may be a more efficient representation.

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Linear Gaussian Models

The conditional linear Gaussian model combines the ideas of conditional Gaussian and linear Gaussian models to be able to handle conditioning a continuous variable on both discrete and continuous variables. Suppose we want to represent $p(X \mid Y, Z)$, where $X$ and $Y$ are continuous and $Z$ is discrete with values $1: n$. The conditional density function is then
$$
p(x \mid y, z)= \begin{cases}\mathcal{N}\left(x \mid m_{1} y+b_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) & \text { if } z^{1} \ \vdots \ \mathcal{N}\left(x \mid m_{n} y+b_{n}, \sigma_{n}^{2}\right) & \text { if } z^{n}\end{cases}
$$
Above, the parameter vector $\theta=\left[m_{1: n}, b_{1: n}, \sigma_{1: n}\right]$ has $3 n$ components.

We can use a sigmoid ${ }^{13}$ model to represent a distribution over a binary variable conditioned on a continuous variable. For example, we may want to represent $P\left(x^{1} \mid y\right)$, where $x$ is binary and $y$ is continuous. Of course, we could just set a threshold $\theta$ and say $P\left(x^{1} \mid y\right)=0$ if $y<\theta$ and $P\left(x^{1} \mid y\right)=1$ otherwise. However, in many applications, we may not want to have such a hard threshold that results in assigning zero probability to $x^{1}$ for certain values of $y$.

Instead of a hard threshold, we could use a soft threshold that assigns low probabilities when below a threshold and high probabilities when above a threshold. One way to represent a soft threshold is to use a logit model, which produces a sigmoid curve:
$$
P\left(x^{1} \mid y\right)=\frac{1}{1+\exp \left(-2 \frac{y-\theta_{1}}{\theta_{2}}\right)}
$$
The parameter $\theta_{1}$ governs the location of the threshold, and $\theta_{2}$ controls the “softness” or spread of the probabilities. Figure $2.10$ shows an example plot of $P\left(x^{1} \mid y\right)$ with a logit model.

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Distributions

统计代写

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Distributions

上一节介绍了独立性的概念,它可以帮助减少用于定义联合分布的参数数量。然而,如前所述,独立性可能过于强大的假设。本节将介绍条件独立的概念,它可以帮助减少独立参数的数量,而无需做出那么强的假设。在讨论条件独立性之前,我们将首先介绍条件分布的概念,它是给定一个或多个其他变量值的变量上的分布。

条件概率的定义表明
磷(X∣是)=磷(X,是)磷(是)
在哪里磷(X∣是)读作“概率X给定是。” 在某些情况下,通常指的是是作为证据。

由于条件概率分布是给定一些证据的一个或多个变量的概率分布,我们知道
∑X磷(X∣是)=1
对于离散X. 如果X是连续的,它积分为 1 。
我们可以将条件概率的定义并入方程(2.18)中,得到一种稍微不同形式的全概率定律:
磷(X)=∑是磷(X∣是)磷(是)
对于离散分布。
从条件概率的定义中得出的另一个有用的关系是贝叶斯规则:12
磷(X∣是)=磷(是∣X)磷(X)磷(是)
如果我们有一个条件分布的表示磷(是∣X),我们可以应用贝叶斯规则来交换是和X获得条件分布磷(X∣是).
我们现在将讨论各种表示离散和连续变量的条件概率分布的方法。

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Discrete Conditional Models

离散变量的条件概率分布可以使用表格来表示。事实上,我们可以使用我们在章节中使用的相同的离散因子表示2.3.1用于联合分布。桌子2.3显示了一个表格示例磷(X∣是,从)与所有二进制变量。与联合表(例如,表2.1),包含概率的列不必总和为 1。但是,如果我们对与我们所依据的条件一致的概率求和,我们必须得到 1。例如,调节是0和和0(证据),我们有
磷(X0∣是0,和0)+磷(X1∣是0,和0)=0.08+0.92=1条件概率表可以变得非常大。如果我们要创建一个类似表的表2.3所有变量都可以承担的地方米价值观,我们正在调整n变量,会有米n+1行。然而,由于米我们不作为条件的变量的值必须总和为 1 ,只有(米−1)米n独立参数。我们所依赖的变量数量仍然呈指数增长。当条件概率表中有很多重复值时,决策树(在 2.3.1 节中介绍)可能是更有效的表示。

统计代写 | Statistical Learning and Decision Making代考|Conditional Linear Gaussian Models

条件线性高斯模型结合了条件高斯和线性高斯模型的思想,能够处理对离散变量和连续变量的连续变量进行调节。假设我们要表示p(X∣是,从), 在哪里X和是是连续的并且从是离散的值1:n. 条件密度函数为
p(X∣是,和)={ñ(X∣米1是+b1,σ12) 如果 和1 ⋮ ñ(X∣米n是+bn,σn2) 如果 和n
上图,参数向量θ=[米1:n,b1:n,σ1:n]拥有3n组件。

我们可以使用 sigmoid13模型来表示以连续变量为条件的二元变量上的分布。例如,我们可能想要表示磷(X1∣是), 在哪里X是二进制的并且是是连续的。当然,我们可以设置一个阈值θ说磷(X1∣是)=0如果是<θ和磷(X1∣是)=1除此以外。然而,在许多应用程序中,我们可能不希望有这样一个硬阈值,导致将零概率分配给X1对于某些值是.

代替硬阈值,我们可以使用软阈值,在低于阈值时分配低概率,在高于阈值时分配高概率。表示软阈值的一种方法是使用 logit 模型,该模型会生成 sigmoid 曲线:
磷(X1∣是)=11+经验⁡(−2是−θ1θ2)
参数θ1控制阈值的位置,并且θ2控制概率的“柔软性”或传播。数字2.10显示了一个示例图磷(X1∣是)使用 logit 模型。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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