### 英国补考|现代代数代写Modern Algebra代考|Math 417

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## 英国补考|现代代数代写Modern Algebra代考|Equivalence Relation

A fundamental mathematical construction is to start with a non-empty set $X$ and to decompose the set into a family of disjoint subsets of $X$ whose union is the whole set $X$, called a partition of $X$ and to form a new set by equating each such subset to an element of a new set, called a quotient set of $X$ given by the partition. For this purpose we introduce the concept of an equivalence relation which is logically equivalent to a partition.

Definition 1.2.2 A binary relation $R$ on $A$ is said to be an equivalence relation on $A$ iff
(a) $R$ is reflexive: $(a, a) \in R$ for all $a \in A$;
(b) $R$ is symmetric: if $(a, b) \in R$, then $(b, a) \in R$ for $a, b \in A$;
(c) $R$ is transitive: if $(a, b) \in R$ and $(b, c) \in R$, then $(a, c) \in R$ for $a, b, c \in A$.

Instead of speaking about subsets of $A \times A$, we can also define an equivalence relation as below by writing $a R b$ in place of $(a, b) \in R$.

Definition 1.2.3 A binary relation $R$ on $A$ is said to be an equivalence relation iff $R$ is
(a’) reflexive: $a R a$ for all $a \in A$;
(b’) symmetric: $a R b$ implies $b R a$ for $a, b \in A$;
(c’) transitive: $a R b$ and $b R c$ imply $a R c$ for $a, b, c \in A$.
Example 1.2.3 Define $R$ on $\mathbf{Z}$ by $a R b \Leftrightarrow a-b$ is divisible by a fixed integer $n>1$. Then $R$ is an equivalence relation.

Proof Since $a-a=0$ is divisible by $n$ for all $a \in \mathbf{Z}, a$ Ra for all $a \in \mathbf{Z}$, hence $R$ is reflexive. If $a-b$ is divisible by $n$, then $b-a$ is also divisible by $n$; hence $R$ is symmetric. Finally, if $a-b$ and $b-c$ are both divisible by $n$, then their sum $a-c$ is also divisible by $n$; hence $R$ is transitive. Consequently, $R$ is an equivalence relation. (See Example 1.2.9.)

## 英国补考|现代代数代写Modern Algebra代考|Partial Order Relations

We have made so far little use of reflexive, antisymmetric, and transitive laws. We are familiar with the natural ordering $\leq$ between two positive integers. This example suggests the abstract concept of a partial order relation, which is a reflexive, antisymmetric, and transitive relation. Partial order relations and their special types play an important role in mathematics. For example, partial order relations are essential in Zorn’s Lemma, which provides a very powerful tool in mathematics and in lattice theory whose applications are enormous in different sciences.

Definition 1.2.6 A reflexive, antisymmetric, and transitive relation $R$ on a nonempty set $P$ is called a partial order relation. Then the pair $(P, R)$ is called a partially ordered set or a poset.

We adopt the symbol ‘ $\leq$ ‘ to represent a partial order relation. So writing $a \leq b$ in place of $a R b$, from Definition $1.2 .6$ it follows that

(i) $a \leq a$ for all $a \in P$;
(ii) $a \leq b$ and $b \leq a$ in $P \Rightarrow a=b$ for $a, b \in P$ and
(iii) $a \leq b$ and $b \leq c$ in $P \Rightarrow a \leq c$ for $a, b, c \in P$.
The following three examples are quite different in nature but possess identical important properties.

## 英国补考|现代代数代写Modern Algebra代考|Equivalence Relation

$($ ( ) $R$ 是反身的: $(a, a) \in R$ 对所有人 $a \in A$;
(二) $R$ 是对称的: 如果 $(a, b) \in R$ ，然后 $(b, a) \in R$ 为了 $a, b \in A$;
(C) $R$ 是传递的: 如果 $(a, b) \in R$ 和 $(b, c) \in R$ ，然后 $(a, c) \in R$ 为了 $a, b, c \in A$.

(a’) 反身的: $a R a$ 对所有人 $a \in A$;
(b’) 对称: $a R b$ 暗示 $b R a$ 为了 $a, b \in A$ ；
(c’) 及物: $a R b$ 和 $b R c$ 意味着 $a R c$ 为了 $a, b, c \in A$.

## 英国补考|现代代数代写Modern Algebra代考|Partial Order Relations

(一世) $a \leq a$ 对所有人 $a \in P$;
(二) $a \leq b$ 和 $b \leq a$ 在 $P \Rightarrow a=b$ 为了 $a, b \in P$ (
iii) $a \leq b$ 和 $b \leq c$ 在 $P \Rightarrow a \leq c$ 为了 $a, b, c \in P$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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