### 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT3021

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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The finite dimensional distributions

Let us quickly establish some first consequences of the definition of Brownian motion. To keep things simple, we assume throughout this section that $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ is a onedimensional Brownian motion. 2.1 Proposition. Let $\left(B{t}\right){t \geqslant 0}$ be a one-dimensional Brownian motion. Then $B{t}, t \geqslant 0$, Ex. $2.1$ are Gaussian random variables with mean 0 and variance $t$ :
$$\mathbb{E} e^{i \xi B_{t}}=e^{-t \xi^{2} / 2} \text { for all } t \geqslant 0, \xi \in \mathbb{R} \text {. }$$

Proof. Set $\phi_{t}(\xi)=\mathbb{E} e^{i \xi B_{t}}$. If we differentiate $\phi_{t}$ with respect to $\xi$, and use integration by parts we get
\begin{aligned} \phi_{t}^{\prime}(\xi)=\mathbb{E}\left(i B_{t} e^{i \xi B_{t}}\right) & \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{=} \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(i x) e^{-x^{2} /(2 t)} d x \ &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(-i t) \frac{d}{d x} e^{-x^{2} /(2 t)} d x \ & \stackrel{\text { parts }}{=}-t \xi \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi} e^{-x^{2} /(2 t)} d x \ &=-t \xi \phi_{t}(\xi) \end{aligned}
Since $\phi_{t}(0)=1,(2.5)$ is the unique solution of the differential equation
$$\frac{\phi_{t}^{\prime}(\xi)}{\phi_{t}(\xi)}=-t \xi$$
From the elementary inequality $1 \leqslant \exp \left(\left[\frac{y}{2}-c\right]^{2}\right)$ we see that $e^{c y} \leqslant e^{c^{2}} e^{y^{2} / 4}$ for all $c, y \in \mathbb{R}$. Therefore, $e^{c y} e^{-y^{2} / 2} \leqslant e^{c^{2}} e^{-y^{2} / 4}$ is integrable. Considering real and imaginary parts separately, it follows that the integrals in (2.5) converge for all $\xi \in \mathbb{C}$ and define an analytic function.

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Invariance properties of Brownian motion

The fact that a stochastic process is a Brownian motion is preserved under various operations at the level of the sample paths. Throughout this section $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ denotes a $d$-dimensional Brownian motion. 2.8 Reflection. If $\left(B{t}\right){t \geqslant 0}$ is a $\mathrm{BM}^{d}$, so is $\left(-B{t}\right){t \geqslant 0}$. 2.9 Renewal. Let $(B(t)){t \geqslant 0}$ be a Brownian motion and fix some time $a>0$. Then $(W(t)){t \geqslant 0}, W(t):=B(t+a)-B(a)$, is again a $\mathrm{BM}^{d}$. The properties (B0) and (B4) are obvious for $W(t)$. For all $s \leqslant t$ \begin{aligned} W(t)-W(s) &=B(t+a)-B(a)-(B(s+a)-B(a)) \ &=B(t+a)-B(s+a) \ & \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{\sim} \mathrm{N}(0, t-s) \end{aligned} which proves (B3) and (B2) for the process $W$. Finally, if $t{0}=0<t_{1}<\cdots<t_{n}$, then
$$W\left(t_{j}\right)-W\left(t_{j-1}\right)=B\left(t_{j}+a\right)-B\left(t_{j-1}+a\right) \quad \text { for all } j=1, \ldots, n$$
i. e. the independence of the $W$-increments follows from (B1) for $B$ at the times $t_{j}+a$, $j=1, \ldots, d$

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The finite dimensional distributions

$$\mathbb{E} e^{i \xi B_{t}}=e^{-t \xi^{2} / 2} \text { for all } t \geqslant 0, \xi \in \mathbb{R} .$$

$$\phi_{t}^{\prime}(\xi)=\mathbb{E}\left(i B_{t} e^{i \xi B_{t}}\right) \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{=} \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(i x) e^{-x^{2} /(2 t)} d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(-i t) \frac{d}{d x} e^{-x^{2} /(2 t)} d x$$

$$\frac{\phi_{t}^{\prime}(\xi)}{\phi_{t}(\xi)}=-t \xi$$

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Invariance properties of Brownian motion

$$W(t)-W(s)=B(t+a)-B(a)-(B(s+a)-B(a)) \quad=B(t+a)-B(s+a) \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{\sim} \mathrm{N}(0, t-s)$$

$$W\left(t_{j}\right)-W\left(t_{j-1}\right)=B\left(t_{j}+a\right)-B\left(t_{j-1}+a\right) \quad \text { for all } j=1, \ldots, n$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。