计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Conditional Distributions

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Conditional Distributions

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Conditional Distributions

For the beam example illustrated in figure 4.5, our prior knowledge for the resistance $\left{X_{1}, X_{2}\right}$ of two adjacent beams is
and we know that the beam resistances are correlated with $\rho_{12}=$ 0.8. Such a correlation could arise because both beams were fabricated with the same process, in the same factory. This prior knowledge is described by the joint bivariate Normal PDF,
$$
f_{X_{1} X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\mathcal{N}\left(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}, \mathbf{\Sigma}{\mathbf{X}}\right)\left{\begin{aligned}
\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}} &=\left[\begin{array}{c} 500 \ 500 \end{array}\right] \ \boldsymbol{\Sigma}{\mathbf{X}} &=\left[\begin{array}{cc}
150^{2} & 0.8 \cdot 150^{2} \
0.8 \cdot 150^{2} & 150^{2}
\end{array}\right]
\end{aligned}\right.
$$
If we observe that the resistance of the second beam $x_{2}=700 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}$, we can employ conditional probabilities to estimate the PDF of the strength $X_{1}$, given the observation $x_{2}$,
$$
f_{X_{1} \mid x_{2}}\left(x_{1} \mid x_{2}\right)=\mathcal{N}\left(x_{1} ; \mu_{1 \mid 2}, \sigma_{1 \mid 2}^{2}\right),
$$
where
$$
\begin{aligned}
&\mu_{1 \mid 2}=500+0.8 \times 150 \frac{\overbrace{700}^{\text {observation }}-500}{150}=660 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} \
&\sigma_{1 \mid 2}=150 \sqrt{1-0.8^{2}}=90 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} .
\end{aligned}
$$
Figure $4.6$ presents the joint and conditional PDFs corresponding to this example. For the joint PDF, the highlighted pink slice corresponding to $x_{2}=700$ is proportional to the conditional probability $f_{X_{1} \mid x_{2}}\left(x_{1} \mid x_{2}=700\right)$. If we want to obtain the conditional distribution from the joint PDF, we have to divide it by the marginal PDF $f_{X_{2}}\left(x_{2}=700\right)$. This ensures that the conditional PDF for $x_{1}$ integrates to 1. This example is trivial, yet it sets the foundations for the more advanced models that will be presented in the following chapters.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Sum of Normal Random Variable

Figure $4.7$ presents steel cables where each one is made from dozens of individual wires. Let us consider a cable made of 50 steel wires, each having a resistance $x_{i}: X_{i} \sim \mathcal{N}\left(x_{i} ; 10,3^{2}\right) \mathrm{kN}$. We use equation $4.2$ to compare the cable resistance $X_{\text {cable }}={ }{i=1}^{50} X{i}$ depending on the correlation coefficient $\rho_{i j}$. With the hypothesis
$\sum$

that $X_{i} \Perp X_{j} \Leftrightarrow \rho_{i j}=0$, all nondiagonal terms of the covariance $\operatorname{matrix}[\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{x}]{i j}=0, \forall i \neq j$, which leads to $$ X{\text {cable }} \sim \mathcal{N}(x ; 50 \times 10 \mathrm{kN}, \underbrace{2}{\sigma{X_{\text {chble }}=3 \sqrt{50} \approx 21 \mathrm{kN}}^{50 \times(3 \mathrm{kN})^{2}}} .
$$
With the hypothesis $\rho_{i j}=1$, all terms in $\left[\Sigma_{\mathbf{x}}\right]{i j}=(3 \mathrm{kN})^{2}, \forall i, j$, so that $$ X{\text {cable }} \sim \mathcal{N}(x ; 50 \times 10 \mathrm{kN}, \underbrace{}{\sigma{\mathrm{X}{\text {cable }}=3 \mathrm{kN} \times 50=150 \mathrm{kN}}^{50^{2} \times(3 \mathrm{kN})^{2}}} \text {. } $$ Figure $4.8$ presents the resulting PDFs for the cable resistance, given each hypothesis. These results show that if the uncertainty in the resistance for each wire is independent, there will be some cancellation; some wires will have a resistance above the mean, and some will have a resistance below. The resulting coefficient of variation for $\rho=0$ is $\delta{\text {cable }}=\frac{31}{500}=0.11$, which is approximately three times smaller than $\delta_{\text {wire }}=\frac{3}{10}=0.3$, the variability associated with each wire. In the opposite case, if the resistance is linearly correlated $(\rho=1)$, the uncertainty adds up as you increase the number of wires, so $\delta_{\text {cable }}=\frac{150}{500}=\delta_{\text {wire }}$.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Univariate Log-Normal

The random variable $X \sim \ln \mathcal{N}(x ; \lambda, \zeta)$ is $\log$-normal if $\ln X \sim$ $\mathcal{N}\left(\ln x ; \lambda, \zeta^{2}\right)$ is Normal. Given the transformation function $x^{\prime}=$ $\ln x$, the change of variable rule presented in $\S 3.4$ requires that
$$
\begin{gathered}
\overbrace{f_{X},\left(x^{\prime}\right)}^{N\left(x^{\prime} ; \lambda, \zeta^{2}\right)} d x^{\prime}=f_{X}(x) d x \
f_{X^{\prime}}\left(x^{\prime}\right)\left|\frac{d x^{\prime}}{d x}\right|=\underbrace{f_{X}(x)}_{\ln \mathcal{N}(x ; \lambda, \zeta)},
\end{gathered}
$$
where the derivative of $\ln x$ with respect to $\mathrm{x}$ is
$$
\frac{d x^{\prime}}{d x}=\frac{d \ln x}{d x}=\frac{1}{x} .
$$
Therefore, the analytic formulation for the log-normal PDF is given by the product of the transformation’s derivative and the Normal

PDF evaluated for $x^{\prime}=\ln x$,
$$
\begin{aligned}
f_{X}(x) &=\frac{1}{x} \cdot \mathcal{N}\left(\ln x ; \lambda, \zeta^{2}\right) \
&=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln x-\lambda}{\zeta}\right)^{2}\right), \quad x>0
\end{aligned}
$$
The univariate log-normal PDF is parameterized by the mean $\left(\mu_{\ln x}=\lambda\right)$ and variance $\left(\sigma_{\ln x}^{2}=\zeta^{2}\right)$ defined in the log-transformed space $(\ln x)$. The mean $\mu_{X}$ and variance $\sigma_{X}^{2}$ of the log-normal random variable can be transformed in the log-space using the relations
$$
\begin{aligned}
&\lambda=\mu_{\mathrm{m} \mathrm{n}}=\ln \mu_{X}-\frac{\zeta^{2}}{2} \
&\zeta=\sigma_{\ln X}=\sqrt{\ln \left(1+\left(\frac{\sigma_{X}}{\mu_{X}}\right)^{2}\right)}=\sqrt{\ln \left(1+\delta_{X}^{2}\right)}
\end{aligned}
$$
Note that for $\delta_{X}<0.3$, the standard deviation in the log-space is approximately equal to the coefficient of variation in the original space, $\zeta \approx \delta x$. Figure $4.9$ presents an example of log-normal PDF plotted (a) in the original space and (b) in the log-transformed space. The mean and standard deviation are $\left{\mu_{X}=2, \sigma_{X}=1\right}$ in the original space and ${\lambda=0.58, \zeta=0.47}$ in the log-transformed space.

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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Conditional Distributions

对于图 4.5 中所示的梁示例,我们对阻力的先验知识\left{X_{1}, X_{2}\right}\left{X_{1}, X_{2}\right}两个相邻的梁是
,我们知道梁电阻与ρ12=0.8。之所以会出现这种相关性,是因为两根梁都是在同一家工厂使用相同的工艺制造的。该先验知识由联合二元正态 PDF 描述,
$$
f_{X_{1} X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\mathcal{N}\left(\ mathbf{x} ; \boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}, \mathbf{\Sigma}{\mathbf{X}}\right)\left{

μX=[500 500] ΣX=[15020.8⋅1502 0.8⋅15021502]\正确的。

我F在和○bs和r在和吨H一个吨吨H和r和s一世s吨一个nC和○F吨H和s和C○ndb和一个米$X2=700ķñ⋅米$,在和C一个n和米pl○是C○nd一世吨一世○n一个lpr○b一个b一世l一世吨一世和s吨○和s吨一世米一个吨和吨H和磷DF○F吨H和s吨r和nG吨H$X1$,G一世在和n吨H和○bs和r在一个吨一世○n$X2$,
f_{X_{1} \mid x_{2}}\left(x_{1} \mid x_{2}\right)=\mathcal{N}\left(x_{1} ; \mu_{1 \mid 2 }, \sigma_{1 \mid 2}^{2}\right),

在H和r和

μ1∣2=500+0.8×150700⏞观察 −500150=660ķñ⋅米 σ1∣2=1501−0.82=90ķñ⋅米.
$$
图4.6呈现与此示例对应的联合和条件 PDF。对于联合 PDF,突出显示的粉色切片对应于X2=700与条件概率成正比FX1∣X2(X1∣X2=700). 如果我们想从联合 PDF 中获得条件分布,我们必须将其除以边际 PDFFX2(X2=700). 这确保了条件 PDFX1积分为 1。这个例子很简单,但它为后续章节中介绍的更高级模型奠定了基础。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Sum of Normal Random Variable

数字4.7展示钢索,每根钢索由数十根单独的电线制成。让我们考虑一根由 50 根钢丝制成的电缆,每根钢丝都有一个电阻X一世:X一世∼ñ(X一世;10,32)ķñ. 我们使用方程4.2比较电缆电阻X电缆 =一世=150X一世取决于相关系数ρ一世j. 有了假设

那X一世\珀普Xj⇔ρ一世j=0, 协方差的所有非对角项矩阵⁡[ΣX]一世j=0,∀一世≠j, 这导致

X电缆 ∼ñ(X;50×10ķñ,2⏟σXchble =350≈21ķñ50×(3ķñ)2.
有了假设ρ一世j=1, 中的所有项[ΣX]一世j=(3ķñ)2,∀一世,j, 以便

X电缆 ∼ñ(X;50×10ķñ,⏟σX电缆 =3ķñ×50=150ķñ502×(3ķñ)2. 数字4.8给出了给定每个假设的电缆电阻的结果 PDF。这些结果表明,如果每根导线的电阻不确定性是独立的,就会有一些抵消;有些电线的电阻高于平均值,有些电线的电阻低于平均值。由此产生的变异系数ρ=0是d电缆 =31500=0.11, 大约比d金属丝 =310=0.3,与每根电线相关的可变性。在相反的情况下,如果电阻是线性相关的(ρ=1),不确定性会随着电线数量的增加而增加,所以d电缆 =150500=d金属丝 .

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Univariate Log-Normal

随机变量X∼ln⁡ñ(X;λ,G)是日志-正常如果ln⁡X∼ ñ(ln⁡X;λ,G2)是正常的。给定变换函数X′= ln⁡X,变量规则的变化呈现在§§3.4要求

FX,(X′)⏞ñ(X′;λ,G2)dX′=FX(X)dX FX′(X′)|dX′dX|=FX(X)⏟ln⁡ñ(X;λ,G),
其中的导数ln⁡X关于X是

dX′dX=dln⁡XdX=1X.
因此,对数正态 PDF 的解析公式由变换导数和正态分布的乘积给出

PDF 评估为X′=ln⁡X,

FX(X)=1X⋅ñ(ln⁡X;λ,G2) =1X⋅12圆周率G经验⁡(−12(ln⁡X−λG)2),X>0
单变量对数正态 PDF 由均值参数化(μln⁡X=λ)和方差(σln⁡X2=G2)在对数变换空间中定义(ln⁡X). 均值μX和方差σX2可以使用关系在对数空间中转换对数正态随机变量的

λ=μ米n=ln⁡μX−G22 G=σln⁡X=ln⁡(1+(σXμX)2)=ln⁡(1+dX2)
请注意,对于dX<0.3,对数空间中的标准差约等于原始空间中的变异系数,G≈dX. 数字4.9给出了一个对数正态 PDF 的示例,该示例在 (a) 原始空间中和 (b) 在对数变换空间中绘制。均值和标准差是\left{\mu_{X}=2, \sigma_{X}=1\right}\left{\mu_{X}=2, \sigma_{X}=1\right}在原始空间和λ=0.58,G=0.47在对数变换空间中。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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