计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Log-Normal Distribution

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Log-Normal Distribution

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Multivariate Log-Normal

$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ are jointly log-normal if $\ln X_{1}, \ln X_{2}, \cdots, \ln X_{n}$ are $\quad \mathbf{x} \in\left(\mathbb{R}^{+}\right)^{n}: \mathbf{x} \sim \ln \mathcal{N}\left(\mathbf{x} ; \mu_{\ln } \mathbf{x}, \mathbf{\Sigma}{\ln \mathbf{x}}\right.$ jointly Normal. The multivariate log-normal PDF is parameterized by the mean values $\left(\mu{\ln X_{i}}=\lambda\right)$, variances $\left(\sigma_{\ln X_{i}}^{2}=\zeta^{2}\right)$, and
correlation coefficients $\left(\rho_{\mathrm{n}} X_{i} \ln X_{j}\right)$ defined in the log-transformed
space. Correlation coefficients in the $\log$-space $\rho_{\ln } x_{i} \ln X_{j}$ are related
to the correlation coefficients in the original space $\rho X_{i} x_{j}$ using the relation
$$
\rho_{\ln X_{i}} \ln X_{j}=\frac{1}{\zeta_{i} \zeta_{j}} \ln \left(1+\rho_{X_{i} X_{j}} \delta_{X_{1}} \delta_{X_{j}}\right)
$$
where $\rho_{\ln X_{i} \ln X_{j}} \approx \rho_{X_{i} X_{j}}$ for $\delta_{X_{i}}, \delta_{X_{j}} \ll 0.3$. The PDF for two random variables $\left{X_{1}, X_{2}\right}$ such that $\left{x_{1}, x_{2}\right}>0$ is
$$
f_{X_{1} X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{1}{x_{1} x_{2} \sqrt{2 \pi} \zeta_{1} \zeta_{2} \sqrt{1-\rho_{\mathrm{ln}}^{2}}} \exp \left(-\frac{1}{2\left(1-\rho_{\mathrm{ln}}^{2}\right)}\left(\left(\frac{\ln x_{1}-\lambda_{1}}{\zeta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\ln x_{2}-\lambda_{2}}{\zeta_{2}}\right)^{2}-2 \rho_{\mathrm{n}}\left(\frac{\ln x_{1}-\lambda_{1}}{\zeta_{1}}\right)\left(\frac{\ln x_{2}-\lambda_{2}}{\zeta_{2}}\right)^{2}\right)\right)
$$

Figure $4.10$ presents an example of bivariate log-normal PDF with parameters $\mu_{1}=\mu_{2}=1.5, \sigma_{1}=\sigma_{2}=0.5$, and $\rho=0.9$. The general formulation for the multivariate log-normal PDF is
$$
\begin{aligned}
f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) &=\ln \mathcal{N}\left(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\mu}{\ln \mathbf{X}}, \boldsymbol{\Sigma}{\ln \mathbf{x}}\right) \
&=\frac{1}{\left(\Pi_{i=1}^{n} x_{i}\right)(2 \pi)^{n / 2}\left(\operatorname{det} \boldsymbol{\Sigma}{\mathbf{n} \mathbf{X}}\right)^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\ln \mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}{\ln \mathbf{x}}\right)^{\top} \boldsymbol{\Sigma}{\ln \mathbf{X}}^{-1}\left(\ln \mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}{\ln \mathbf{x}}\right)\right)
\end{aligned}
$$
where $\boldsymbol{\mu} \ln \mathbf{x}$ and $\boldsymbol{\Sigma}_{\ln \mathbf{x}}$ are respectively the mean vector and covariance matrix defined in the log-space.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Properties

Because the log-normal distribution is obtained through a transformation of the Normal distribution, it inherits several of its properties. $\operatorname{matrix} \Sigma_{\mathrm{ln} \mathbf{X}}$.

  1. Its marginal distributions are also log-normal, and the PDF of any marginal is given by
    $$
    x_{i}: X_{i} \sim \ln \mathcal{N}\left(x_{i} ;\left[\boldsymbol{\mu}{\ln } \mathbf{x}\right]{i+}\left[\boldsymbol{\Sigma}{\ln \mathbf{x}}\right]{i i}\right) .
    $$
  2. The absence of correlation implies statistical independence Remember that this is not generally true for other types of random variables (see $\S 3.3 .5$ ),
    $$
    \rho_{i j}=0 \Leftrightarrow X_{i} \perp X_{j}
    $$
  3. Conditional distributions are log-normal, so the $\mathrm{PDF}$ of $\mathbf{X}{i}$ given an observation $\mathbf{X}{j}=\mathbf{x}{j}$ is given by $$ f \mathbf{X}{i} \mid \mathbf{x}{j}(\mathbf{x}{i} \mid \underbrace{\mathbf{X}{j}=\mathbf{x}{j}}{\text {observations }})=\ln \mathcal{N}\left(\mathbf{x}{i} ; \boldsymbol{\mu}{\ln i \mid j}, \mathbf{\Sigma}{\ln i \mid j}\right)+
    $$
    where the conditional mean vector and covariance are
    $$
    \begin{aligned}
    &\boldsymbol{\mu}{\ln i \mid j}=\mu{n i}+\Sigma_{\ln i j} \Sigma_{j}^{-1}\left(\ln \mathbf{x}{j}-\mu{\ln j}\right) \
    &\Sigma_{\ln i \mid j}=\Sigma_{\ln i}-\Sigma_{\ln i j} \Sigma_{j}^{-1} \Sigma_{\ln i j}^{\top}
    \end{aligned}
    $$
  4. The multiplication of jointly log-normal random variables is jointly $\log$-normal so that for $X \sim \ln \mathcal{N}\left(x ; \lambda_{X}, \zeta_{X}\right)$ and $Y \sim$ $\ln \mathcal{N}\left(y ; \lambda_{Y}, \zeta_{Y}\right)$, where $X \perp Y$,
    $$
    \left.\begin{array}{rl}
    Z & =X \cdot Y \
    \sim & \ln \mathcal{N}\left(z ; \lambda_{Z}, \zeta_{Z}\right)
    \end{array}\right} \begin{aligned}
    &\lambda_{Z}=\lambda_{X}+\lambda_{Y} \
    &\zeta_{Z}^{2}=\zeta_{X}^{2}+\zeta_{Y}^{2}
    \end{aligned}
    $$
    Because the product of log-normal random variables can be transformed in the sum of Normal random variables, the properties of the central limit theorem presented in $\S 4.1 .3$ still hold.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Beta Distribution

The Beta distribution is defined over the interval $(0,1)$. It can be scaled by the transformation $x^{\prime}=x \cdot(b-a)+a$ to model bounded quantities within any range $(a, b)$. The Beta probability density function (PDF) is defined by
$$
f_{X}(x)=\mathcal{B}(x ; \alpha, \beta)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\mathrm{~B}(\alpha, \beta)}\left{\begin{array}{l}
\alpha>0 \
\beta>0 \
\mathrm{~B}(\alpha, \beta): \text { Beta function }
\end{array}\right.
$$
where $\alpha$ and $\beta$ are the two distribution parameters, and the Beta function $\mathrm{B}(\alpha, \beta)$ is the normalization constant so that
$$
\mathrm{B}(\alpha, \beta)=\int_{0}^{1} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} d x
$$
A common application of the Beta PDF is to employ the interval $(0,1)$ to model the probability density of a probability itself. Let us consider two mutually exclusive and collectively exhaustive events, for example, any event $A$ and its complement $\bar{A}, \mathcal{S}={A, \bar{A}}$. If the probability that the event $A$ occurs is uncertain, it can be described by a random variable so that
$$
\left{\begin{array}{l}
\operatorname{Pr}(A)=X \
\operatorname{Pr}(A)=1-X
\end{array}\right.
$$
where $x \in(0,1): X \sim \mathcal{B}(x ; \alpha, \beta)$. The parameter $\alpha$ can be interpreted as pseudo-counts representing the number of observations of the event $A$, and $\beta$ is the number of observations of the complementary event $\bar{A}$. This relation between pseudo-counts and the Beta distribution, as well as practical applications, are further detailed in chapter 6. Figure $4.11$ presents examples of Beta PDFs for three sets of parameters. Note how for $\alpha=\beta=1$, the Beta distribution is analogous to the Uniform distribution $\mathcal{U}(x ; 0,1)$.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Log-Normal Distribution

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Multivariate Log-Normal

X1,X2,⋯,Xn是联合对数正态如果ln⁡X1,ln⁡X2,⋯,ln⁡Xn是X∈(R+)n:X∼ln⁡ñ(X;μlnX,Σln⁡X联合正常。多元对数正态 PDF 由平均值参数化(μln⁡X一世=λ), 方差(σln⁡X一世2=G2), 和
相关系数(ρnX一世ln⁡Xj)在对数变换
空间中定义。相关系数日志-空间ρlnX一世ln⁡Xj与
原始空间中的相关系数有关ρX一世Xj使用关系

ρln⁡X一世ln⁡Xj=1G一世Gjln⁡(1+ρX一世XjdX1dXj)
在哪里ρln⁡X一世ln⁡Xj≈ρX一世Xj为了dX一世,dXj≪0.3. 两个随机变量的 PDF\left{X_{1}, X_{2}\right}\left{X_{1}, X_{2}\right}这样\left{x_{1}, x_{2}\right}>0\left{x_{1}, x_{2}\right}>0是

FX1X2(X1,X2)=1X1X22圆周率G1G21−ρln2经验⁡(−12(1−ρln2)((ln⁡X1−λ1G1)2+(ln⁡X2−λ2G2)2−2ρn(ln⁡X1−λ1G1)(ln⁡X2−λ2G2)2))

数字4.10给出了一个带参数的双变量对数正态 PDF 示例μ1=μ2=1.5,σ1=σ2=0.5, 和ρ=0.9. 多元对数正态 PDF 的一般公式是

FX(X)=ln⁡ñ(X;μln⁡X,Σln⁡X) =1(圆周率一世=1nX一世)(2圆周率)n/2(这⁡ΣnX)1/2经验⁡(−12(ln⁡X−μln⁡X)⊤Σln⁡X−1(ln⁡X−μln⁡X))
在哪里μln⁡X和Σln⁡X分别是在对数空间中定义的平均向量和协方差矩阵。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Properties

因为对数正态分布是通过正态分布的变换获得的,所以它继承了它的几个属性。矩阵⁡ΣlnX.

  1. 它的边际分布也是对数正态分布,任何边际的 PDF 由下式给出
    X一世:X一世∼ln⁡ñ(X一世;[μlnX]一世+[Σln⁡X]一世一世).
  2. 缺乏相关性意味着统计独立性 请记住,对于其他类型的随机变量,这通常不是正确的(参见§§3.3.5 ),
    ρ一世j=0⇔X一世⊥Xj
  3. 条件分布是对数正态分布,所以磷DF的X一世给予观察Xj=Xj是(谁)给的FX一世∣Xj(X一世∣Xj=Xj⏟观察 )=ln⁡ñ(X一世;μln⁡一世∣j,Σln⁡一世∣j)+
    其中条件均值向量和协方差是
    μln⁡一世∣j=μn一世+Σln⁡一世jΣj−1(ln⁡Xj−μln⁡j) Σln⁡一世∣j=Σln⁡一世−Σln⁡一世jΣj−1Σln⁡一世j⊤
  4. 联合对数正态随机变量的乘法是联合日志-正常,因此对于X∼ln⁡ñ(X;λX,GX)和是∼ ln⁡ñ(是;λ是,G是), 在哪里X⊥是,
    \left.\begin{array}{rl} Z & =X \cdot Y \ \sim & \ln \mathcal{N}\left(z ; \lambda_{Z}, \zeta_{Z}\right) \end {数组}\right} \begin{aligned} &\lambda_{Z}=\lambda_{X}+\lambda_{Y} \ &\zeta_{Z}^{2}=\zeta_{X}^{2} +\zeta_{Y}^{2} \end{对齐}\left.\begin{array}{rl} Z & =X \cdot Y \ \sim & \ln \mathcal{N}\left(z ; \lambda_{Z}, \zeta_{Z}\right) \end {数组}\right} \begin{aligned} &\lambda_{Z}=\lambda_{X}+\lambda_{Y} \ &\zeta_{Z}^{2}=\zeta_{X}^{2} +\zeta_{Y}^{2} \end{对齐}
    因为对数正态随机变量的乘积可以转化为正态随机变量之和,所以中心极限定理的性质§§4.1.3仍然持有。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Beta Distribution

Beta 分布在区间上定义(0,1). 它可以通过变换进行缩放X′=X⋅(b−一个)+一个对任何范围内的有界数量进行建模(一个,b). Beta 概率密度函数 (PDF) 由
$$
f_{X}(x)=\mathcal{B}(x ; \alpha, \beta)=\frac{x^{\alpha-1}(1- x)^{\beta-1}}{\mathrm{~B}(\alpha, \beta)}\left{

一个>0 b>0  乙(一个,b): 贝塔函数 \正确的。

在H和r和$一个$一个nd$b$一个r和吨H和吨在○d一世s吨r一世b在吨一世○np一个r一个米和吨和rs,一个nd吨H和乙和吨一个F在nC吨一世○n$乙(一个,b)$一世s吨H和n○r米一个l一世和一个吨一世○nC○ns吨一个n吨s○吨H一个吨
\mathrm{B}(\alpha, \beta)=\int_{0}^{1} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx

一个C○米米○n一个ppl一世C一个吨一世○n○F吨H和乙和吨一个磷DF一世s吨○和米pl○是吨H和一世n吨和r在一个l$(0,1)$吨○米○d和l吨H和pr○b一个b一世l一世吨是d和ns一世吨是○F一个pr○b一个b一世l一世吨是一世吨s和lF.大号和吨在sC○ns一世d和r吨在○米在吨在一个ll是和XCl在s一世在和一个ndC○ll和C吨一世在和l是和XH一个在s吨一世在和和在和n吨s,F○r和X一个米pl和,一个n是和在和n吨$一个$一个nd一世吨sC○米pl和米和n吨$一个¯,小号=一个,一个¯$.我F吨H和pr○b一个b一世l一世吨是吨H一个吨吨H和和在和n吨$一个$○CC在rs一世s在nC和r吨一个一世n,一世吨C一个nb和d和sCr一世b和db是一个r一个nd○米在一个r一世一个bl和s○吨H一个吨
\剩下{

公关⁡(一个)=X 公关⁡(一个)=1−X\正确的。
$$
在哪里X∈(0,1):X∼乙(X;一个,b). 参数一个可以解释为表示事件观察次数的伪计数一个, 和b是互补事件的观察次数一个¯. 伪计数与 Beta 分布之间的这种关系以及实际应用将在第 6 章中进一步详述。4.11提供了三组参数的 Beta PDF 示例。注意如何为一个=b=1, Beta 分布类似于均匀分布在(X;0,1).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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