金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|ACTL40004

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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中,以确定利率在未来的移动方向。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|ACTL40004

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MARTINGALES

We finish this chapter with the introduction of martingales, which is a key concept in derivatives modeling. The definition is given below.

Definition $1.5$ A stochastic process, $M_{t}$, is called a $\mathbb{P}$-martingale if and only if it has the following properties:

  1. $E^{\mathbb{P}}\left[\left|M_{t}\right|\right]<\infty, \quad \forall t$.
  2. $E^{\mathbb{P}}\left[M_{t} \mid \mathcal{F}{s}\right]=M{s}, \quad \forall s \leq t$.
    The martingale properties are associated with fair games in investments or speculations. Let us think of $M_{t}-M_{s}$ as the profit or loss (P\&L) of a gamble between two parties over the time period $(s, t)$. Then the game is considered fair if the expected P\&L is zero. Daily life examples of fair games include the coin tossing game and futures investments in financial markets. In mathematics, there are plenty of examples as well. In fact, we have already seen several of them so far, of which we remind readers below.
    Example $1.4$
  3. The simple random walk, $X_{n}$, is a martingale because $E\left[\left|X_{n}\right|\right]<$ $n \sqrt{\Delta t}$ and $E\left[X_{n} \mid \mathcal{F}{m}\right]=X{m}, m \leq n$
  1. A $\mathbb{P}$-Brownian motion, $W_{t}$, is a martingale by definition.
  2. The stochastic integral $X_{t}=\int_{0}^{t} f(u) \mathrm{d} W_{u}$ is a martingale, since
    $$
    \begin{aligned}
    E^{\mathbb{P}}\left[X_{t} \mid \mathcal{F}{s}\right] &=E^{\mathbb{P}}\left[\int{0}^{s}+\int_{s}^{t} f(u) \mathrm{d} W_{u} \mid \mathcal{F}{s}\right] \ &=\int{0}^{s} f(u) \mathrm{d} W_{u}=X_{s}, \quad \forall s \leq t
    \end{aligned}
    $$
    Here, we have applied the first property of stochastic integrals (see page 11).
  3. The process $M_{t}=\exp \left(\int_{0}^{t} \sigma_{s} \mathrm{~d} W_{s}-\frac{1}{2} \sigma_{s}^{2} \mathrm{~d} s\right)$ is an exponential martingale. In fact, using the Ito’s lemma, we can show that
    $$
    \mathrm{d} M_{t}=\sigma_{t} M_{t} \mathrm{~d} W_{t}
    $$
    which is an Ito’s process without drift. It follows that
    $$
    M_{t}=M_{s}+\int_{s}^{t} M_{u} \sigma_{u} \mathrm{~d} W_{u}
    $$
    Based on the conclusion of the last example, we know that $M_{t}$ is a martingale.

We emphasize here that an Ito’s process is a martingale process if and only if its drift term is zero. Finally, we present two additional examples.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|A Motivating Example

Consider the simplest option-pricing model with an underlying asset following a one-period binomial process, as depicted in Figure 2.1. In Figure $2.1,0 \leq p \leq 1$ and $\bar{p}=1-p$. The option’s payoffs at time $1, f\left(S_{u}\right)$ and $f\left(S_{d}\right)$, are given explicitly, and we want to determine $f(S)$, the value of the option at time 0 . Without loss of generality, we assume that there is a zero interest rate in the model. To avoid arbitrage, we must impose the order $S_{d} \leq S \leq S_{u}$. We call $\mathbb{P}={p, \bar{p}}$ the objective measure of the underlying process.
It may be tempting to price the option by expectation under $\mathbb{P}$ :
$$
\begin{aligned}
f(S) &=E^{\mathbb{P}}\left[f\left(S_{1}\right)\right] \
&=p f\left(S_{u}\right)+\bar{p} f\left(S_{d}\right)
\end{aligned}
$$
However, except for a special $p$, the above price generates arbitrage and thus is wrong. To see that, we replicate the payoff of the option at time $l$ using a portfolio of the underlying asset and a cash bond, with respective numbers of units, $\alpha$ and $\beta$, such that, at time 1 ,
$$
\begin{aligned}
&\alpha S_{u}+\beta=f\left(S_{u}\right) \
&\alpha S_{d}+\beta=f\left(S_{d}\right)
\end{aligned}
$$

Solving for $\alpha$ and $\beta$, we obtain
$$
\begin{aligned}
\alpha &=\frac{f\left(S_{u}\right)-f\left(S_{d}\right)}{S_{u}-S_{d}}, \
\beta &=\frac{S_{u} f\left(S_{d}\right)-S_{d} f\left(S_{u}\right)}{S_{u}-S_{d}} .
\end{aligned}
$$
Equation $2.2$ implies that the time-1 values of the portfolio and option are identical. To avoid arbitrage, their values at time 0 must be identical as well, ${ }^{*}$ which yields the arbitrage price of the option at time 0 :
$$
\begin{aligned}
f(S) &=\alpha S+\beta \
&=q f\left(S_{u}\right)+\bar{q} f\left(S_{d}\right) \
&=E^{\mathbb{Q}}\left[f\left(S_{1}\right)\right],
\end{aligned}
$$
where $\mathbb{Q}={q, \bar{q}}$, and
$$
q=\frac{S-S_{d}}{S_{u}-S_{d}}, \quad \bar{q}=1-q
$$
is a different set of probabilities. Note that Equation $2.4$ gives the noarbitrage price of the option. Any other price will induce arbitrage to the market. Hence, the expectation price, in Equation 2.1, is correct only if $p=q$. In fact, ${q, \bar{q}}$ is the only set of probabilities that satisfies
$$
S=q S_{u}+\bar{q} S_{d}=E^{\mathbb{Q}}\left(S_{1}\right) .
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Binomial Trees and Path Probabilities

Let us move one step further and consider the binomial tree model up to two time steps, as shown in Figure 2.2, where each pair of numbers represents a state (which can be associated with the price of an asset if necessary). Out of each state at time $j$, two possible states are generated at time $j+1$. Hence, we have $2^{j}$ states at time $j$, starting with a single state at time 0 . The branching probabilities for reaching the next two states from one state, $(i, j)$, are $p_{i, j} \in[0,1]$ and $\bar{p}{i, j}=1-p{i, j}$, respectively. The collection of branching probabilities, $\mathbb{P}=\left{p_{i, j}, \bar{p}{i, j}\right}$, is again called a measure. As is shown in Figure 2.2, there are two paths over the time horizon from 0 to 1 , whereas there are four paths over the time horizon from 0 to 2 . The corresponding path probabilities for the horizon from 0 to 1 are $$ \pi{0,1}=\bar{p}{0,0} \quad \text { and } \quad \pi{1,1}=p_{0,0},
$$

whereas for the horizon from 0 to 2 , they are
$$
\pi_{0,2}=\bar{p}{0,0} \bar{p}{0,1}, \pi_{1,2}=\bar{p}{0,0} p{0,1}, \pi_{2,2}=p_{0,0} \bar{p}{1,1} \text {, and } \pi{3,2}=p_{0,0} p_{1,1} \text {. }
$$
The path probabilities can also be marked in a binomial tree as is shown in Figure 2.3.

Consider now another set of branching probabilities, $\mathbb{Q}=\left{q_{i, j}, \bar{q}{i, j}=\right.$ $\left.1-q{i, j}\right}$, for the same tree. The corresponding path probabilities are
$$
\pi_{0,1}^{\prime}=\bar{q}{0,0} \quad \text { and } \quad \pi{1,1}^{\prime}=q_{0,0}
$$
up to time 1 , and
$$
\pi_{0,2}^{\prime}=\bar{q}{0,0} \bar{q}{0,1}, \pi_{1,2}^{\prime}=\bar{q}{0,0} q{0,1}, \pi_{2,2}^{\prime}=q_{0,0} \bar{q}{1,1} \text {, and } \pi{3,2}^{\prime}=q_{0,0} q_{1,1}
$$
up to time 2. Suppose that the $\mathbb{P}$-probability of paths $\pi_{i, j} \neq 0$ for all $i, j$. We then can define the ratio of path probabilities as follows:
$$
\zeta_{i, j}=\frac{\pi_{i, j}^{\prime}}{\pi_{i, j}} .
$$

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利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MARTINGALES

本章最后介绍了鞅,这是导数建模中的一个关键概念。定义如下。
定义1.5一个随机过程, $M_{t}$ ,称为 $\mathbb{P}$-martingale 当且仅当它具有以下属性:

  1. $E^{\mathbb{P}}\left[\left|M_{t}\right|\right]<\infty, \quad \forall t$
  2. $E^{\mathbb{P}}\left[M_{t} \mid \mathcal{F}{s}\right]=M s, \quad \forall s \leq t$ 鞅属性与投资或投机中的公平游戏有关。让我们想想 $M{t}-M_{s}$ 作为两方在一段时间内赌博的损益 $(\mathrm{P} \backslash \& \mathrm{Q})(s, t)$. 如 果预期盈亏为零,则认为该游戏是公平的。日常生活中公平游戏的例子包括抛硬币游戏和金融市场的期货投傝。在 数学中,也有很茤例子。事实上,到目前为止,我们已经看到了其中的几个,我们在下面提酲读者。
    例子 $1.4$
  3. 简单的随机游走, $X_{n}$, 是鞅,因为 $E\left[\left|X_{n}\right|\right]<n \sqrt{\Delta t}$ 和 $E\left[X_{n} \mid \mathcal{F} m\right]=X m, m \leq n$
    $\mathrm{~ 2 . ~ 一 个 巴}$
  4. 随机积分 $X_{t}=\int_{0}^{t} f(u) \mathrm{d} W_{u}$ 是鞅,因为
    $$
    E^{P}\left[X_{t} \mid \mathcal{F} s\right]=E^{P}\left[\int 0^{s}+\int_{s}^{t} f(u) \mathrm{d} W_{u} \mid \mathcal{F}{s}\right] \quad=\int 0^{s} f(u) \mathrm{d} W{u}=X_{s}, \quad \forall s \leq t
    $$
    在这里,我们应用了随机积分的第一个性质(参见第 11 页)。
  5. 过程 $M_{t}=\exp \left(\int_{0}^{t} \sigma_{s} \mathrm{~d} W_{s}-\frac{1}{2} \sigma_{s}^{2} \mathrm{~d} s\right)$ 是指数鞅。事实上,使用伊藤引理,我们可以证明
    $$
    \mathrm{d} M_{t}=\sigma_{t} M_{t} \mathrm{~d} W_{t}
    $$
    这是一个没有漂移的伊藤工艺。它曎循
    $$
    M_{t}=M_{s}+\int_{s}^{t} M_{u} \sigma_{u} \mathrm{~d} W_{u}
    $$
    根据上一个例子的结论,我们知道 $M_{t}$ 是鞅。
    我们在此强调,Ito 过程是鞅过程当且仅当其漂移项为零。最后,我们提出两个额外的例子。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|A Motivating Example

考虑最简单的期权定价模型,标的资产邅唕一个周期的二项式过程,如图 $2.1$ 所示。如图 $2.1,0 \leq p \leq 1$ 和 $\bar{p}=1-p$. 期权的时间收益 $1, f\left(S_{u}\right)$ 和 $f\left(S_{d}\right)$, 是明确给出的,我们想要确定 $f(S)$ ,期权在时间 0 的价值。不失一般性,我们假设 模型中的利率为零。为了避免套利,我们必须强加命令 $S_{d} \leq S \leq S_{u}$. 我们称之为 $\mathbb{P}=p, \bar{p}$ 底层过程的客观度量。 根据预期对期权定价可能很诱人 $\mathbb{P}$ :
$$
f(S)=E^{\mathbb{P}}\left[f\left(S_{1}\right)\right] \quad=p f\left(S_{u}\right)+\bar{p} f\left(S_{d}\right)
$$
但是,除了特殊的 $p$ ,上述价格产生套利,因此是错误的。为了看到这一点,我们在时间复制期权的收益 $l$ 使用标的资产 和现金债券的投资组合,以及相应的单位数量, $\alpha$ 和 $\beta$ ,这样,在时间 1 ,
$$
\alpha S_{u}+\beta=f\left(S_{u}\right) \quad \alpha S_{d}+\beta=f\left(S_{d}\right)
$$
解决 $\alpha$ 和 $\beta ,$ 我们获得
$$
\alpha=\frac{f\left(S_{u}\right)-f\left(S_{d}\right)}{S_{u}-S_{d}}, \beta=\frac{S_{u} f\left(S_{d}\right)-S_{d} f\left(S_{u}\right)}{S_{u}-S_{d}}
$$
方程 $2.2$ 意味着投资组合和期权的时间 1 值是相同的。为了避免套利,它们在时间 0 的值也必须相同, ${ }^{*}$ 在时间 0 产生期 权的套利价格:
$$
f(S)=\alpha S+\beta \quad=q f\left(S_{u}\right)+\bar{q} f\left(S_{d}\right)=E^{\mathbb{Q}}\left[f\left(S_{1}\right)\right]
$$
在哪里 $\mathbb{Q}=q, \bar{q}, \quad$ 和
$$
q=\frac{S-S_{d}}{S_{u}-S_{d}}, \quad \bar{q}=1-q
$$
是一组不同的概率。请注意,方程 $2.4$ 给出期权的无套利价格。任何其他价格都会引起市场套利。因此,方程 $2.1$ 中的期 望价格是正确的,仅当 $p=q .$ 实际上, $q, \bar{q}$ 是唯一满足的概率集
$$
S=q S_{u}+\bar{q} S_{d}=E^{\mathbb{Q}}\left(S_{1}\right)
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Binomial Trees and Path Probabilities

让我们进一步考虑二叉树模型最多两个时间步长,如图 $2.2$ 所示,其中每对数字代表一个状态(必要时可以与资产价格 相关联)。离开每个州的时间 $j$ ,在时间产生两种可能的状态 $j+1$. 因此,我们有 $2^{j}$ 当时的状态 $j$ ,从时间 0 的单个状态 开始。从一个状态到达下两个状态的分支概率, $(i, j)$ , 是 $p_{i, j} \in[0,1]$ 和 $\bar{p} i, j=1-p i, j$ ,分别。分支概率的集合,
Imathbb{P}=\left{p_{i, j}, Vbar{p}{,j}}rright} , 又称为测度。如图 $2.2$ 所示,在从 0 到 1 的时间范围内有两条路径,而在从 0 到 2 的时间范围内有四条路径。地平线从 0 到 1 的相应路径概率为
$$
\pi 0,1=\bar{p} 0,0 \quad \text { and } \quad \pi 1,1=p_{0,0},
$$
而对于从 0 到 2 的地平线,它们是
$$
\pi_{0,2}=\bar{p} 0,0 \bar{p} 0,1, \pi_{1,2}=\bar{p} 0,0 p 0,1, \pi_{2,2}=p_{0,0} \bar{p} 1,1, \text { and } \pi 3,2=p_{0,0} p_{1,1} .
$$
路径概率也可以在二叉树中标记,如图 $2.3$ 所示。
$\mathrm{~ 现 在 考 虑 另 一 组 分 支 概 率 , ~ I m a t h b b { Q } = \ l e f t { q _ { i , j } , \ b a r { q } { i , j } =}$ 概率是
$$
\pi_{0,1}^{\prime}=\bar{q} 0,0 \quad \text { and } \quad \pi 1,1^{\prime}=q_{0,0}
$$
直到时间 1 ,和
$$
\pi_{0,2}^{\prime}=\bar{q} 0,0 \bar{q} 0,1, \pi_{1,2}^{\prime}=\bar{q} 0,0 q 0,1, \pi_{2,2}^{\prime}=q_{0,0} \bar{q} 1,1, \text { and } \pi 3,2^{\prime}=q_{0,0} q_{1,1}
$$
到时间 2 . 假设 $\mathbb{P}$ – 路径概率 $\pi_{i, j} \neq 0$ 对所有人 $i, j$. 然后我们可以定义路径概率的比率如下:
$$
\zeta_{i, j}=\frac{\pi_{i, j}^{\prime}}{\pi_{i, j}} .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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