金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|ACTL90003

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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中,以确定利率在未来的移动方向。

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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|ACTL90003

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Random Variables

A random variable $X$ is defined as a real-valued measurable function on a sample space $\Omega$. We regard interest rates, bond prices, and stock prices on future days as random variables throughout this book.
The expectation of a random variable $X$ under measure $\mathbf{P}$ is defined as
$$
E[X]=\int_{w \in \Omega} X(w) \mathbf{P}(d w)
$$
The expectation is sometimes referred to as the mean. The variance of $X$ is defined as
$$
v(x)=\int_{w \in \Omega} X(w)^{2} \mathbf{P}(d w)
$$
The variance $V(X)$ is a measure of how widely $X$ varies from $E[X]$.
Expectation is linear on linear combinations of random variables. Let $Y$ be another random variable. As an example, for constants $a, b$, and $c$, the expectation of the linear combination $a+b X+c Y$ is given by
$$
E[a+b X+c Y]=a+b E[X]+c[Y]
$$
The variance of $a+b X+c Y$ is given by
$$
V(a+b X+c Y)=b^{2} V(X)+c^{2} V(Y)+2 b c \operatorname{Cov}(X, Y)
$$

where Cov is the covariance between $X$ and $Y$ and is defined as
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\int_{w \in \Omega}(X(w)-E[X])(Y(w)-E[Y]) P(d w)
$$
The correlation coefficient $\rho(X, Y)$ is defined as
$$
\rho(X, Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{V(X) V(Y)}}
$$
For any constants $a$ and $b$, it holds that
$$
\begin{aligned}
\rho(a X, b Y) &=\frac{\operatorname{Cov}(a X, b Y)}{\sqrt{V(a X) V(b Y)}}=\frac{a b \operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{a^{2} b^{2} V(X) V(Y)}} \
&=\rho(X, Y) .
\end{aligned}
$$
Hence, the correlation coefficient is invariant to the magnitudes of $a$ and $b$. The correlation coefficient can be used as a measure of the strength of the linear relationship between $X$ and $Y$. Naturally, it holds that $-1 \leq \rho \leq 1$.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Stochastic Process

For arbitrage pricing, the dynamics of market price change is represented by a stochastic process. To introduce the concept of a stochastic process, we develop a probability space such that stochastic processes are well defined in the space, where the key is a filtration used to define a stochastic process.
Filtration
For a fixed time $\tau>0$, let $\mathcal{F}{t \in[0, \tau]}$ denote an increasing subset of $\mathcal{F}$; that is, $\mathcal{F}{s} \subset \mathcal{F}{t}$ for $0 \leq s{t}$ is a $\sigma$-algebra. Under this definition, $\mathcal{F}{t \in[0, \tau]}$ is called an augmented filtration, or a filtration for short. Along these lines, $\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}{t \in[0, \tau]}, \mathbf{P}\right)$ is called a filtered probability space, or a probability space for short.
Without loss of generality, we may set $\mathcal{F}=\mathcal{F}{\tau}$, which means that $\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}{t \in[0, \tau]}, \mathbf{P}\right)$ can be represented by a triplet $\left(\Omega, \mathcal{F}{t \in[0, \tau]}, \mathbf{P}\right)$ for convenience. In particular, we use a filtration chosen such that it represents a flow of information; namely, $\mathcal{F}{t}$ comprises the information about all events observed up to time $t$. An example of such a filtration is given in Example 2.3.1.
Stochastic process
Recall the probability space introduced in Example 2.1.1, that is, the up and down moves of stock price. Stock price movement between days is uncertain and unpredictable, making it an example of a discrete-time stochastic process.
In a continuous-time setting, a stochastic process $X_{t}$ is defined as a set of random variables indexed by time $t, t \geq 0$ and defined on a probability space $\left(\Omega, \mathcal{F}{t \in[0, \tau]}, \mathbf{P}\right)$. The process $X{t}$ is said to be continuous if almost all sample paths are continuous in $t$. Additionally, $X_{t}$ is said to be adapted if $X_{t}$ is $\mathcal{F}{t^{-}}$ measurable at an arbitrary time $t \in[0, \tau]$. This is called $\mathcal{F}{t}$-adapted for short. In this book, we work mostly with adapted processes.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Stochastic Integral

This section summarizes basic definitions and results for stochastic differential equations but omits proofs. For details and a rigorous description see any of Chung and Williams (1990), Karatzas and Shreve (1998), Öksendal (2003), and Shreve (2004).
Stochastic integral
Let $W_{t}$ be a Brownian motion under a measure $\mathbf{P}$. For a stochastic process $X_{t}$ satisfying $\int_{0}^{t}\left|X_{s}\right|^{2} d s<\infty$ a.s., the stochastic integral of $X_{t}$ with respect to $W_{t}$ is defined by
$$
\int_{0}^{t} X_{s} d W_{s}=\lim {\Delta \rightarrow 0} \sum{i=1}^{n-1} X_{t_{i}}\left{W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right}
$$
where $0=t_{0}<\cdots<t_{n}=t$ and $\Delta t=\max {0 \leq i \leq n-1}\left(t{i+1}-t_{i}\right)$.
The following properties are well known.
1) If $X_{t}$ is a deterministic process, that is, generated by a deterministic function on $t$, then it holds that
$$
E\left[\int_{0}^{t} X_{s} d W_{s}\right]=0
$$
2) $\int_{0}^{t} X_{s} d W_{s}$ has normal distribution with mean 0 and variance
$$
E\left[\left(\int_{0}^{t} X_{s} d W_{s}\right)^{2}\right]=\int_{0}^{t}\left|X_{s}\right|^{2} d s
$$
Generally, for a function $\sigma\left(t, X_{t}\right)$ with inputs $t$ and $X_{t}$, and regarding $\sigma\left(t, X_{t}\right)$ as a stochastic process, the stochastic integral is defined by
$$
\int_{0}^{t} \sigma\left(s, X_{s}\right) d W_{s}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|ACTL90003

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Random Variables

随机变量X定义为样本空间上的实值可测函数Ω. 在本书中,我们将未来几天的利率、债券价格和股票价格视为随机变量。
随机变量的期望X测量中磷定义为

和[X]=∫在∈ΩX(在)磷(d在)
期望有时被称为均值。的方差X定义为

在(X)=∫在∈ΩX(在)2磷(d在)
方差在(X)是衡量范围有多广的指标X变化于和[X].
期望在随机变量的线性组合上是线性的。让是是另一个随机变量。例如,对于常量一个,b, 和C, 线性组合的期望一个+bX+C是是(谁)给的

和[一个+bX+C是]=一个+b和[X]+C[是]
的方差一个+bX+C是是(谁)给的

在(一个+bX+C是)=b2在(X)+C2在(是)+2bC这⁡(X,是)

其中 Cov 是之间的协方差X和是并定义为

这⁡(X,是)=∫在∈Ω(X(在)−和[X])(是(在)−和[是])磷(d在)
相关系数ρ(X,是)定义为

ρ(X,是)=这⁡(X,是)在(X)在(是)
对于任何常数一个和b, 它认为

ρ(一个X,b是)=这⁡(一个X,b是)在(一个X)在(b是)=一个b这⁡(X,是)一个2b2在(X)在(是) =ρ(X,是).
因此,相关系数对于一个和b. 相关系数可以用来衡量两者之间的线性关系的强度X和是. 自然地,它认为−1≤ρ≤1.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Stochastic Process

对于套利定价,市场价格变化的动态由一个随机过程表示。为了引入随机过程的概念,我们开发了一个概率空间,以便在空间中很好地定义随机过程,其中关键是用于定义随机过程的过滤。
过滤
固定时间τ>0, 让F吨∈[0,τ]表示增加的子集F; 那是,Fs⊂F吨为了0≤s吨是一个σ-代数。在这个定义下,F吨∈[0,τ]被称为增强过滤,或简称过滤。沿着这些思路,(Ω,F,F吨∈[0,τ],磷)称为过滤概率空间,简称概率空间。
不失一般性,我们可以设F=Fτ, 意思就是(Ω,F,F吨∈[0,τ],磷)可以用三元组表示(Ω,F吨∈[0,τ],磷)为了方便。特别是,我们使用选择的过滤器,使其代表信息流;即,F吨包含有关截至时间观察到的所有事件的信息吨. 例 2.3.1 给出了这种过滤的一个例子。
随机过程
回想示例 2.1.1 中介绍的概率空间,即股票价格的上下波动。几天之间的股票价格变动是不确定和不可预测的,这使其成为离散时间随机过程的一个例子。
在连续时间设置中,随机过程X吨被定义为一组按时间索引的随机变量吨,吨≥0并在概率空间上定义(Ω,F吨∈[0,τ],磷). 过程X吨如果几乎所有样本路径在吨. 此外,X吨据说是适应的,如果X吨是F吨−可在任意时间测量吨∈[0,τ]. 这就是所谓的F吨- 简称改编。在本书中,我们主要使用经过调整的流程。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Stochastic Integral

本节总结了随机微分方程的基本定义和结果,但省略了证明。有关详细信息和严格的描述,请参见 Chung 和 Williams (1990)、Karatzas 和 Shreve (1998)、Öksendal (2003) 和 Shreve (2004)。
随机积分
Let在吨是一个测度下的布朗运动磷. 对于随机过程X吨令人满意的∫0吨|Xs|2ds<∞作为,随机积分X吨关于在吨定义为

\int_{0}^{t} X_{s} d W_{s}=\lim {\Delta \rightarrow 0} \sum{i=1}^{n-1} X_{t_{i}}\left {W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right}\int_{0}^{t} X_{s} d W_{s}=\lim {\Delta \rightarrow 0} \sum{i=1}^{n-1} X_{t_{i}}\left {W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right}
在哪里0=吨0<⋯<吨n=吨和Δ吨=最大限度0≤一世≤n−1(吨一世+1−吨一世).
以下性质是众所周知的。
1) 如果X吨是一个确定性过程,即由一个确定性函数在吨,那么它认为

和[∫0吨Xsd在s]=0
2) ∫0吨Xsd在s具有均值为 0 且方差为正态分布

和[(∫0吨Xsd在s)2]=∫0吨|Xs|2ds
一般来说,对于一个函数σ(吨,X吨)带输入吨和X吨,并且关于σ(吨,X吨)作为一个随机过程,随机积分定义为

∫0吨σ(s,Xs)d在s

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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